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人教版数学8年级下册培优精做课件21.3.3.1正方形的性质第二十一章四边形授课教师：Home .班级：八年级（---）班.时间：.
有一个直角
一组邻边相等
矩形
菱形
一组邻边相等
有一个直角
正方形
你能给正方形下一个定义吗？
探究新知
平行四边形
问题1 图中CD在平移时，这个图形始终是怎样的图形？
问题2 当CD移动到C D 位置，此时AD ＝AB，四边形ABCD还是矩形吗？
A
B
C
D
A
B
C
D
正方形是特殊的矩形.
情景二：两组互相垂直的平行线围成矩形ABCD
探究新知
矩 形
正方形
〃
〃
【思考】1.
探究新知
矩形一组邻边相等时变成怎样的图形呢
菱 形
∟
∟
∟
∟
正方形
【思考】2.菱形有一个角是直角时变成怎样的图形呢
探究新知
小结：
矩 形
〃
〃
正方形
邻边
相等
〃
〃
发现：
一组邻边相等的矩形叫正方形.
菱 形
一个角
是直角
正方形
∟
发现：
一个角为直角的菱形叫正方形.
如何来给正方形下定义？
探究新知
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.
请同学们拿出准备好的正方形纸片,折一折,观察并思考.正方形是不是轴对称图形 如果是,那么对称轴有几条
对称性： .
对称轴： .
轴对称图形
4条
A
B
C
D
探究新知
知识点 2
正方形的性质
总结：平行四边形、矩形、菱形、正方形的对称性
平行四边形
中心对称图形
（对角线的交点）
即是中心对称图形，
又是轴对称图形（两条）
即是中心对称图形，
又是轴对称图形（两条）
即是中心对称图形，
又是轴对称图形（四条）
探究新知
矩形
菱形
正方形
返回
C
1.
如图，一个四边形顺次添加下列条件
中的三个便得到正方形．
a．两组对边分别相等；b．一组对边平行且相等；c．一组邻边相等；d．一个角是直角．
顺次添加的条件：①a→c→d；②a→b→c；③b→d→c．则正确的添加顺序是(　　)
A．仅① B．①② C．①③ D．②③
有一个角是直角
有一组邻边相等
有一组邻边相等
有一个角是直角
有一组邻边相等且有一个角是直角
(1)
(2)
(3)
(4)
探究新知
平行四边形
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：
矩形
菱形
正方形
矩形
菱形
正
方
形
平行四边形
正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：
探究新知
性质：1.正方形的四个角都是直角,四条边相等.
2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.
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2.
B
如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列说法不正确的是(　　)
A．AC⊥BD
B．AD＝AO
C．DO＝CO
D．∠DAO＝∠BAC
已知：如图,四边形ABCD是正方形.
求证：正方形ABCD四边都相等,四个角都是直角.
A
B
C
D
证明：∵四边形ABCD是正方形.
∴∠A=90°, AB=BC （正方形的定义）.
又∵正方形是平行四边形.
∴正方形是矩形（矩形的定义）,
正方形是菱形(菱形的定义).
∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°,
AB= BC=CD=AD.
探究新知
已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.
A
B
C
D
O
证明：∵正方形ABCD是矩形,
∴AO=BO=CO=DO.
∵正方形ABCD是菱形.
∴AC⊥BD.
探究新知
返回
3.
C
[教材P86复习题T1(4)变式][沧州期末]如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠CBE的度数是(　　)
A．55°
B．60°
C．75°
D．80°
求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
A
D
C
B
O
已知: 如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC,BD相交于点O.
求证:△ABO,△BCO,△CDO, △DAO是全等的等腰直角三角形.
证明: ∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AC=BD，AC⊥BD.
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD=90°，
AO=BO=CO=DO.
∴ △ABO，△BCO，△CDO，△DAO都
是等腰直角三角形,并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
考点 1
探究新知
利用正方形的性质求线段相等
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4.
D
[衡水月考]如图，正方形ABCD的边长为4，点B的坐标是(3，1)，AB平行于x轴，则点C的坐标是(　　)
A．(－1，5)
B．(3，3)
C．(5，3)
D．(3，5)
如图，在正方形ABCD中， ΔBEC是等边三角形， 求证： ∠EAD＝∠EDA＝15° .
证明：∵ △BEC是等边三角形，
∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°.
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°.
∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE= ∠DCE=30°，
∴△ABE，△DCE是等腰三角形，
∴∠BAE= ∠BEA= ∠CDE= ∠CED=75°，
∴∠EAD= ∠EDA=90°-75°=15°.
探究新知
考点 2
利用正方形的性质求角度
A
B
D
C
E
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5.
A
如图四边形ABCD和DEFG都是正方形，试说明AE=CG.
解：
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=CD.
又∵四边形DEFG也是正方形,
∴DE=DG.
又∵正方形的每个内角为90°,
∴∠ADE＋∠EDC＝∠CDG＋∠EDC.
∴∠ADE＝∠CDG.
∴△AED≌△CGD(SAS).
∴AE=CG.
A
B
C
D
E
F
G
考点 3
利用正方形的性质证明线段相等
探究新知
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6.
A
如图，四边形ABCD、四边形AECF分别是菱形与正方形．若∠BAE＝22°，则∠D的度数是(　　)
A．46°
B．56°
C．57°
D．67°
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7.
1
如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F，则阴影部分的面积是________．
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8.
3
如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E，PE＝3，则点P到直线AB的距离为________．
9.
(4分)[教材P81习题T16变式][唐山月考]如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，若DE＝5，BF＝3，求EF的长．
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解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DA，∠BAD＝90°，
∴∠BAF＋∠EAD＝90°.
∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AFB＝∠DEA＝90°，
∴∠ADE＋∠EAD＝90°，
∴∠BAF＝∠ADE，∴△ABF≌△DAE，
∴AF＝DE＝5，AE＝BF＝3，∴EF＝AF－AE＝5－3＝2.
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10.
C
如图，已知正方形ABCD的两条对角线相交于点O，那么图中等腰直角三角形有(　　)
A．4个
B．6个
C．8个
D．10个
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11.
D
如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF，交CD于点M．若BE＝DF＝1，则DM的长度为(　　)
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12.
[北京中考]如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥BE，垂足为F．若AB＝1，∠EBC＝30°，则△ABF的面积为________．
13.
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝BC，∠ADE＝∠CBF＝45°.
又∵BF＝DE，∴△ADE≌△CBF(SAS)．
(8分)[广安中考]如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，BD＝10，DE＝BF，连接AE，AF，CE，CF．
(1)求证：△ADE≌△CBF；
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1.四个角都是直角
2.四条边都相等
3.对角线相等且互相垂直平分
正方形的定义和性质
性质
定义
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形.
课堂小结

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