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华东师大版·九年级下册·第27章圆
2.直线与圆的位置关系
知识点1　直线和圆的位置关系
(1)直线与圆的几种位置关系
①如果一条直线与一个圆没有公共点，那么就说这条直线与这个圆相离.
②如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么就说这条直线与这个圆相切，此时这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点.
③如果一条直线与一个圆有两个公共点，那么就说这条直线与这个圆相交，此时这条直线叫做圆的割线.
(2)判断圆与直线的位置关系的方法
设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，
则有：
d>r 直线与圆相离；
d=r 直线与圆相切；
d例1：已知Rt△ABC的斜边AB=6cm,AC=3cm,以点C为圆心、半径分别为2cm和4cm画两个圆，这两个圆与AB有怎样的位置关系？半径为多长时，AB与⊙C相切？半径为多长时，AB与⊙C没有公共点？
解：作CD⊥AB于D，如图所示：
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
BC2=AB2-AC2即BC2=62-32，
则BC=3
∵△ABC的面积=
AB CD= AC BC，
∴AB CD=AC BC，
即6×CD=3×3 ，
解得：CD= （cm），
即圆心到直线AB的距离d= cm；
当r=2cm时,CD﹥r，圆与线段AB相离；
当r=4cm时,CD﹤r，圆与线段AB相交；
变式训练1-1：如图，若⊙O的直径为6，点O到某条直线的距离为6，则这条直线可能是（　　）
A．l1 B．l2 C．l3 D．l4
A
变式训练1-2：在直角坐标平面内，已知点M（4，3），以M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y轴相离，那么r的取值范围为（　　）
A．0＜r＜5 B．3＜r＜5
C．4＜r＜5 D．3＜r＜4
D
【例2】如图,半圆O的直径DE=12cm,形如三角板的△ABC中,
∠ACB=90°,∠ABC=30°,BC=12cm半圆O以2cm/s的速度从左向右运动到使点E与点B重合为止,在运动过程中,点D、E始终在直线BC上.设运动时间为t（s），当t=0s时，半圆O在△ABC的左侧，OC=8cm.当t为何值时，
△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切？
知识点2　直线和圆的位置关系的应用
①如图，当点E与点C重合时，AC⊥OE，OC=OE=6cm,所以AC为半圆O所在的圆相切，此时点O运动了2cm,所求运动时间为：
解：
②如图，当点O运动到点C时，过点O作OF⊥AB，垂足为F．
在Rt△FOB中，∠FBO=30°，OB=12cm,则OF=6cm,即OF等于半圆O的半径，所以AB与半圆O所在的圆相切．此时点O运动了8cm,所求运动时间为：
③如图，当点O运动到BC的中点时，AC⊥OD，OC=OD=6cm,所以AC与半圆O所在的圆相切．此时点O运动了14cm,所求运动时间为：
综上所述：当t=1s,4s,7s,16s时，△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切．
变式训练2-1：如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是（　　）
A．5＜OB＜9 B．4＜OB＜9
C．3＜OB＜7 D．2＜OB＜7
变式训练2-2：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，则直线y=x+√2与以O点为圆心，1为半径的圆的位置关系为 ．
相切
A
1.已知⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O位置关系是（　　）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交
C
2.如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线y=x-√2与⊙O的位置关系是（　　）
A．相离 B．相切
C．相交 D．以上三种情况都有可能
B
3.已知⊙O的半径为4，点O到直线m的距离为d,若直线m与⊙O有公共点，则d不可取（　　）
A．5 B．4 C．2 D．0
A
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以点A为圆心作圆，如果圆A与线段BC没有公共点，那么圆A的半径r的取值范围是（　　）
A．5≥r≥3 B．3＜r＜5
C．r=3或r=5 D．0＜r＜3或r＞5
D
5.如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数y=
（k＞0，x＞0）的图象上，⊙A与x轴相切，⊙B与y轴相切．若点B的坐标为（1，6），⊙A的半径是⊙B的半径的2倍，则点A的坐标为（　　）
A．（2，2） B．（2，3） C．（3，2） D．（4， ）
C
6.如图，∠APB=30°，点O是射线PB上的一点，OP=5cm,若以点O为圆心，半径为1.5cm的⊙O沿BP方向移动，当⊙O与PA相切时，圆心O移动的距离为( ).
A．2cm B．4cm
C．8cm D．2cm或8cm
7.已知⊙O的半径为5，若直线l与⊙O相离，记圆心O到直线l的距离为d,则d的取值范围是 ．
d＞5
D
8.已知在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，如果以点C为圆心的圆与斜边AB有且只有一个交点，那么⊙C的半径是 ．
9.已知⊙A的圆心坐标为（0，4），若⊙A的半径为3，则直线y=x与⊙A的位置关系是 ．
相交
10.如图，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，D，E分别是AC，AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是 ．
相交
11.如图，给定一个半径长为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d,即OM=d.我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m.如d=0时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点，即m=4，由此可知：
（1）当d=3时，m= ；
（2）当m=2时，d的取值范围是 ．
1
1＜d＜3
12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=2√3，半径为1的⊙O在Rt△ABC内平移（⊙O可以与该三角形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为 .
13.如图所示，正方形ABCD的边长为2，AC和BD相交于点O，过O作EF∥AB，交BC于E，交AD于F，则以点B为圆心，√2长为半径的圆与直线AC，EF的位置关系分别是多少？
∴直线EF与⊙B相交．
解：
由题中已知条件，得
BO⊥AC，
即点B到AC的距离为√2，与⊙B的半径相等；
∴直线AC与⊙B相切．
∵EF∥AB，∠ABC=90°，
∴BE⊥EF，垂足为E．
14.如图，点A是一个半径为300米的圆形公园的中心，在公园附近有B，C两村庄，AC的距离为700米，现要在B，C两村庄之间修一笔直公路将两村连通，现测得∠C=30°，问此公路是否会穿过该公园？请通过计算进行说明．
∴此公路不会穿过该公园．
解：
如图所示：过点A作AD⊥BC于点D，
由题意可得：AC=700m,∠C=30°，
则AD= AC=350m,
∵350＞300，
15.已知平面直角坐标系中点P(x0,y0)和直线y=kx十b,则点P到直线y=kx+b的距离d可用公式 计算.例如:求点P(-1,2)到直线y=3x+7的距离.因为直线y=3x+7,其中k=3,b=7.所以点P(-1,2)到直线y=3x+7的距离为:
.根据以上材料，解答下列问题:
(1)求点P(1,-3)到直线y=x-1的距离.
(2)已知圆心Q坐标为(0,5)，半径r为3,判断⊙Q与直线y=√3x+9的位置关系并说明理由;
解:(1)点P(1,-3)到直线y=x-1的距离为:
15.已知平面直角坐标系中点P(x0,y0)和直线y=kx十b,则点P到直线y=kx+b的距离d可用公式 计算.例如:求点P(-1,2)到直线y=3x+7的距离.因为直线y=3x+7,其中k=3,b=7.所以点P(-1,2)到直线y=3x+7的距离为:
.根据以上材料，解答下列问题:
(1)求点P(1,-3)到直线y=x-1的距离.
(2)已知圆心Q坐标为(0,5)，半径r为3,判断⊙Q与直线y=√3x+9的位置关系并说明理由;
(2)Q与直线y=√3x+9的位置关系为相交.理由如下:
圆心Q(0,5)到直线y=√3x+9的距离为:
∵⊙Q的半径r=3,即d∴⊙Q与直线y=√3+9相交.
下 课
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