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第二十四章 数据的分析
八下数学 RJ
第2课时
24.2 数据的离散程度
1.体会样本与总体的关系，能用样本方差估计总体方差，感悟通过样本特征估计总体特征的思想；
2.能从集中趋势和离散程度两个维度对比分析数据，进行决策.
问题 如图，为什么自动灌装线的生产的饮料实际含量会有差别？
这是因为自动灌装线在运行时，会受到机器精度、气压变化、液体流速等不可控因素的影响，导致每瓶饮料的实际灌装量和标准含量之间产生误差. 这种误差在工业生产中是普遍存在的.
问题 如何判断哪条灌装线的质量更好？
1. 误差是否合格：先看误差的绝对值有没有超过规定的标准，如果所有误差都在合格范围内，说明灌装线基本稳定.
2. 波动是否更小：在误差都合格的前提下，比较两条线的整体波动程度. 可以计算每瓶与标准值的平均差异，波动更小的那条线，灌装质量更稳定、更好.
不能只看单瓶的误差，也不能只看平均含量. 我们需要从两个维度来判断：
例1 自动灌装线灌装饮料时，由于各种不可控的因素，每瓶饮料的实际含量与标准含量会存在一些误差（实际含量－标准含量）．
甲、乙两条灌装线同时灌装标准含量为500 mL的饮料，为了检验两条灌装线的灌装质量，从每条灌装线上各随机抽取10瓶饮料进行测量，结果（单位：mL）如下表所示.
(1)如果每瓶饮料含量的误差的绝对值超过10mL为不合格品，两条灌装线的灌装质量是不是都合格？
(2)哪条灌装线的灌装质量更好？
{C4B1156A-380E-4F78-BDF5-A606A8083BF9}甲
501
496
498
499
503
498
505
498
501
501
乙
496
493
504
495
500
506
504
505
498
499
{C4B1156A-380E-4F78-BDF5-A606A8083BF9}甲
501
496
498
499
503
498
505
498
501
501
乙
496
493
504
495
500
506
504
505
498
499
解：(1)甲、乙灌装线饮料的实际含量与标准含量500 mL的误差如下表所示.
{A212C30E-A002-4900-8213-902C3A9C3E93}甲组误差/mL
1
-4
-2
-1
3
-2
5
-2
1
1
乙组误差/mL
-4
-7
4
-5
0
6
4
5
-2
-1
从表中的数据可以看出，甲、乙灌装线灌装的误差绝对值最大分别为5 mL,7 mL，两者都小于10 mL，因此两条灌装线灌装的质量都是合格的.
例1 (2)哪条灌装线的灌装质量更好？
{C4B1156A-380E-4F78-BDF5-A606A8083BF9}甲
501
496
498
499
503
498
505
498
501
501
乙
496
493
504
495
500
506
504
505
498
499
分析：在饮料含量的误差的绝对值符合要求前提下，灌装饮料的实际含量与标准含量的差异越小，说明灌装线的质量越好.
(2)甲、乙灌装线饮料实际含量的平均数分别为
????甲=501+496+?+50110=500,
????乙=496+493+?+49910=500.
两条灌装线饮料实际含量的平均数都等于标准含量.
?
可以类比方差，计算甲、乙灌装线饮料的实际含量与标准含量的平均差异程度，分别为
(501?500)2+(496?500)2+?+(501?500)210 = 6.6，
(496?500)2+(493?500)2+?+(499?500)210 = 18.8.
可以发现，甲灌装线饮料实际含量与标准含量的平均差异更小.
根据样本估计总体，综合来看，甲灌装线的灌装质量更好.
?
例1 (2)哪条灌装线的灌装质量更好？
{C4B1156A-380E-4F78-BDF5-A606A8083BF9}甲
501
496
498
499
503
498
505
498
501
501
乙
496
493
504
495
500
506
504
505
498
499
跟踪训练 甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成两个统计图（如图1，图2）：
图1 甲队员射击训练成绩
图2 乙队员射击训练成绩
根据以上信息，整理分析数据如右图：
{16D9F66E-5EB9-4882-86FB-DCBF35E3C3E4}
平均成绩
/杯
中位数
/杯
众数
/杯
方差
甲
7
7
7
1.2
乙
7
7.5
8
4.2
图1甲队员射击训练成绩
图2乙队员射击训练成绩
(1)求出表格中a,b,c的值.
