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第二十三章一次函数
八下数学RJ
第2课时
23.2一次函数的图象和性质
1.会画一次函数的图象，能根据一次函数的图象理解一次函数的性质.
2.能灵活运用一次函数的图象与性质解答有关问题.
问题1 一次函数的定义是什么？
形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数，叫作一次函数.
问题2 一次函数与正比例函数的关系？
正比例函数是特殊的一次函数.
思考 我们知道正比例函数是特殊的一次函数，正比例函数的图象是一条经过原点的直线，那么一次函数的图象是否也是一条直线？是否也经过原点？一次函数的图象又具有哪些性质呢？
例1 画出函数y=-3x与y=-3x+1的图象.
解：函数y=-3x与y=-3x+1中的自变量x可为任意实数.
列表，表示几组对应值.
x … -1 -0.5 0 0.5 1 …
y=-3x … 3 1.5 0 -1.5 -3 …
y=-3x+1 4 2.5 1 -0.5 -2
描点、连线，画出函数y=-3x与y=-3x+1的图象.
y=-3x
y=-3x+1
比较两个函数图象的相同点与不同点，你发现了什么？
函数y=-3x的图象经过原点，函数y=-3x+1的图象与y轴交于点______，即它可以看作由直线y=-3x向____平移_____个单位长度而得到.
y=-3x
y=-3x+1
探究1 根据观察结果填写：
这两个函数的图象形状都是______，并且倾斜程度_______.
直线
相同
(0,1)
上
1
思考 比较两个函数解析式，你能说出两个函数的图象有上述关系的道理吗？
解：这两个函数的图象有上述关系是因为k相同，b不同.
y=-3x
y=-3x+1
思考 联系观察结果，考虑一次函数y=kx+b (k≠0)的图象是什么形状，它与直线y=kx (k≠0)有什么关系.
y=-3x
y=-3x+1
比较一次函数y=kx+b(k≠0)与正比例函数y=kx(k≠0)的解析式，容易得出：
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可以由直线y=kx平移|b|个单位长度得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象也是一条直线，我们称它为直线y=kx+b.
思考 已知一次函数的图象是一条直线，且可以由正比例函数的图象平移得到，你能想到画一次函数图象的简单方法吗？
①两点法：因为两点确定一条直线，所以一般选取直线y=kx+b(k≠0)与两坐标轴的交点，即(0，b)与(﹣，0)画直线.也可取横、纵坐标均为整数的点.
②平移法：y=kx+b(k≠0)的图象可由y=kx(k≠0)的图象通过向上(b＞0)或向下(b＜0)平移得到.
与y轴的交点
x=0，y=b
与x轴的交点
y=0，x=﹣
例2 画出函数y=2x-1与y=-0.5x+1的图象.
分析：由于一次函数的图象是直线，所以只要确定两个点就能画出.
解：列表表示当x=0，x=1时两个函数的对应值.
x 0 1
y=2x-1 -1 1
y=-0.5x+1 1 0.5
y=-0.5x+1
y=2x-1
过点(0,-1)与(1,1)画出直线y=2x-1；
过点(0,1)与(1,0.5)画出直线y=-0.5x+1.
先画直线y=2x与y=-0.5x，再分别平移它们，也能得到直线y=2x-1与y=-0.5x+1.
跟踪训练 画出函数y=x与y=x+2的图象.
x -4 0
-2 0
0 2
解：(1)两点法.
(2)平移法：先画y=x的图象，再将图象向上平移2个单位长度，直接得出y=x+2的图象.
思考 学习正比例函数时，我们通过画k的符号不同的若干具体函数图象，观察发现了函数性质与系数k的符号的关系，在一次函数中我们是否也能这么研究？
探究2 画出函数y=x+1，y=-x+1，y=2x+1，y=-2x+1的图象，观察这些直线，总结它们从左向右上升或下降的规律.
当k>0时，直线y=kx+b从左向右上升；
当k<0时，直线y=kx+b从左向右下降.
思考 一次函数的解析式y=kx+b(k，b是常数，k≠0)中，k的正负对函数图象有什么影响？你能进而归纳一次函数的性质吗？
一次函数y=kx+b(k，b是常数，k≠0)具有如下性质：
当k＞0时，y随x的增大而增大；
当k＜0时，y随x的增大而减小.
思考 b的值与一次函数的增减性有关吗？
固定k的值，让b的值变化，观察图象：
发现函数的增减性不变，
即一次函数的增减性只与k的正负有关，
而一次函数的图象与y轴交点的位置与b值有关.
