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华东师大版·九年级下册·第27章圆
3.圆周角
第1课时 圆周角定理
第1课时 圆周角定理
知识点1　直径、半圆所对的圆周角
(1)圆周角的概念
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
(2)半圆或直径所对的圆周角相等,都等于90 (直角).
【例1】如图,AB是⊙O的直径.CD⊥AB,AB=4cm,∠D=30 .
(1)写出图中的所有圆周角;
(2)求∠B的度数及弦AC的长.
解：(1)图中的圆周角有:∠B,∠D,∠ACD,∠BCD,∠ACB,
∠CAB,∠BAD,∠CAD
(2)∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB
∴∠ACB=90 ,∠DAB=∠CAB
∴90 -∠DAB=90 -∠CAB
∴∠B=∠D=30
在Rt△ABC中，AB=2AC=4cm，
∴AC=2cm.
变式训练1-1:如图,已知∠ABC=60 ,D为BA边上一点，BD=10,O为线段BD的中点,以点O为圆心,线段OB的长为半径作弧，交 BC于点E，连接DE，则DE的长是( )
(A)5 (B)5 (C)5 (D)5
C
(A)AP=2OP (B)CD=2OP
(C)OB⊥AC (D)AC平分OB
变式训练1-2:如图,AD是O的直径,BC是弦,四边形OBCD是平行四边形,AC与OB相交于点P.下列结论错误的是( )
A
知识点2　圆周角定理
圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半;相等的圆周角所对的弧相等.
【例2】如图,⊙O的直径AB=2,AC=1,点D在⊙O上,则∠D的度数为( )
(A)30
(B)45
(C)60
(D)75
C
变式训练2-1:如图,tan∠1的值为( )
(A) (B)
(C)3 (D)2
A
变式训练2-2:如图,点A,B.C均在⊙O上.若∠A=66 ,则∠OCB的度数是( )
(A)24 (B)28
(C)33 (D)48
A
1.小明想用直角尺检查某些工件是否恰好是半圆形,下列几个图形是半圆形的是( )
2.如图,点A,B,C在⊙0上，∠ACB=35 ,则∠AOB的度数是( )
(A)75 (B)70 (C)65 (D)35
B
B
3.如图,BC是⊙O的直径,A是⊙O上的一点,∠OAC=32,则∠B的度数是( )
(A)58 (B)60 (C)64 (D)68
4.如图,AB是⊙O的直径.C和D是⊙O上位于直径AB 两侧的点,连接AC,AD,BD,CD.若⊙0的半径匙13,BD=24.则sin∠ACD的值是( )
(A) (B) (C) (D)
A
D
5.如图,AB是⊙O的直径，点C，D，E是⊙O上的点,其中点C,D在AB下方,点E在AB上方,则∠C+∠D的度数为( )
(A)60 (B)45 (C)30 (D)90
D
6.如图,C是以AB为直径的⊙O上一点,已知AB=5，BC=3,则圆心O到弦BC的距离是 .
2
7.如图,在半径为3的⊙O中,直径AB与弦CD相交于点E,连接AC,BD.若AC=2,则tan∠D= .
8.如图,AC是⊙O的弦,AC=5,点B是⊙O上的一个动点,且∠ABC=45 .若点M,N分别是AC,BC的中点,则MN的最大值是 .
9.如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦，∠C=30 .
(1)求∠BAD的度数；
(2)若AD=3,求BD的长.
解：(1)
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90
∵∠B=∠C=30
∴∠BAD=90 -∠B=60
10.如图,在⊙O中,AB是⊙O的直径,AC=AD,AB交CD于点E,直径CM交AD于点N，连接DM.
(1)求证:AB//DM;
(2)若OE=4,0N=2,求⊙O的半径.
(1)证明:∵AC=AD,且AB是⊙O的直径.
∴AB⊥CD.
∵CM是⊙O的直径.
∴MD⊥CD,
∴AB//DM.
10.如图,在⊙O中,AB是⊙O的直径,AC=AD,AB交CD于点E,直径CM交AD于点N，连接DM.
(1)求证:AB//DM;
(2)若OE=4,0N=2,求⊙O的半径.
(2)解:∵AC=AD,AB⊥CD.
∴CE=DE.
∵OC=OM, ∴DM=2OE=8.
∵AB//DM ∴△AON∽△DMN
11.如图,AB,AC是⊙O的两条弦,M,N分别为 , 的中点,连接MN,分别交AB，AC于点E,F.判断△AEF的形状,并给予证明.
∴OM⊥AB,ON⊥AC,
∴∠MPE=∠NQF=90 ,
∴∠PEM=90 -∠M,∠QFN=90 -∠N.
∴OM=ON, ∴∠M=∠N，
∴∠PEM=∠QFN.
又∵∠AEF=∠PEM,∠AFE=∠QFN,
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，即△AEF是等腰三角形.
解:△AEF是等腰三角形.
证明:
如图,连结OM,ON,分别交AB,AC于点P,Q.
∵M,N分别为弧AB,弧AC的中点，
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