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第五章 分式与分式方程
章末小结
定义
相关概念
及性质
运算
应用
类比思想
转化思想
模型思想
分式
分式的性质
分式的乘除法
分式的加减法
分式方程
分式与分式方程
一、分式及其基本性质
定义：一般地，用A，B表示两个整式，A÷B可以表示成AB的形式，如果B中含有字母，那么称AB为分式.
其中A称为分式的分子，B称为分式的分母.
对于任意一个分式，分母都不能为零.
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一、分式及其基本性质
分式必须满足三个条件：
① 具备AB的形式，且B≠0；
② A，B均是整式；
③ 分母B中含有字母.三个条件缺一不可.
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一、分式及其基本性质
分式有、无意义的条件及分式的值
1. 分式AB有意义的条件：分母 B≠0.
2. 分式AB无意义的条件：分母 B=0.
3. 分式AB的值为零的条件：分子A=0 且分母 B≠0.
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一、分式及其基本性质
分式的基本性质：
分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变.这一性质可以用式子表示为：ba=b?ma?m，ba=b÷ma÷m?(m≠0).
注意 在运用分式的基本性质时：
① 必须注意m≠0这个前提条件；
② 分式的分子、分母要同时进行相同的变形；
③ 分式进行的是恒等变形，其值不变.
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一、分式及其基本性质
分式的约分、最简分式
1. 分式的约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分.
2. 最简分式：分式的分子和分母没有公因式，这样的分式称为最简分式.
一、分式及其基本性质
分式的约分、最简分式
3. 约分的一般方法
(1) 当分式的分子、分母都是单项式时，直接约去分子、分母的公因式(即分子、分母系数的最大公约数与分子、分母中相同字母的最低次幂的乘积)；
(2) 当分式的分子或分母是多项式时，应先分解因式，再确定公因式并约去.
1. 请写出一个最简分式，同时满足以下三个条件：x=2时，分式无意义；x=3时，分式的值为0；x=4时，分式的值为4.
这个分式可以是 .
8x-24x-2
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2. 若分式4x?8x2?4的值为整数，求整数x的值.
解：由题可得，4x?8x2?4?= 4(x?2)(x+2)(x?2)?= 4x+2.
因为分式的值为整数，且x为整数，
所以x+2的值为-4，-2，-1，1，2或4.
所以x的值为-6，-4，-3，-1，0或2.
因为x2-4≠0，所以x≠±2，
所以整数x的值为-6，-4，-3，-1或0.
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3. 已知a+b-3=0，求代数式4(a?b)+8ba2+2ab+b2的值.
解：∵ a+b-3=0，
∴ a+b=3，
∴ 原式= 4a?4b+8b(a+b)2?
= 4(a+b)(a+b)2?
= 4a+b?
= 43.
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二、分式的运算
分式乘法：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.
分式除法：两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.
二、分式的运算
分式的乘方法则：
分式乘方要把分子、分母分别乘方.
进行分式的乘方运算时，一定要先确定乘方结果的符号，它与实数的乘方运算相同，即正数的任何次方都是正数；负数的偶次方为正数，奇次方为负数.
二、分式的运算
分式的通分：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分.
最简公分母：各分母的系数的最小公倍数与各因式的最高次幂的积，叫作最简公分母.
二、分式的运算
同分母的分式加减法：
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.
把分子相加减是指把分子这个“整体”相加减，因此运算时要注意适当加括号，再去括号，以免出现符号错误.
二、分式的运算
异分母的分式加减法：
异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，再按同分母分式的加减法法则进行计算.
二、分式的运算
分式的混合运算顺序：
先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的.
注意：计算结果要化为最简分式或整式.
分式的混合运算技巧
(1) 能用乘法分配律时，可用乘法分配律去括号，不先通分.
(2) 能约分时，先约分再通分.
1. 计算：(x2?y2xy)2?· xy(y?x)2?÷(x+yx)3.
解：(x2?y2xy)2?· xy(y?x)2?÷(x+yx)3
= (x+y)2(x?y)2x2y2?· xy(y?x)2?÷(x+y)3x3
= (x+y)2(x?y)2x2y2?· xy(y?x)2?· x3?(x+y)3
= x2xy+y2 .
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2. 计算：(2a2+2aa2?1 ??a2?2aa2?4a+4)÷2aa?1.
