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第二十四章 数据的分析
八下数学 RJ
24.1.2中位数和众数 第2课时
24.1 数据的集中趋势
1.进一步认识平均数、中位数、众数都可以反映一组数据的集中趋势.
2.了解平均数、中位数、众数各自的特点，能选择适当的量反映数据的集中趋势.
复均数、加权平均数、中位数、众数的意义是什么？
平均数反映了一组数据取值的平均水平，是刻画数据集中趋势最常用的统计量.
加权平均数是一种考虑数据权重的统计方法，其核心特点在于通过赋予不同数据不同的重要性（权）来更准确地反映数据的整体趋势.
一组数据按大小排序后，位于中位数左、右两侧的数据个数相同，因此中位数反映了一组数据取值的中间水平.
众数也是刻画数据集中趋势的一种统计量，当一组数据有较多的重复数据时，众数往往能较好地反映其集中趋势.
虽然平均数、中位数和众数都可以用于刻画一组数据的集中趋势，但它们刻画的角度并不相同.在实际应用中，需要分析具体问题的情况，选择适当的统计量刻画数据的集中趋势.
例1 下表是某公司员工月收入的资料.
月收入/元 45 000 18 000 10 000 5 000 3 600 3 000
人数 1 1 1 7 6 4
(1)分别计算这家公司员工月收入的平均数和中位数；
解：（1）这家公司员工月收入的平均数为
=7 080.
将公司20名员工的月收入按从小到大排列，可以得到第10个和第11个数据分别为3 600和5 000，可得中位数为
为什么平均数比中位数高这么多？
因为平均数的计算要用到所有的数据，但这组数据中，有一个极端值“45 000”，平均数受此极端值的影响较大，而中位数不受其影响，所以出现“公司员工月收入的平均数比中位数高得多”的情况.
例1 下表是某公司员工月收入的资料.
月收入/元 45 000 18 000 10 000 5 000 3 600 3 000
人数 1 1 1 7 6 4
(2)若要反映这家公司员工月收入水平, 你认为用平均数还是中位数 为什么
(2)在20名员工中，仅有3名员工的月收入在7 080元以上，而另外17名员工的月收入都在7 080元以下.因此，用月收入的平均数代表所有员工的月收入水平不太合适．而中位数4 300说明一半员工的月收入高于4 300元，另一半员工的月收入低于4 300元.相对平均数而言，中位数更能代表这家公司所有员工的月收入水平.
例2 某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励.为了确定一个适当的月销售目标，商场服装部统计了每位营业员在某月的销售额(单位：万元)，数据如下：
17 18 16 13 24 15 28 26 18 19
22 17 16 19 32 30 16 14 15 26
15 32 23 17 15 15 28 28 16 19
(1)月销售额在哪个值的人数最多？中间位置的月销售额是多少？平均月销售额是多少？
分析：商场服装部统计的每位营业员在某月的销售额组成一个样本，通过分析样本数据的平均数、中位数、众数来估计总体的情况，从而解决问题.
17 18 16 13 24 15 28 26 18 19
22 17 16 19 32 30 16 14 15 26
15 32 23 17 15 15 28 28 16 19
销售额/万元 13 14 15 16 17 18 19 22 23 24 26 28 30 32
人数 1 1 5 4 3 2 3 1 1 1 2 3 1 2
解：整理题干中所给出的数据，得到如下的表和图.
销售额/万元 13 14 15 16 17 18 19 22 23 24 26 28 30 32
人数 1 1 5 4 3 2 3 1 1 1 2 3 1 2
13 14 15 16 17 18 19 22 23 24 26 28 30 32 月销售额/万元
人数
6
4
2
0
解： (1)从上表或上图可以看出，样本数据的众数是15，中位数是 18，利用计算器求得这组数据的平均数约是20.
可以推测，这个服装部营业员的月销售额为15万元的人数最多，中间的月销售额是18万元，平均月销售额大约是20万元.
例2 (2)如果想确定一个较高的销售目标，你认为在(1)的三个销售额中选哪一个作为销售目标合适？请说明理由.
