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第3课时 两条平行线之间的距离
6.2 平行四边形的判定
第六章 平行四边形
八下数学 BSD
1. 掌握平行线间的距离的概念及性质.
2. 能够综合运用平行四边形的判定定理和性质.
问题 如图，在笔直的铁轨下，夹在两根铁轨之间的平行枕木是否一样长 你能说明理由吗
夹在两根铁轨之间的平行枕木一样长.
理由：因为两根铁轨平行，每两根枕
木平行，所以两根铁轨与两根枕木构
成了平行四边形.
根据平行四边形的对边相等，得到夹在两根铁轨之间的平行枕木一样长.
如图，在方格纸上画两条互相平行的直线，在其中一条直线上任取若干点过这些点作另一条直线的垂线，用刻度尺度量出平行线之间的垂线段的长度.
经过度量，我们可以发现这些垂线段的长度都相等.
知识点 两条平行线之间的距离
如图，在方格纸上画两条互相平行的直线，在其中一条直线上任取若干点过这些点作另一条直线的垂线，用刻度尺度量出平行线之间的垂线段的长度.
猜想：平行线间的距离处处相等.
你能证明猜想的正确性吗
知识点 两条平行线之间的距离
例1 已知：如图，直线 a∥b，A，B 是直线 a 上任意两点，AC⊥b，BD⊥b，垂足分别为 C，D．
求证：AC = BD．
知识点 两条平行线之间的距离
A
B
D
C
a
b
2
1
证明：∵ AC⊥CD，BD⊥CD，
∴ ∠1=∠2=90°.
∴ AC∥ BD.
∵ AB∥ CD，
∴ 四边形ACDB是平行四边形(平行四边形的定义).
∴ AC=BD(平行四边形的对边相等).
知识点 两条平行线之间的距离
A
B
D
C
a
b
2
1
知识点 两条平行线之间的距离
如果两条直线互相平行，那么其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等，这个距离称为平行线之间的距离.
(简记为：两条平行线间的距离处处相等).
∵ l1∥ l2，AB⊥l2，CD⊥l2，
∴ AB=CD.
三种距离之间的区别：
两点间的距离
点到直线的距离
两条平行线之间
的距离
知识点 两条平行线之间的距离
A
B
连接两点的线段的长度.
两条平行线中，从一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度.
点到直线的垂线段的长度.
夹在两条平行线间的平行线段一定相等吗？
由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”易知其围成的封闭图形为平行四边形，
再由平行四边形的性质易知夹在两条平行线间的平行线段一定相等.
知识点 两条平行线之间的距离
A
B
D
C
知识点 两条平行线之间的距离
跟踪训练 如图，点A，B在直线l1上，点C，D在直线l2上，l1∥l2，CA⊥l1，BD⊥l2，AC＝6 cm，则BD＝________cm.
6
准备一张方格纸，以方格纸的格点为顶点画出几个平行四边形.
知识点 两条平行线之间的距离
画法不唯一.
知识点 两条平行线之间的距离
例2 已知：如图，在□ABCD中，点M，N分别在边AD和BC上，点E，F在对角线BD上，且DM=BN，DF=BE．
求证：四边形MENF是平行四边形．
M
C
B
N
D
F
E
A
知识点 两条平行线之间的距离
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC(平行四边形的定义)．
∴ ∠MDF=∠NBE．
∵ DM=BN，DF=BE，
∴ △MDF≌△NBE.
∴ MF=NE，∠MFD=∠NEB．
∴ ∠MFE=∠NEF．
∴ MF∥NE．
∴ 四边形MENF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
M
C
B
N
D
F
E
A
知识点 两条平行线之间的距离
跟踪训练 如图，在□ABCD中，∠ABC=70°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点D作BE的平行线交BC于点F，求∠CDF的度数．
E
C
B
D
F
A
知识点 两条平行线之间的距离
解：在□ABCD中，∠ABC=70°，
∴ ∠ADC=∠ABC=70°．
∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠EBF=∠ABC=×70°=35°．
∵ BE∥DF， ED∥BF，
∴ 四边形BFDE是平行四边形，
∴ ∠EDF=∠EBF=35°．
∵ ∠CDF＋∠EDF=∠ADC ，
∴ ∠CDF=∠ADC－∠EDF
=70°－35°=35°．
E
C
B
D
F
A
1. 如图，直线AE∥ BD，点C在BD上，若AE=5，BD=8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为 .
10
A
B
C
D
E
2. 已知直线m∥n，点A在直线m上，点B，C，D在直线n上，且AB=4 cm，AC=5 cm，AD=6 cm，则直线m与n之间的距离(　　).
A. 等于5 cm B. 等于6 cm
C. 等于4 cm D. 小于或等于4 cm
D
3. 如图所示，直线a∥b，点A，B分别在直线a，b上，∠1=45°，直线a和b之间的距离为3，则线段AB的长度为(　　).
A. 3 B. 3 C. 3 D. 6
A
4. 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO=CO，点E在BD上，满足∠EAO=∠DCO.
(1) 求证：四边形AECD是平行四边形.
(1) 证明：在△AOE和△COD中，
∠EAO=∠DCO，AO=CO，∠AOE=∠COD，
∴ △AOE≌△COD(ASA)，
∴ OE=OD.
又∵ AO=CO，
∴ 四边形 AECD 是平行四边形.
4. 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO=CO，点E在BD上，满足∠EAO=∠DCO.
(2) 若AB=BC，CD=5，AC=8，求四边形AECD的面积.
(2)解：∵ AB=BC，AO=CO，
∴ 点B，O都在线段AC的垂直平分线上，∴ BO垂直平分AC，
∴ OB⊥AC，
∴ ∠COD=90°.
∵ AO=CO，AC=8，
∴ CO=AC=4.
在Rt△COD中，OD===3.
∴ S□AECD=S△ACD+S△ACE=OD·AC+OE·AC=OD·AC=3×8=24.
平行线之间的距离
性质：
①平行线之间的距离处处相等.
②夹在两条平行线间的平行线段都相等.
概念：如果两条直线互相平行，那么其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等，这个距离称为平行线之间的距离.

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