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人教版数学8年级下册培优精做课件21.3.2.1菱形的性质第二十一章四边形授课教师：Home .班级：八年级（---）班.时间：.下面的图形中有你熟悉的吗？
导入新知
两组对边
分别平行
平行
四边形
矩形
前面我们学行四边形和矩形，知道了如果平行四边形有一个角是直角时,成为什么图形
有一个角是直角
有一组邻边相等
(矩形,由角变化得到)
如果从边的角度,将平行四边形特殊化,让它有一组邻边相等,这个特殊的四边形叫什么呢
四边形

探究新知
知识点 1
菱形的定义
在平行四边形中，如果内角大小保持不变仅改变边的长度，能否得到一个特殊的平行四边形？``x``xk
平行四边形
有一组邻边相等的平行四边形
菱形
邻边相等
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5
1.
如图，在 ABCD中，AB＝5，当AD＝______时，四边形ABCD是菱形．
有一组 的
邻边相等
平行四边形叫作
A
D
C
B
∵四边形ABCD是平行四边形，
AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形.
菱形.
探究新知
菱形的定义：
几何语言：
菱形就在我们身边！
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2.
C
如图，菱形ABCD的对角线AC在x轴上，BD交x轴于点E，已知A(1，0)，D(3，5)，则点B，C的坐标分别是(　　)
A．(5，－3)，(5，0)
B．(3，－5)，(4，0)
C．(3，－5)，(5，0)
D．(－3，5)，(4，0)
可以这样做：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？
做一做
探究新知
知识点 2
菱形的边的性质
你知道这样做其中的道理吗？
画出菱形的两条折痕,并通过折叠手中的图形回答以下问题：
探究新知
问题：菱形的四条边在数量上有什么关系
猜想：菱形的四条边都相等.
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3.
B
菱形具有而矩形不具有的性质是(　　)
A．对角线相等
B．对角线互相垂直
C．对角相等
D．是中心对称图形
已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O.
求证:AB = BC = CD =AD.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB = CD，AD = BC（平行四边形的对边相等）.
又∵AB=AD,
∴AB = BC = CD =AD.
A
B
C
O
D
探究新知
探究新知
菱形的性质：
菱形的四条边都相等.
B
D
A
C
符号语言：
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD.
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4.
D
如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝70°，则∠ADB的度数是(　　)
A．110°
B．70°
C．45°
D．35°
观察：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即得一个菱形.
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知识点 3
菱形的对角线的性质
操作：在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中的图形(如图），并回答以下问题:
问题1 菱形是轴对称图形吗 如果是,指出它的对称轴.
是，两条对角线所在直线都是它的对称轴.
问题2 根据上面折叠过程，菱形的两条对角线有什么关系
猜想:菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
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5.
C
[张家口宣化区期末]如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的周长为(　　)
A．12
B．15
C．20
D．24
已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O.
求证:AC⊥BD；∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
A
B
C
O
D
探究新知
证明：∵AB = AD, ∴△ABD是等腰三角形.
又∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB = OD （平行四边形的对角线互相平分）.
在等腰三角形ABD中, ∵OB = OD，
∴AO⊥BD，AO平分∠BAD，即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.
同理可证∠DCA=∠BCA， ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
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菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
B
D
A
C
菱形的性质：
符号语言:
∵四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD ;
AC平分∠BAD和∠BCD ；
BD平分∠ABC和∠ADC.
对边相等
四个角都是直角
对角线互相平分且相等
四边相等
对角相等
两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角
平行四边形的性质
矩形的性质
菱形的性质
对边相等
对角相等
对角线互相平分
比一比，猜一猜，填写下表：
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6.
B
[常州中考]如图，在菱形ABCD中，AC，BD是对角线，AB＝5．若∠ABD＝30°，则AC的长是(　　)
A．4
B．5
C．6
D．10
如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝ AC，BO＝ BD.
∵AC＝6cm，BD＝12cm，
∴AO＝3cm，BO＝6cm.
在Rt△ABO中，由勾股定理,得
∴菱形的周长＝4AB＝4× ＝ (cm)．
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考点 1
利用菱形的性质求线段的长
如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，求证：OA=EB.
A
B
C
D
O
E
证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，AD=BA，∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB .
∴∠DAE＝∠AEB.
∵AB=AE,∴∠ABC＝∠AEB.
∴∠ABC=∠DAE.
∵∠DAE＝2∠BAE，
又∵AD＝BA ，∴△AOD≌△BEA .
考点 2
利用菱形的性质求证线段相等
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∴AO＝BE .
∴∠BAE＝∠ADB.
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7.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC.
∵AE＝CF，∴BE＝BF.
又∵∠B＝∠B，∴△ABF≌△CBE，∴AF＝CE.
(4分)[泸州中考]如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点，且AE＝CF．求证：AF＝CE．
　 菱形是特殊的平行四边形,
那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形的面积呢
菱形
A
B
C
D
O
E
【思考】计算菱形的面积除了上式方法外,利用对角线能计算菱形的面积吗
探究新知
知识点 4
菱形的面积
S菱形=BC× AE.
如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD的面积.
A
B
C
D
O
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD.
∴S菱形ABCD = S△ABC + S△ADC
= AC·BO+ AC·DO
= AC·(BO+DO)
= AC·BD.
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
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8.
B
[保定竞秀区期中]某校举行风筝节活动，小明做了一个菱形风筝，他用两个木条沿着菱形的对角线作支架．如图，经测量，AC＝2 dm，BD＝3 dm，则这个风筝的面积是(　　)
如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（结果分别精确到0.01m和0.1m2）.
A　
B　
C　
D　
O　
解：∵花坛ABCD是菱形，
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考点1 1
利用菱形的面积公式解答问题
在Rt△OAB中，
∴ .
∴
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9.
[教材P80习题T11变式]如图，四边形ABCD是菱形，
CD＝5，BD＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长是________．
10.
(4分)[教材P73例3变式]如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且∠ACD＝30°，BD＝4，求菱形ABCD的面积．
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11.
1
[福建中考]如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E，F．若OA＝2，OD＝1，则△AOE与△DOF的面积之和为________．
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12.
D
[河南中考]如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，AB＝6，点E在边BC上，连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B落在BC延长线上的点F处，则CF的长为(　　)
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13.
B
[广州中考]如图，菱形ABCD的面积为10，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH的面积为(　　)
14.
证明：∵E是AD的中点，∴AE＝DE.
∵DF∥AC，∴∠OAD＝∠ADF.
又∵∠AEO＝∠DEF，
∴△AOE≌△DFE(ASA)．
(8分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，连接OE，过点D作DF∥AC交OE的延长线于点F，连接AF．
(1)求证：△AOE≌△DFE；
解：四边形AODF为矩形．
理由：∵△AOE≌△DFE，
∴AO＝DF. ∵DF∥AC，
∴四边形AODF为平行四边形．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，
∴平行四边形AODF为矩形．
(2)判断四边形AODF的形状，并说明理由．
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菱形的性质及有关计算
菱形的性质
有关计算
边
1.周长=边长的四倍；
2.面积=底×高=两条对角线乘积的一半
角
对角线
1.两组对边平行且相等；
2.四条边相等
1.两组对角分别相等；
2.邻角互补
1.两条对角线互相垂直平分；
2.每一条对角线平分一组对角
课堂小结

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