确定一个适当的月销售目标是一个关键问题.如果目标定得太高，多数营业员完不成任务，会使营业员失去信心;如果目标定得太低，不能发挥营业员的潜力.
(2)如果想确定一个较高的销售目标，这个目标可以定为每月20万元（平均数）.
因为从样本数据看，在平均数、中位数和众数中，平均数最大.
可以估计，月销售额定为每月20万元是一个较高目标，大约会有的营业员获得奖励.
例2 (3)如果想让一半左右的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额定为多少合适？请说明理由.
(3)如果想让一半左右的营业员能够达到销售目标，月销售额可以定为每月18万元（中位数）.
因为从样本情况看，月销售额在18万元以上（含18万元）的有16人，占总人数的一半左右.
可以估计，如果月销售额定为18万元，将有一半左右的营业员获得奖励.
思考 根据前面的例题，你能对平均数、中位数、众数的特点分别进行总结吗？
平均数是一组数据的平均值，计算时要用到所有的数据，它能够充分利用数据提供的信息，在现实生活中较为常用.但平均数受极端值（一组数据中与其余数据差异很大的数据）的影响较大，对于存在极端值的数据，一般平均数的代表性较差.
中位数是一组数据按大小排序后处于中间位置的数，计算简单，不易受极端值影响.但中位数不能充分利用数据提供的信息.
众数是一组数据中出现次数最多的数据，不易受极端值影响.但当各个数据的重复次数差别不大时，众数往往不具有代表性.
统计量 优点 缺点
平均数 平均数是一组数据的平均值，计算时要用到所有的数据，它能够充分利用数据提供的信息，在现实生活中较为常用. 平均数受极端值（一组数据中与其余数据差异很大的数据）的影响较大，对于存在极端值的数据，一般平均数的代表性较差.
中位数 中位数是一组数据按大小排序后处于中间位置的数，计算简单，不受极端值影响. 中位数不能充分利用数据提供的信息.
众 数 众数是一组数据中出现次数最多的数据，不受极端值影响. 当各个数据的重复次数差别不大时，众数往往不具有代表性.
跟踪训练1 启迪未来之星，推进科技教育.某校举行了一次以“人工智能”为主题的知识竞赛（竞赛成绩为十分制），各班以小组为单位组织竞赛.
【数据整理】小东将本班甲、乙两组同学（每组8人）竞赛的成绩整理成如图所示的统计图：
【数据分析】小东对这两个小组的成绩（单位：分）进行了如下分析：
【数据应用】请认真阅读上述信息，回答下列问题：
(1)填空：a=_________，b=_________.
7.5
8
(2)小明同学说：“这次竞赛我得了7.6分，在我们小组中略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是 (填“甲”或“乙”)组的学生，请说明理由.
7.5
8
乙
理由：甲组成绩的中位数为8分，乙组成绩的中位数为7.5分，由小明的描述可知他的成绩大于自己所在组的中位数，因此小明是乙组的学生.
(3)小西认为甲组成绩的平均数比乙组成绩的平均数高，因此甲组成绩比乙组成绩好.小东认为小西的观点比较片面，请结合如表中的信息帮小东说明理由.（写出一条即可）
7.5
8
(3)虽然甲组成绩的平均数比乙组成绩的平
均数高，但甲组成绩的众数小于乙组的众
数，因此从众数的角度看，乙组成绩比甲
组好，所以小西的观点比较片面（合理即可）.
跟踪训练2 某科技产品开发公司现有员工50名，所有员工的月工资情况如表：
请你根据上述内容，解答下列问题：
(1)所有员工月工资的平均数为5 320元，中位数为______元，众数为______元.
4 700
4 600
(2)小张到这家公司应聘普通工作人员，请你回答图中小张的问题，并指出用哪个数据向小张介绍普通员工的月工资实际水平更合理些.
解：(2)这个部门经理的介绍不能反映该公司普通员工的月工资实际水平.
因为平均数易受极端值的影响，而该公司总经理和部门经理的工资与普通员工的工资差别较大，所以公司员工的月平均工资不能反映该公司普通员工的月工资实际水平．
用中位数4 700元或众数4 600元来介绍更合理些.