一次函数 y=kx+b (k，b是常数，k≠0) k，b的符号 k＞0 k＜0 b＞0 b＜0 b=0 b＞0 b＜0 b=0
图象
增减性 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 与y轴交点的位置 正半轴 负半轴 原点 正半轴 负半轴 原点
经过的象限 三、二、一 三、四、一 三、一 二、一、四 二、三、四 二、四
例3 对于函数y=﹣x+1，下列结论正确的是( )
A.它的图象不经过第四象限
B. y随x的增大而增大
C.它的图象必经过点(0,1)
D.它的图象必经过点(0,2)
C
问题 坐标系中点的平移规律是什么？
“上加下减，左减右加”
思考 一次函数图象的平移规律与点的平移规律一样吗？
探究3 观察直线y=kx+b(k≠0)平移前后的位置，总结一次函数图象的平移规律.
①向上平移m个单位长度，
平移后的解析式为_____________.
②向下平移m个单位长度，
平移后的解析式为_____________.
y=kx+b+m
y=kx+b-m
①向左平移m个单位长度，
平移后的解析式为_____________.
②向右平移m个单位长度，
平移后的解析式为_____________.
y=k(x+m)+b
y=k(x-m)+b
上加下减，左加右减
探究3 观察直线y=kx+b(k≠0)平移前后的位置，总结一次函数图象的平移规律.
拓展 同一平面直角坐标系中两直线l1:y=k1x+b1(k1≠0)，
l2:y=k2x+b2(k2≠0)的位置关系.
k1≠k2 l1与l2相交
k1≠k2，b1=b2 l1与l2相交于y轴上的同一点
k1=k2，b1≠b2 l1∥l2
k1·k2=-1
例4 将直线y＝3x向下平移2个单位长度，所得直线的解析式为(　　)
A．y＝3x＋2
B．y＝3x－2
C．y＝－3x＋2
D．y＝－3x－2
B
跟踪训练
(1)将直线y=-6x向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为__________.
(2)在平面直角坐标系中，将函数y=2x的图象向右平移3个单位长度，所得函数的解析式为_________.
y=-6x-2
y=2x-6
1.直线y=2x-3与x轴交点坐标为_______，与y轴交点坐标为______，经过__________________象限，y随x的增大而______.
增大
(,0)
(0,-3)
第三、第四、第一
解析：令y=0，则2x-3=0，x=；令x=0，则y=-3.
直线与x轴的交点坐标为(，0)，
与y轴的交点坐标为(0，-3).
y=2x-3的图象经过第三、第四、第一象限，y随x的增大而增大.
2.分别在同一平面直角坐标系中画出(1)(2)中各函数的图象，并指出每小题中三个函数的图象有什么关系.
(1) y=x-1，y=x，y=x+1；
(2) y=-x-1，y=-x-1，y=-2x-1.
解：(1)如图所示，它们的图象互相平行.
解：(2)如图所示，它们的图象都经过点(0,-1).
2.分别在同一平面直角坐标系中画出(1)(2)中各函数的图象，并指出每小题中三个函数的图象有什么关系.
(1) y=x-1，y=x，y=x+1；
(2) y=-x-1，y=-x-1，y=-2x-1.
3.已知一次函数y=4x+7，当x>2时，利用函数的性质，求函数值y的取值范围.
解：∵4>0，
∴y随x的增大而增大.
当x=2时，y=4×2+7=15，
∴当x>2时，y>15.
4.一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的图象如图所示，则k，b的取值范围是(　　)
A．k>0，b>0
B．k<0，b>0
C．k>0，b<0
D．k<0，b<0
C
5.已知直线y＝(1－3k)x＋2k－1.
(1)k为何值时，直线与y轴交点的纵坐标是－2？
(2)k为何值时，直线经过第二、三、四象限？
解：(1)∵直线与y轴交点的纵坐标是－2，即当x＝0时，y＝－2，
∴2k－1＝－2，解得k＝.
(2)∵直线经过第二、三、四象限，
∴解得＜k＜．
一次函数
图象
一条直线
k>0：b>0，经过第一、二、三象限；
b<0，经过第一、三、四象限.
k<0：b>0，经过第一、二、四象限；
b<0，经过第二、三、四象限.
画法
性质
①两点法；②平移法.
y随x的增大而增大
y随x的增大而减小

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