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第2课时 平行四边形的性质
6.1 平行四边形的性质
第六章 平行四边形
八下数学 BSD
1. 掌握平行四边形对角线的性质.
2. 综合运用平行四边形的性质，并能够利用性质进行简单的推理计算.
3. 理解梯形的概念，并会解决简单问题.
问题 平行四边形的两条对角线有什么特征
平行四边形的两条对角线互相平分.
你能尝试证明这一结论吗
A
B
C
D
O
已知：如图，□ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O.
求证：OA=OC，OB=OD.
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD(平行四边形的对边相等)，
AB∥CD(平行四边形的定义)，
∴ ∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO，
∴ △ABO≌△CDO，
∴ OA=OC，OB=OD.
知识点1 平行四边形的性质
A
B
C
D
O
还有其他证法吗
有其他证法.证明如下：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD=CB(平行四边形的对边相等)，
AD∥ CB(平行四边形的定义)，
∴ ∠OAD=∠OCB(两直线平行，内错角相等).
又∵ ∠AOD=∠COB(对顶角相等)，
∴ △AOD≌△COB(AAS)，
∴ OA=OC，OD=OB.
知识点1 平行四边形的性质
A
B
C
D
O
知识点1 平行四边形的性质
A
B
C
D
O
定理 平行四边形的对角线互相平分.
数学语言：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA=OC，OB=OD.
知识点1 平行四边形的性质
例1 已知：如图，□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F.
求证：OE=OF.
知识点1 平行四边形的性质
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ DO=BO(平行四边形的对角线相平分)，
AD∥ BC(平行四边形的定义)，
∴ ∠ODE=∠OBF.
∵ ∠DOE=∠BOF，
∴ △DOE≌△BOF(ASA)，
∴ OE=OF.
还记得小学学过的梯形的“样子”吗 画一画，将它与平行四边形比较，并试着给出梯形的定义
知识点2 等腰梯形
知识点2 等腰梯形
一组对边平行、另一组对边不平行的四边形叫作梯形.
两因素：
① 是四边形；
② 只有一组对边平行.
知识点2 等腰梯形
平行的两边称为梯形的底，较短的底通常称为上底，较长的底通常称为下底.
不平行的两边称为梯形的腰，两腰相等的梯形称为等腰梯形.
上底
下底
腰
腰
高
等腰梯形是轴对称图形吗 将等腰梯形纸片折一折，你有哪些发现
知识点2 等腰梯形
等腰梯形的性质：
(1) 等腰梯形是轴对称图形；
(2) 等腰梯形在同一底上的两个角相等.
知识点2 等腰梯形
跟踪训练 如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，AD=2，BC=8，则梯形的周长为 .
22
1. 已知□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，OA，OB，AB的长分别为3，4，5，求其他各边及两条对角线的长度.
解：如图所示，在□ ABCD中，
∴OA=3，OB=4，AB=5，
∴ OC=OA=3，OD=OB=4，CD=AB=5，
∴AC=2OA=2×3=6，BD=2OB=2×4=8.
∵ OA2+OB2=32+42=25，AB2=52=25，
∴ ∠AOB=90°，∴ AC⊥BD.
在Rt△AOD中，∵ AD===5，
∴ BC=AD=5.
故其他各边长都是5，两条对角线的长分别是6，8.
2. 如图，一块梯形玻璃破损成三块，测量发现a∥b，∠1=110°，∠4=125°，求∠2和∠3的度数.
解：∵ a∥ b，
∴ ∠1+∠2=180°，∠4+∠3=180°.°.
∵ ∠1=110°，∠4=125°，
∴ ∠2=180°-∠1=180°-110°=70°，
∠3=180°-∠4=180°-125°=55°.
3. 如图所示， ABCD的周长为22 cm，对角线AC，BD交于点O，过点O且与AC垂直的直线交边AD于点E，则△CDE的周长为　　　　 .
11 cm
4. 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥ BC，∠B=90°，AD =2，BC=2+2，∠C=45°，求腰AB的长和梯形ABCD的面积.
解：如图，过点D作DE⊥BC于点E，
则四边形ABED是长方形.
∴ AD=BE，AB=DE.
∵ AD=2，∴ BE=2，
∴ CE=BC-BE=2+2-2=2.
在Rt△CDE中，∠C=45°，则DE=CE=2，
∴ AB=DE=2，
∴ S梯形ABCD=(AD+BC)×AB=4+6.
5. 如图所示， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点，连接BE，DF.求证：BE=DF.
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OB=OD，OA=OC.
∵ E，F分别是OA，OC的中点，
∴ OE= OA，OF= OC，∴ OE=OF.
在△BEO与△DFO中，
∵ OE=OF，∠BOE=∠DOF，OB=OD，
∴ △BEO≌△DFO(SAS)，
∴ BE=DF.
平行四边形的对角线互相平分.
性质：等腰梯形是轴对称图形；
等腰梯形在同一底上的两个角相等.
平行四边形
定义：一组对边平行、另一组对边不平行的四边形叫作梯形.
梯形

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