(2)分别运用上表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩.
{16D9F66E-5EB9-4882-86FB-DCBF35E3C3E4}
平均成绩
/杯
中位数
/杯
众数
/杯
方差
甲
a
7
7
1.2
乙
7
b
8
c
图1 甲队员射击训练成绩
图2 乙队员射击训练成绩
解：(1)观察甲队员射击训练成绩统计图，
可知 a=110×5×1+6×2+7×4+8×2+9×1=110×70=7.
观察乙队员射击训练成绩统计图可知，
乙的 10 次成绩（单位：环）按从小到大的顺序排列为 3, 4, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10，其中最中间的两个数分别为 7 和 8，故????=7+82=7.5.
?
{16D9F66E-5EB9-4882-86FB-DCBF35E3C3E4}
平均成绩
/杯
中位数
/杯
众数
/杯
方差
甲
a
7
7
1.2
乙
7
b
8
c
图1 甲队员射击训练成绩
图2 乙队员射击训练成绩
{16D9F66E-5EB9-4882-86FB-DCBF35E3C3E4}
平均成绩
/杯
中位数
/杯
众数
/杯
方差
甲
a
7
7
1.2
乙
7
b
8
c
乙成绩的方差
????=110×[(3-7)2+(4-7)2+(6-7)2+2×(7-7)2+3×(8-7)2+(9-7)2+(10-7)2]=4.2.
故a，b，c的值分别为 7，7.5，4.2.
?
{16D9F66E-5EB9-4882-86FB-DCBF35E3C3E4}
平均成绩
/杯
中位数
/杯
众数
/杯
方差
甲
7
7
7
1.2
乙
7
7.5
8
4.2
(2)分别运用上表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩.
根据表中数据可知，甲和乙的平均成绩相等，乙的中位数大于甲的中位数，乙的众数大于甲的众数，所以从平均数、中位数、众数的角度看，乙的成绩好于甲的成绩；从方差的角度看，乙的方差大于甲的方差，说明甲的成绩比乙的成绩稳定（合理即可）.
决策型问题的求解策略
决策型问题的求解不能只通过某一个统计量去判断，而应该从多个角度去分析.平均数、中位数、众数反映一组数据的集中趋势.方差是用来描述数据离散程度的量，它的大小体现一组数据的稳定情况.
例2 甲、乙两地同一天的气温记录如下表所示. 两地的气温有什么差异？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}时刻
0:00
2:00
4:00
6:00
8:00
10:00
12:00
14:00
16:00
18:00
20:00
22:00
24:00
甲/ ℃
11
9
10
12
16
21
23
24
21
18
16
14
13
乙/ ℃
13
11
12
14
15
17
19
21
20
18
17
16
15
解：为了直观地观察两地气温的特点，以时刻为横坐标，气温为纵坐标，把表中的数据用折线图进行表示，得到下图.
时刻
气温/ ℃
25
20
15
10
5
0
时刻
气温/℃
25
20
15
10
5
0
从上图可以看出，甲、乙两地气温在不同的时刻互有高低，但甲地的最高气温高于乙地，而最低气温低于乙地.为进一步了解两地气温的差异，可以从数据的集中趋势和离散程度两个方面分别进行比较.
两地气温的平均数分别为
????甲= 11+9+?+1313=16， ????乙= 13+11+?+1513=16.
?
将两地气温按从小到大排列，可得
甲地 9 10 11 12 13 14 16 16 18 21 21 23 24
乙地 11 12 13 14 15 15 16 17 17 18 19 20 21
可以发现两地气温的中位数都是16，众数各有两个（甲地是16和21，乙地是15和17）且都出现两次，因为重复次数太少，所以不具有代表性.因此，从数据的集中趋势看，两地的气温差异不明显.