解：原式= [ 2a(a+1)(a+1)(a?1) ??a(a?2)(a?2)2 ]÷2aa?1
= (2aa?1 ??aa?2)?÷2aa?1
= a2?3a(a?1)(a?2)?÷2aa?1
= a(a?3)(a?1)(a?2)?·?a?12a
= a?32a?4.
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3. 先化简，再求值：(2+1?aa)÷a2+2a+1a?，其中a=5?1.
解：原式 = (2aa+1?aa)÷(a+1)2a
= a+1a?a(a+1)2
= 1a+1.
当a= 5?-1时，原式= 15??1+1?= 15??= 55.
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三、分式方程
分式方程：分母中含有未知数的方程叫作分式方程.
分式方程必须满足的条件：
(1) 是方程；
(2) 方程中含有分母；
(3) 分母中含有未知数.
三、分式方程
解分式方程的一般步骤
1. 去分母，化为整式方程(方程两边各项乘以最简公分母).
2. 解这个整式方程，得到方程的根.
3. 检验：判断所求整式方程的解是否是原分式方程的解.
(1) 把未知数的值代入原方程(一般方法)；
(2) 把未知数的值代入最简公分母(简便方法).
4. 结论：确定分式方程的解.
三、分式方程
分式方程的增根
增根：将分式方程变形为整式方程，若整式方程的根使得原分式方程的分母为零，则这个根称为原方程的增根.
注意
(1) 增根是去分母后所得整式方程的根，但不是原分式方程的根；
(2)若一个分式方程有增根，则此增根必使最简公分母的值为零.
三、分式方程
分式方程的应用
1. 列分式方程解决实际问题的一般步骤
(1) 审：审清题意，找出题中的等量关系，分清题中的已知量、未知量.
(2) 设：设出恰当的未知数，注意单位和语言的完整性.
(3) 列：根据题中的等量关系列出分式方程.
(4) 解：求解列出的分式方程.
三、分式方程
分式方程的应用
(5) 验：既要检验所得的解是否为所列分式方程的根，又要检验所得的解是否符合实际问题的要求.
(6) 答：写出答案(要有单位).
三、分式方程
分式方程应用的主要类型
(1) 利润问题：利润=售价-进价，利润率=利润?进价×100%.
(2) 工程问题：工作量=工作效率×工作时间.
(3) 行程问题：路程=速度×时间.
(4) 方案选择问题.
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1. 解方程：2x + 1x(x?2) = 52x.
解：方程两边同乘2x(x-2)，得2×2(x-2)+2=5(x-2).
解这个方程，得x=4.
经检验，x=4是原方程的根.
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2. 若关于x的方程1x?4+mx+4= m+3x2?16无解，则m的值为 .
解析：原分式方程去分母，得x+4+m(x?4)=m+3，即(m+1)x=5m?1.
分式方程无解有两种情况：
① 整式方程无解，即原分式方程无解
当m+1=0，即m=?1时，5m?1≠0.
② 分式方程有增根
5m?1m+1=4或5m?1m+1?=?4.
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?1，5或?13
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3. 甲、乙两个工程队计划修建一条长 15 千米的乡村公路，已知甲工程队比乙工程队每天多修路0.5千米，乙工程队单独完成修路任务所需天数是甲工程队单独完成修路任务所需天数的 1.5倍.
(1) 求甲、乙两个工程队每天分别修路多少千米.
(2) 若甲工程队每天的修路费用为0.5万元，乙工程队每天的修路费用为0.4万元，要使两个工程队修路总费用不超过5.2万元，甲工程队至少修路多少天?
解：(1) 设甲工程队每天修路x千米，
则乙工程队每天修路(x-0.5)千米.
根据题意，得1.5×15x= 15x?0.5，解得x=1.5 .
经检验，x=1.5是原方程的根，且符合题意.
所以x-0.5=1.5-0.5=1.
答：甲工程队每天修路1.5千米，乙工程队每天修路1千米.
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(2) 设甲工程队修路a天，则乙工程队需要修路(15-1.5a)千米，
所以乙工程队需要修路15?1.5a1=(15-1.5a)(天).
由题意，可得0.5a+0.4(15-1.5a)≤5.2，
解得a≥8.
答：甲工程队至少修路8天.

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