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华东师大版·九年级下册·第27章圆
3.圆周角
第2课时 圆周角定理的推论
知识点1　圆周角定理的推论
第2课时 圆周角定理的推论
(1)圆内接四边形的概念
如果一个圆经过一个多边形的各顶点,这个圆就叫做这个多边形的外接圆,这个多边形
叫做这个圆的内接多边形.
(2)圆周角定理的推论
推论1:90的圆周角所对的弦是直径.
推论2:圆内接四边形的对角互补.
【例1】如图,点C,D在以AB为直径的半圆上，且∠ADC=120 ,
E是 上任意一点,连接BE,CE,则∠BEC的度数为( )
(A)20 (B)30 (C)40 (D)60
B
变式训练1-1:如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB为直径，BC=CD,连接AC.若∠DAB=40 ,则∠D的
度数为( )
A.60 C.70 B.100 D.110
B
变式训练1-2:如图,在四边形ABCD中,连接AC,BD,O为AB 的中点.若∠ADB=∠ACB=90，则下面结论不一定正确的是( )
(A)DC=CB
(B)∠DAC=∠DBC
(C)∠BCD+∠BAD=180
(D)点A,C,D到点O的距离相等
A
变式训练1-3:如图,已知四边形ABCD内接于⊙O,连接BD,∠BAD=105 ,∠DBC=75 .
(1)求证:BD=CD;
(2)若⊙O的半径为3,求BC的长.
(1)证明:
∵四边形ABCD内接⊙O,∠BAD=105 ，
∴∠DCB=180 -105 =75 .
∵∠DBC=75 ，
∴∠DBC=∠DCB,
∴BD=CD.
变式训练1-3:如图,已知四边形ABCD内接于⊙O,连接BD,∠BAD=105 ,∠DBC=75 .
(1)求证:BD=CD;
(2)若⊙O的半径为3,求BC的长.
∴BC=OB=3.
(2)解:
如图,连接OB,OC
∵∠DBC=∠DCB=75
∴∠BDO=180 -75 -75 =30 .
由圆周角定理得,∠BOC=60 .
∵△BOC为等边三角形，
1.如图,ABCD为⊙O的内接四边形,若∠D=85 ,则∠B的度数是( )
(A)85 (B)95 (C)105 (D)115
2.如图,四边形ABCD内接于⊙O.若∠C=130 ,则∠BOD的度数为( )
(A)50 (B)100 (C)130 (D)150
B
B
3.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形,BE是⊙O的直径,连结AE,若∠BCD=2∠BAD,则∠DAE的度数是( )
A.30 B.35 C.45 D.60
A
4.如图,点A,B,C,D在⊙O上,∠D=120,AB=AC=6,则点0到BC的距离是( )
A.3 B. C.2 D.3
B
6.如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠C=∠D,则AB与CD的位置关系是 .
AB//CD
5.如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接 BD,若AB=AD=CD,∠BDC=75 ，则∠C的度数为( )
A.55 B.60 C.65 D.70
D
8.如图，BC为⊙O直径，点A，D在⊙O上，∠DAB=120，若CD=2，则⊙O的半径长度为 .
7.如图,点A,B,C在⊙O上,∠AOB=122 ，则∠ACB= .
2
119
10.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形.若∠A=90 ,AB=BC=3,AD=2,则6四边形ABCD的面积为 .
9.如图,AB=AC=AD=2,∠BCD=120,则
BD= .
6
11.如图,点A,B,C,D均在⊙O上,∠AOD=68 ,AO//DC,求∠B的度数.
∴∠B=180 -∠ADC=56 .
解:
如图，连接AD，
∵∠AOD=68 ，
∵AO//DC,
∴∠ODC=∠AOD=68 ,
∵OA=OD,
∴∠ ADC=∠ODA+∠ODC=56 +68 =124
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
12.如图所示，四边形ABCD是O的内接四边形,连接AC,BD,延长CD至点E.
(1)若 AB=AC,求证:∠ADB=∠ADE;
(2)若BC=3,⊙O的半径为2,求sin∠BAC的值.
(1)证明:
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADE=∠ABC.
∴AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∴∠ADE=∠ACB.
∴∠ACB=∠ADB,
∴∠ADB=∠ADE.
(2)解:
如图所示,连接C(并延长,交O于点F,连接BF,
则∠FBC=90 .
在Rt△BCF中,CF=4,BC=3,
∵∠F=∠BAC
13.如图,圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E,BD平分∠ABC,∠BAC=∠ADB.
(1)求证:DB平分∠ADC.
(2)求∠BAD的大小.
(3)过点C作CF//AD交AB的延长线于点F.若AC=AD,BF=2,求此圆半径的长.
(1)证明:
∵∠BAC=∠ADB,∠BAC=∠CDB,
∴∠ADB=∠CDB,
∴BD平分∠ADC.
13.如图,圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E,BD平分∠ABC,∠BAC=∠ADB.
(1)求证:DB平分∠ADC.
(2)求∠BAD的大小.
(2)解:
∵BD平分∠ABC
∴∠BAD=180 -90 =90 .
∴∠ABD=∠CBD.
∵四边形ABCD是圆内接四边形
∴∠ABC+∠ADC=180 ,
∴∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB=180
∴2(∠ABD十∠ADB)=180 ,
∴∠ABD+∠ADB=90 ,
13.如图,圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E,BD平分∠ABC,∠BAC=∠ADB.
(3)过点C作CF//AD交AB的延长线于点F.若AC=AD,BF=2,求此圆半径的长.
∴圆的半径长是4.
(3)解：
∵∠BAE+∠DAE=90 ，∠BAE=∠ADE,
∴∠ADE+∠DAE=90
∴∠AED=90
∵∠BAD=90 ,
∴BD是圆的直径.
∵BD垂直平分AC,
∴AD=CD,
∵AC=AD
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ADC=60 ,
∵BD⊥AC,
∵CF//AD
∴∠F+∠BAD=180
∴∠F=90
∵四边形ABCD是圆内接四边形
∴∠ADC+∠ABC=180
∵∠FBC+∠ABC=180
∴∠FBC=∠ADC=60
∴BC=2BF=4
∴∠BCF=30
∵∠BCD=90 ,∠BDC=30 ,
∴BD=2BC=8
∵BD是圆的直径，
下 课
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