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第二十四章 数据的分析
八下数学 RJ
第1课时
24.2 数据的离散程度
1.了解数据离散程度的含义，掌握离差、离差平方和、方差的定义与意义.
2.学会计算一组数据的离差平方和与方差，能用方差比较两组数据的波动大小.
3.能利用方差分析和解决实际问题中数据的稳定性问题，从而做出合理判断.
在数据分析中，除了集中趋势，数据的波动情况也是人们经常关注的特征，统计中把它称为数据的离散程度.本节我们将学习刻画一组数据离散程度的两个常见统计量——离差平方和、方差.
问题 某农业科学院专家为某地选择合适的甜玉米种子.选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是专家所关心的问题.为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，专家各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量 (单位：t) 如下表所示.
甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41
乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49
根据这些数据估计，专家应该选择哪种甜玉米种子呢
由样本平均数
估计总体平均数
上面两组数据的平均数分别是
甲=7.537，乙=7.515.
说明在试验田中，甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大.
由此可以估计出这个地区种植这两种甜玉米，它们的平均产量相差不大.
甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41
乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49
为了直观地观察甲、乙两种甜玉米在各试验田产量的分布情况，我们把表中的两组数据分别用图形进行描述，如图所示.
比较两幅图可以看出，甲种甜玉米在各试验田的产量波动较大，多个产量离平均产量较远；而乙种甜玉米在各试验田的产量波动较小，较集中地分布在平均产量附近.因此，从直观上判断乙种甜玉米的产量稳定性更好．
思考 如何用一个值刻画一组数据的波动程度或离散程度呢？
正如两幅图所呈现的，当数据分布比较分散时，数据与平均数的差异相对较大；当数据分布比较集中时，数据与平均数的差异相对较小.
反过来也成立.
这样，为了全面反映一组数据的离散程度，可以通过数据与平均数的差异来刻画.
一般地，有 n 个数据 x1，x2，，xn，用表示它们的平均数，我们把 xi- （i=1，2，，n）叫作 xi 关于平均数的离差.
思考 可以用平均离差刻画一组数据的离散程度吗？
用离差可以刻画每个数据与平均数的差异，但由
(x1- )+(x2- )++(xn- )=x1+x2++xn-n=0
可知，一组数据的离差和总是0，因此平均离差无法刻画一组数据与平均数的差异.
为了避免离差求和时正负抵消的问题，统计中通常先对离差进行平方，然后求和.我们把
(x1- )2+(x2- )2++(xn- )2
叫作这 n 个数据关于平均数的离差平方和，记作“d2”.
例1 体育老师随机选取八年级两个班各10名同学测量身高(单位:cm)，数据如下：
八(2)班：154,161,149,158,162,155,160,152,156,163；
八(5)班：148,150,166,168,152,155,158,149,165,159.
(1)分别计算两组数据的离差平方和；
解：（1）计算平均身高：
八(2)班：1= × (154+161+149+158+162+155+160+152+156+163) =157.
八(5)班：2 = × (148+150+166+168+152+155+158+149+165+159) =157.
计算离差平方和：
八(2)班：d12=(154 157) +(161 157) +(149 157) +(158 157) +(162 157) +(155 157) +(160 157) +(152 157) +(156 157) +(163 157) =190.
八(5)班：d22=(148 157) +(150 157) +(166 157) +(168 157) +(152 157) +(155 157) +(158 157) +(149 157) +(165 157) +(159 157) =494.
例1 体育老师随机选取八年级两个班各10名同学测量身高
(单位:cm)，数据如下：
八(2)班：154,161,149,158,162,155,160,152,156,163；
八(5)班：148,150,166,168,152,155,158,149,165,159.
(2)根据离差平方和判断哪个班的身高数据离散程度更大.
（2）因为d12 < d22，
所以八（5）班身高数据离散程度更大.
离差平方和的计算步骤
(1)求原始数据的平均数；
(2)求原始数据中各数据与平均数的差；
(3)求(2)中所得差的平方和.
把离差的平方的平均数
叫作这组数据的方差，记作“s2”.
特点：
方差能较好地反映出数据的离散程度，方差越大，数据的离散程度越大；方差越小，数据的离散程度越小.而且在比较两组数据的离散程度时，不受数据个数的限制.
甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41
乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49
思考 你能利用方差公式分析甲、乙两种甜玉米产量的波动程度吗
≈ 0.010，
≈ 0.002.
由，可得乙种甜玉米产量的离散程度较小，即乙种甜玉米产量波动较小，稳定性较好.
甲=7.537.