两地气温的方差分别为
s2甲= (11?16)2+(9?16)2+?+(13?16)213 = 30613≈23.5，
s2乙= (13?16)2+(11?16)2+?+(15?16)213 = 11213≈8.6.
由s2甲＞s2乙可知，乙地气温的波动程度比甲地的小，气温更稳定.
?
跟踪训练 兴趣小组为了考察A、B两种小麦的长势，分别从中随机抽取10株麦苗，测得苗高（单位：cm）如下表.（其中算得A种小麦的平均苗高?????A=12cm ）
?
{16D9F66E-5EB9-4882-86FB-DCBF35E3C3E4}A
10
13
14
13
10
12
13
11
15
9
B
11
16
14
11
13
13
9
11
10
12
(1)求B种小麦的平均苗高.
(2)若试验田有A种小麦1 000株，估计苗高为13cm的小麦有多少株？
(3)哪种小麦的长势比较整齐？并说明理由.
{16D9F66E-5EB9-4882-86FB-DCBF35E3C3E4}A
10
13
14
13
10
12
13
11
15
9
B
11
16
14
11
13
13
9
11
10
12
(1)求B种小麦的平均苗高；
(2)若试验田有A种小麦1 000株，估计苗高为13cm的小麦有多少株？
(3)哪种小麦的长势比较整齐？并说明理由.
解：(1)B种小麦的平均苗高是
110×(11+16+14+11+13+13+9+11+10+12)=12(cm).
(2)1 000×310=300（株）.
?
{16D9F66E-5EB9-4882-86FB-DCBF35E3C3E4}A
10
13
14
13
10
12
13
11
15
9
B
11
16
14
11
13
13
9
11
10
12
(1)求B种小麦的平均苗高；
(2)若试验田有A种小麦1 000株，估计苗高为13cm的小麦有多少株？
(3)哪种小麦的长势比较整齐？并说明理由.
(3)因为????A2=110×[(10-12)2+(13-12)2+(14-12)2+?+(15-12)2+(9-12)2]=3.4，
????B2=110×[(11-12)2+(16-12)2+(14-12)2+?+(10-12)2+(12-12)2]=3.8.
因为 ????A2所以用样本方差估计总体方差，A种小麦长势比较整齐.
?
1.样本方差的作用是（ ）
A.表示总体的平均水平
B.表示样本的平均水平
C.准确表示总体的波动大小
D.表示样本的波动大小，从而估计总体的波动大小
D
2.?甲、乙两名运动员进行罚球线上投篮测试. 每人投篮10组，每组投篮10次，两名运动员投篮10组命中的次数如下表所示.
哪名运动员的投篮更稳定？
{C4B1156A-380E-4F78-BDF5-A606A8083BF9}甲
8
6
9
6
8
10
7
7
10
9
乙
7
8
9
8
9
8
8
10
6
7
解：????甲=110×(8+6+9+6+8+10+7+7+10+9)=8,
s2甲?=110×[2×(8?8)2+2×(6?8)2+2×(9?8)2+2×(7?8)2+2×(10?8)2]=2.
????乙=110×(7+8+9+8+9+8+8+10+6+7)=8,
s2乙=110×[2×(7-8)2+4×(8-8)2+2×(9-8)2+(6-8)2+(10-8)2]=1.2.
因为?s2甲＞s2乙，所以乙运动员投篮更稳定.
?
{16D9F66E-5EB9-4882-86FB-DCBF35E3C3E4}甲
0
1
0
2
2
0
3
1
2
4
乙
2
3
1
1
0
2
1
1
0
1
3.?甲、乙两台机床同时生产一种零件.在10天中，两台机床每天出次品的数量（单位：件）如下表所示.
(1)分别计算两组数据的平均数和方差.
????甲=110×0+1+0+2+2+0+3+1+2+4=1.5，
s2甲=110×[(0?1.5)2+(1?1.5)2+?+(4?1.52]=1.65.
????乙=110×2+3+1+1+0+2+1+1+0+1=1.2.
s2乙=110×[(2?1.2)2+(3?1.2)2+?+(1?1.22]=0.76.
