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第二十三章一次函数
八下数学RJ
第3课时
23.2一次函数的图象和性质
1.会用待定系数法求一次函数的解析式，会求分段函数的解析式以及确定自变量的取值范围.
2.能用一次函数解决简单的实际问题，发展模型观念和应用意识.
思考 反过来，已知一个一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过两个具体的点，你能求出它的解析式吗？
两点法——两点确定一条直线.
问题 我们已经学习了一次函数的图象和性质，已知一个一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0)，如何画出它的图象呢？
分析：求一次函数y=kx+b的解析式，关键是求出k，b的值.从已知条件可以列出关于k，b的二元一次方程组，进而求出k，b.
因为图象过(2,-4)与(-3,11)两点，所以这两点的坐标必满足解析式.
例1 已知一次函数的图象过点(2，-4)与(-3，11)，求这个一次函数的解析式.
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0)，
因为y=kx+b的图象过点过(2，-4)与(-3，11)，所以
解这个方程组，得
因此，这个一次函数的解析式为y=3x+2.
例1 已知一次函数的图象过点(2，-4)与(-3，11)，求这个一次函数的解析式.
像这样，先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫作待定系数法.
需要几个条件求待定系数？
由于一次函数y=kx+b中有k和b两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以k和b为未知数）.
在正比例函数y=kx中，只有一个待定系数k，只要知道除(0,0)外的一个条件即可求出k的值.
用待定系数法求一次函数解析式的步骤
①设：设出一次函数的解析式y=kx+b(k≠0).
②列：将已知的两组x,y的对应值分别代入所设的解析式中，列出关于k,b的二元一次方程组.
③解：解所列的方程组，求出k,b的值.
④写：写出所求一次函数的解析式.
跟踪训练 已知一次函数的图象经过点(3，-3)与(，0)，求这个一次函数的解析式.
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0).
∵y=kx+b的图象过点(3,-3)与(,0)，
∴ 解得
∴这个一次函数的解析式为y=﹣x＋1.
设
列
解
写
例2 一位记者乘坐汽车赴360km外的乡村采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为普通公路.汽车在高速公路和普通公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y(单位：km)与时间x(单位：h)之间的关系如图所示.
(1)求汽车行驶的路程y关于时间x的函数解析式；
(2)记者出发后多长时间到达采访地？
(1)求汽车行驶的路程y关于时间x的函数解析式；
(2)记者出发后多长时间到达采访地？
分析：问题中汽车行驶的速度不是固定不变的，它与行驶的时间范围有关.
当0≤x≤2时，汽车行驶的速度较快；
当x>2时，汽车行驶的速度较慢.
因此，求函数解析式时应对0≤x≤2和
x>2两个时段分别讨论.
(1)求汽车行驶的路程y关于时间x的函数解析式；
解：当0≤x≤2时，函数图象是经过原点和点A的直线的一部分，
设函数的解析式为y=k1x.
因为它的图象过点A(2,180)，
所以180=2k1，解得k1=90.
因此，当0≤x≤2时，函数的解析式为y=90x.
当x>2时，函数图象是经过A，B两点的直线的一部分. 我们求出直线AB所对应的一次函数的解析式. 设这个一次函数的解析式为y=k2x+b2，把点A,B的坐标分别代入y=k2x+b2，
得
解这个方程组，得
因此，当x>2时，函数的解析式为y=60x+60.
综上，当0≤x≤2时，y=90x；
当x>2时，y=60x+60.
解：由图象可知，当y=360时，x>2.
由360=60x+60，解得x=5.
因此，记者在出发5h后到达采访地.
(2)记者出发后多长时间到达采访地？
由(2)的解答，你能进一步确定(1)中函数的自变量的取值范围吗？
0≤x≤5
(1)写出瓜苗生长的高度y(cm)关于生长时间x(天)的函数解析式；
(2)当这种瓜苗长到大约80cm时，开始开花结果，则这种瓜苗移至大棚后，继续生长大约多少天，开始开花结果？
跟踪训练 某农科所免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术.这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，长到大约20cm时，移至大棚内，沿插杆继续向上生长.研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度y(cm)与生长时间x(天)之间的关系大致如图所示.
解：当0≤x<15时，设y=kx(k≠0)，则20=15k，解得k=，所以y=x.
当15≤x≤60时，设y=k'x+b(k'≠0)，将(15,20)，(60,170)分别代入，
得 解得
所以y=x-30.
综上，当0≤x<15时，y=x；
当15≤x≤60时，y=x-30.
(1)写出瓜苗生长的高度y(cm)关于生长时间x(天)的函数解析式；
(2)当这种瓜苗长到大约80 cm时，开始开花结果，则这种瓜苗移至大棚后，继续生长大约多少天，开始开花结果？
解：当y=80时，80＝x-30，
解得x=33，
33-15=18(天).
答：继续生长大约18天，开始开花结果.
当题目中没有给出一次函数的解析式时，需要先根据题目信息求出解析式(注意自变量的取值范围)，再利用一次函数的性质求解.
1.一个一次函数，当自变量x=1时，函数值y=5；当x=-1时，函数值y=1. 求这个一次函数的解析式.
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0).
因为当x=1时，y=5，当x=-1时，y=1,
所以 解得
所以这个一次函数的解析式为y=2x+3.
2.一个一次函数的图象经过点(9,0)和(24,20)，求这个一次函数的解析式.
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0).
因为一次函数的图象经过点(9,0)和(24,20)，
所以解得
所以这个一次函数的解析式为y=x-12.
3.一位旅客乘坐某航空公司飞机时，购买了经济舱机票. 他所托运的行李的费用y(单位：元)与行李的质量x(单位：kg)的关系如图所示，这位旅客可免费托运的行李的最大质量是多少千克？
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0).
由题图可知其图象经过点(25,90)和(30,180)，
所以 解得
所以这个一次函数的解析式为y=18x-360.
当y=0时，x=20，
故可免费托运的行李的最大质量是20kg.
4. 某自来水公司为了鼓励市民节约用水,采取分段收费标准.居民每月应缴水费 y(单位：元)是用水量 x(单位：t)的函数,其图象如图所示. (1) 分别求出当 0≤x≤15 和 x>15 时，y关于x的函数解析式.
解：(1)当0≤x≤15时，设函数解析式为y=kx(k≠0).
∵函数图象过点(15,60)，
∴15k=60，解得k=4，
∴y=4x(0≤x≤15).
当x>15时，设函数解析式为y=mx+n(m≠0).
∵函数图象过点(15,60)、(20,90)，
∴解得
∴y=6x-30(x>15).
4. 某自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准.居民每月应缴水费 y(单位：元)是用水量 x(单位：t)的函数，其图象如图所示.
(2) 若某用户某月用水9t，则应缴水费多少元？若某月缴水费102元，则这个月用水多少吨？
(2)当x=9时，y=4×9=36.
∵该月缴费超过90元，
∴用水超过20t.
在y=6x-30中，令y=102,得102=6x-30,
解得x=22.
故若用水9t，则应缴水费36元，若缴水费102元，则这个月用水22t.
求一次函数解析式
待定系数法
先求出解析式，再利用一次函数的性质求解.
①设；②列；③解；④写
解决问题

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