乙=7.515.
由此可知，在试验田中，乙种甜玉米的产量比较稳定.正如用样本的平均数估计总体的平均数一样，也可以用样本的方差来估计总体的方差.
因此可以推测，在这个地区种植乙种甜玉米的产量比种植甲种的稳定.
综合考虑甲、乙两个品种的平均产量和产量的稳定性，可以推测这个地区比较适合种植乙种甜玉米.
例2 数据1，-3，4，-2，2的方差为________.
解析：
方法一 ∵ = = 0.4 .
∴ s = × [(1 0.4) +( 3 0.4) +(4 0.4) +( 2 0.4) +(2 0.4) ]=6.64.
方法二 ∵= = 0.4 .
∴s = × [1 +( 3) +4 +( 2) +2 5×0.4 ]=6.64
6.64
跟踪训练 在一次训练中，甲、乙、丙三人各射击10次的成绩（单位：环）如图所示，在这三人中，此次射击成绩最稳定的是________.
解析：由图可知，乙的数据波动比较小，因此乙的射击成绩更稳定.
答案：乙.
乙
思考 用离差平方和是否可以刻画数据的离散程度？和方差比较，有什么不足？
离差平方和可以刻画一组数据的离散程度.
在比较两组数据的离散程度时，离差平方和只适用于数据个数相同的情况，而方差则不受这个限制.
例3 甲、乙两名气手枪运动员进行射击训练，10次射击成绩（单位：环）如下表所示.
哪名射击运动员的发挥更稳定？
解：两名运动员射击成绩的平均数分别为
甲= =8.7,
乙= =8.6.
甲 9 7 9 10 10 8 9 10 5 10
乙 9 10 7 8 10 9 9 8 7 9
两名运动员射击成绩的方差分别为
s2甲= =2.41,
s2乙= =1.04.
由s2甲＞s2乙可知，乙射击运动员的发挥更稳定.
甲 9 7 9 10 10 8 9 10 5 10
乙 9 10 7 8 10 9 9 8 7 9
思考 如何使用计算器求方差？
使用计算器的统计功能可以求方差.操作时需要参阅计算器的使用说明书，通常需要先按动有关键，使计算器进入统计状态，然后依次输入数据，最后按动求方差的功能键，计算器便会求出方差的值.
1. 如图，有4组数据，将这4组数据按离散程度从小到大排序.先通过直观判断排序，再根据方差排序.这两种排序的结果是否一致？
解：(1)1=×(6+6+6+6+6)=6，
s21=×[(6 6) +(6 6) +(6 6) +(6 6) +(6 6) ]=0.
(2)2=×(5+6+6+6+7)=6，
s22=×[(5 6) +(6 6) +(6 6) +(6 6) +(7 6) ]=0.4
1. 如图，有4组数据，将这4组数据按离散程度从小到大排序.先通过直观判断排序，再根据方差排序.这两种排序的结果是否一致？
(3) 3= ×(4+5+6+7+8)=6，
s23=×[(4 6) +(5 6) +(6 6) +(7 6) +(8 6) ]=2.
(4) 4= ×(4+4+6+8+8)=6，
s24=×[(4 6) +(4 6) +(6 6) +(8 6) +(8 6) ]=3.2.
所以这4组数据按方差大小，离散程度从小到大的排序为(1)<(2)<(3)<(4).
通过直观判断和根据方差排序的结果是一致的.
2.人数相同的八年级甲、乙两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下：甲=乙=80，s2甲=240，s2乙=180，则成绩较为稳定的班级是( )
A．甲班 B．乙班 C．两班成绩一样稳定 D．无法确定
B
解析：稳定性，也就是指成绩的波动．成绩波动越小，成绩越稳定．根据“方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小”，我们很容易发现乙班的方差比甲班的小，所以乙班的成绩较稳定．
3.下表记录了某市连续五天的日最高气温和日最低气温．比较这五天的日最高气温与日最低气温的波动情况，
下列说法正确的是(　　)
A．日最高气温的波动大
B．日最低气温的波动大
C．一样大
D．无法比较
A
日期 气温　　 2月2日 2月3日 2月4日 2月5日 2月6日
最高/℃ 12 6 10 9 8
最低/℃ 1 －2 －1 0 2
B
4. 某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数(单位：个)及方差如下表所示：

根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择(　　)
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
甲 乙 丙 丁
平均数 205 217 208 217
方差 4.6 4.6 6.9 9.6
数据的
离散程度
离差平方和
d2=(x1- )2+(x2- )2++(xn- )2.
方差
s2= .

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