因为中位数和众数不受极端值的影响，所以能反映这组数据的一般水平.
(3)去掉四位管理人员的工资后，请你计算其他员工的月平均工资y(结果保留整数)，并判断y能否反映该公司普通员工的月工资实际水平.
(3)y = ≈4 691（元）.
因为去掉极端值后的平均数能反映一组数据的平均水平，
所以y能反映该公司普通员工的月工资实际水平.
1.有两组学生的体重数据（单位：kg）：
第1组 38 40 44 50 52 52 74
第2组 38 40 44 50 52 52 60
(1)分别求这两组数据的平均数、中位数、众数；
解： (1).
第 1 组数据的中位数是 50，众数是 52.
第 2 组数据的中位数是 50，众数是 52.
(2)比较这两组数据的平均数、中位数、众数，结合数据谈一谈它们刻画数据集中趋势的特点.
(2) 第 1 组和第 2 组的平均数不同，中位数和众数均相同.
特点如下：
统计量 平均数 中位数 众数
特点 能够充分利用数据提供的信息，但受极端值的影响较大，对于存在极端值的数值，平均数的代表性较差. 计算简单，不易受极端值影响，但不能充分利用数据提供的信息. 不易受极端值影响，但当各个数据的重复次数差别不大时，往往不具有代表性.
2.某家电商场的一个柜组出售容积分别为470升、402升、323升、272升的四种型号同一品牌的冰箱，每卖出一台冰箱，售货员就在一张纸上写出它的容积作为原始记录，到月底，柜组长清点原始记录，得到一组由10个272、18个323、66个402和16个470组成的数据．
(1) 这组数据的平均数有实际意义吗？
解：（1）没有实际意义.
2.某家电商场的一个柜组出售容积分别为470升、402升、323升、272升的四种型号同一品牌的冰箱，每卖出一台冰箱，售货员就在一张纸上写出它的容积作为原始记录，到月底，柜组长清点原始记录，得到一组由10个272、18个323、66个402和16个470组成的数据．
(2) 这组数据的中位数、众数分别是多少？
解：（2）这组数据共有110个数据，中位数是按从小到大的顺序排列后的第55个和第56个数据的平均数，这两个数据都是402，故这组数据的中位数是402；
402出现的次数最多，所以众数是402．
2.某家电商场的一个柜组出售容积分别为470升、402升、323升、272升的四种型号同一品牌的冰箱，每卖出一台冰箱，售货员就在一张纸上写出它的容积作为原始记录，到月底，柜组长清点原始记录，得到一组由10个272、18个323、66个402和16个470组成的数据．
(3) 这个商场总经理关心的是中位数还是众数？说明理由．
解：（3）众数．
理由：众数是402，表明容积为402升的冰箱的销量最大，它能为商店带来较多的利润，
因此这种型号的冰箱要多进货，其他型号的冰箱少进货．
3. 某校在包括小明在内的7名学生中根据成绩进行选拔，成绩最好的3名学生参加数学竞赛．现已知这7名学生的成绩都不相同，小明想知道自己能否进入前三名，那么需要知道这7个成绩的(　　)
A．最高分 B．最低分
C．平均分 D．中位数
D
4.关于一组数据的平均数、中位数、众数，下列说法中正确的
是(　　)
A．平均数一定是这组数中的某个数
B．中位数一定是这组数中的某个数
C．众数一定是这组数中的某个数
D．一组数据的中位数和众数不可能相等
C
平均数、中位数和众数的特点
平均数
优点：平均数是一组数据的平均值，计算时要用到所有的数据，它能够充分利用数据提供的信息，在现实生活中较为常用.
缺点：平均数受极端值（一组数据中与其余数据差异很大的数据)的影响较大，对于存在极端值的数据，一般平均数的代表性较差
中位数
优点：中位数是一组数据按大小排序后处于中间位置的数，计算简单，不受极端值影响.
缺点：中位数不能充分利用数据提供的信息.
众数
优点：众数是一组数据中出现次数最多的数据，不受极端值影响，
缺点：当各个数据的重复次数差别不大时，众数往往不具有代表性.

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