?
{16D9F66E-5EB9-4882-86FB-DCBF35E3C3E4}甲
0
1
0
2
2
0
3
1
2
4
乙
2
3
1
1
0
2
1
1
0
1
3.?甲、乙两台机床同时生产一种零件.在10天中，两台机床每天出次品的数量（单位：件）如下表所示.
(2)哪台机床的性能比较好？
性能比较：
∵????甲>????乙，?∴乙机床出次品的平均数较小.
∵????甲2＞????乙2，?∴乙机床出次品的波动较小.
结论：?乙机床的性能较好.
?
4.为了解学生物理实验操作情况，随机抽取小青和小海两名同学的10次实验得分，并对他们的得分情况从以下两方面整理描述如下：
①操作规范性：
②书写准确性：
小青：1???1???2???2???2???3???1???3???2???1
小海：1???2???2???3???3???3???2???1???2???1
操作规范性和书写准确性的得分统计表：
{16D9F66E-5EB9-4882-86FB-DCBF35E3C3E4}
操作规范性
书写准确性
平均数
方差
平均数
中位数
小青
4
????12
1.8
a
小海
4
????22
b
2
{16D9F66E-5EB9-4882-86FB-DCBF35E3C3E4}
操作规范性
书写准确性
平均数
方差
平均数
中位数
小青
4
1.8
a
小海
4
b
2
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表格中的a=_____，b=_____；比较????12和????22的大小__________；
?
{16D9F66E-5EB9-4882-86FB-DCBF35E3C3E4}
操作规范性
书写准确性
平均数
方差
平均数
中位数
小青
4
????12
1.8
a
小海
4
????22
b
2
{16D9F66E-5EB9-4882-86FB-DCBF35E3C3E4}
操作规范性
书写准确性
平均数
方差
平均数
中位数
小青
4
1.8
a
小海
4
b
2
解：小青的中位数：????=2+22=2.
小海的平均数：????=110×1×3+2×4+3×3=2.
由折线统计图可知，小青的波动幅度大于小海的波动幅度，
∴????12＞????22.
?
2
2
????12＞????22
?
(2)综合上表的统计量，请你对两名同学的得分进行评价并说明理由；
{16D9F66E-5EB9-4882-86FB-DCBF35E3C3E4}
操作规范性
书写准确性
平均数
方差
平均数
中位数
小青
4
????12
1.8
2
小海
4
????22
2
2
{16D9F66E-5EB9-4882-86FB-DCBF35E3C3E4}
操作规范性
书写准确性
平均数
方差
平均数
中位数
小青
4
1.8
2
小海
4
2
2
情况①：从操作规范性来分析，小青和小海的平均得分相等，但是小海的方差小于小青的方差，所以小海在物理实验操作中发挥较稳定；
情况②：从书写准确性来分析，小海的平均得分比小青的平均得分高，所以小海在物理实验中书写更准确；
情况③：从两个方面综合分析，小海的操作更稳定，并且书写的准确性更高，所以小海的综合成绩更好．
(3)为了取得更好的成绩，你认为在实验过程中还应该注意哪些方面？
{16D9F66E-5EB9-4882-86FB-DCBF35E3C3E4}
操作规范性
书写准确性
平均数
方差
平均数
中位数
小青
4
????12
1.8
2
小海
4
????22
2
2
{16D9F66E-5EB9-4882-86FB-DCBF35E3C3E4}
操作规范性
书写准确性
平均数
方差
平均数
中位数
小青
4
1.8
2
小海
4
2
2
熟悉实验方案和操作流程；注意仔细观察实验现象和结果；平稳心态，沉稳应对．
利用方差进行决策
决策型问题的求解不能只通过某一个统计量去判断，而应该从多个角度去分析.平均数、中位数、众数反映一组数据的集中趋势.方差是用来描述数据离散程度的量，它的大小体现一组数据的稳定情况.
方差越大，数据的离散程度越大；
方差越小，数据的离散程度越小.

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