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人教版数学8年级下册培优精做课件21.3.3.2正方形的判定第二十一章四边形授课教师：Home .班级：八年级（---）班.时间：.做一做：把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.
正方形
菱形
【讨论】 满足怎样条件的菱形是正方形？
正方形
一个角是直角
或对角线相等
探究新知
知识点
正方形的判定
已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,
AC=DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
求证：对角线相等的菱形是正方形.
探究新知
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.
∵AC=DB,
∴ AO=BO=CO=DO,
∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,
∴四边形ABCD是正方形.
证明：
做一做：准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.
正方形
【讨论】满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
正方形
一组邻边相等
或对角线互相垂直
探究新知
矩形
已知：如图,在矩形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,
AC⊥DB.
求证：矩形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°.
∵AC⊥DB,
∴ AD=AB=BC=CD.
∴矩形ABCD是正方形.
求证：对角线互相垂直的矩形是正方形.
探究新知
A
B
C
D
O
正方形
矩形
有一组邻边相等
菱形
有一个角是直角
有一组邻边相等
且有一个角是直角
正方形常见的判定方法
先证是矩形再证是菱形或先证是菱形再证是矩形
探究新知
平行四边形
返回
C
1.
如图，在 ABCD中，连接对角线AC，BD，若
∠BAD＝90°，添加下列条件，能使 ABCD为正方形的是(　　)
A．AC＝2BC
B．AD＝BD
C．AB＝BC
D．AC＝BD
已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．
求证：四边形CFDE是正方形．
∵∠C=90°， DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，
∴∠DEC=90°， ∠DFC=90°，
∴四边形CFDE是矩形.
又∵CD平分∠ACB,
∴ DE=DF.
∴四边形CFDE是正方形.
探究新知
考点 1
由矩形到正方形的识别
证明：
返回
2.
90°
如图，△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点．若AB＝AC，则当△ABC满足∠A＝______时，四边形DAEF是正方形．
∵ DE⊥AC，DF⊥BC ，
∴∠DEC=∠DFC=90°.
又∵ ∠C=90 °，
∴四边形ADFC是矩形.
过点D作DG⊥AB，垂足为G.
∵AD是∠CAB的平分线,
DE⊥AC，DG⊥AB，
同理得DG=DF，
∴四边形EDFC是正方形.
如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D.DE⊥AC，DF⊥BC.求证:四边形CEDF为正方形.
A
B
C
D
E
F
G
巩固练习
证明：
∴ DE=DG.
∴ED=DF，
∟
3.
(4分)如图，△ABE为等腰直角三角形，AB＝AE，AC为高，O是AE的中点，延长CO到点D，使OD＝OC，连接AD，DE，求证：四边形ACED是正方形．
返回
如图，点E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE=BF=CG=DH．求证：四边形EFGH是正方形.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA， ∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∵AE=BF=CG=DH，
∴EB=FC=GD=HA.
证明：
H
G
1
2
3
探究新知
考点 2
由菱形到正方形的识别
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DNG.
∴HE=EF=FG=GH.
∴四边形EFGH是菱形.
∵△AEH≌△BFE，
∴∠2=∠3.
又∵∠1+∠2=90°，
∴∠1+∠3=90°.
∴∠HEF=180°-（∠1+∠3）=90°.
∴四边形EFGH是正方形 .
巩固练习
H
G
1
2
3
返回
4.
D
[秦皇岛期中]如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，添加下列一个条件，仍不能使矩形ABCD成为正方形的是(　　)
A．BD⊥AC
B．AC平分∠BAD
C．AB＝BC
D．∠AOB＝60°
返回
5.
2
[教材P76练习T1(1)变式]如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为________．
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6.
证明：∵菱形ABCD的对角线
AC，BD相交于点O，
∴AC⊥BD，OB＝OD.
∵OE＝OF＝OB，∴OE＝OF＝OB＝OD，
∴四边形BFDE是矩形．
又∵BD⊥EF，∴四边形BFDE是正方形．
(4分)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，在AC上截取OE＝OF＝OB，顺次连接B，F，D，E四点．求证：四边形BFDE是正方形．
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7.
C
[石家庄裕华区期中已知一个四边形的四条边相等，为使该四边形是正方形，甲、乙两人分别添加了一个条件，下列判断正确的是(　　)
甲：四边形的四个角均相等；
乙：四边形的对角线相等．
A．只有甲对 B．只有乙对
C．甲和乙都对 D．甲和乙都不对
8.
(4分)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD互相平分，∠OAB＝45°，AC⊥BD，求证：四边形ABCD是正方形．
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证明：∵AC，BD互相平分，且AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
∵AC⊥BD，∠OAB＝45°，
∴∠OBA＝45°，∴OA＝OB.
又∵AC，BD互相平分，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∴AC＝BD. ∴四边形ABCD是正方形．
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9.
C
如图是用尺规过点P作直线l的
垂线的两种方法，对图中虚
线段组成的四边形，
下列说法正确的是(　　)
A．若a＝b，则方法1中的四边形为正方形
B．若a⊥b，则方法1中的四边形为矩形
C．若m＝n，则方法2中的四边形为菱形
D．若m⊥n，则方法2中的四边形为正方形
10.
(8分)如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF，EF与AD相交于点H．
(1)求证：AD⊥EF．
证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠FAD.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°.
又∵AD＝AD，
∴△AED≌△AFD(AAS)．
∴AE＝AF.∴AD⊥EF.
5种判定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线互相垂直
一组邻边相等
或对角线互相垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
课堂小结

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