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第二十三章 一次函数
八下数学 RJ
23.3 一次函数与方程（组）、不等式
1.会根据一次函数的图象解释一次函数与方程 (组) 、不等式的关系，体会它们之间的内在联系.
2.能通过解方程 (组)确定对应的一次函数图象的交点坐标；反之，会结合图象求方程 (组) 的解或不等式的解集，体会数形结合思想，发展几何直观和推理能力.
数数去超市买水果，苹果每斤5元. 假设他买了 x 斤，总价 y 元.
问：(1) 如果数数付了30元，他买了几斤苹果？
(2) 如果数数只带了30元，他最多能买几斤苹果？
(3) 总价 y 与 x 的关系是什么？
5x = 30
5x ≤ 30
y = 5x
方程
不等式
函数
方程、不等式、函数有什么联系呢？
思考 如图，一次函数 y = 2x-1 的图象与 x 轴交点的横坐标是0.5.当自变量 x 的值为 0.5 时，函数值是多少？由此可以得出一元一次方程 2x－1= 0 的解吗？
分析：一次函数 y = 2x-1的图象与 x 轴交点的横坐标为(0.5 , 0) ，这表明当自变量 x 的值为0.5时，函数值为0.
y = 2x-1
由此可以得出一元一次方程 2x-1= 0 的解是 x = 0.5.
0.5
0
一次函数与一元一次方程的关系
因为任何一个以 x 为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b=0 (a≠ 0)的形式，所以解一元一次方程，
从函数值考虑，相当于在某个一次函数 y = ax+b 的函数值为0时，求自变量 x的值；
从函数的图象考虑，相当于已知直线y=ax+b，求它与 x 轴的交点的横坐标.
利用一次函数的图象解一元一次方程的步骤
①转化：将一元一次方程转化为 kx+b = 0 (k≠0)的形式.
②画图象：画出一次函数 y = kx+b 的图象.
③找交点：找出一次函数图象与 x 轴交点的横坐标，即为一元一次方程的解.
一次函数与一元一次方程的关系
一次函数y=kx+b中，
当y=0时，求x的值.
解方程kx+b=0
直线y=kx+b与x轴交点的横坐标
方程的解
数的角度
形的角度
拓展 如何求方程 kx+b = n 的解？
一次函数y=kx+b中，
当y=n(n为常数)时，求x的值.
解方程kx+b=n
直线y=kx+b与直线y=n交点的横坐标
方程的解
数的角度
形的角度
例1 一次函数 y = kx+b 的图象如图所示，则方程 kx+b=0的解为_______，方程 kx+b = 2 的解为_______.
x = -1
x = 0
分析：当图象上点的纵坐标大于0时,点在x轴上方，其横坐标大于0.5，即函数值大于0时x的取值范围是 x>0.5；
当图象上点的纵坐标小于0时,点在x轴下方，其横坐标小于0.5，即函数值小于0时x的取值范围是 x<0.5.
思考 如图，利用一次函数y=2x-1的图象，你能得出函数值大于0时x的取值范围吗？函数值小于0时呢？由此，你能分别得出一元一次不等式 2x-1＞0与 2x-1＜0 的解集吗？
∴不等式 2x-1>0 的解集是 x > 0.5,不等式 2x-1<0 的解集是 x < 0.5.
一次函数与一元一次不等式的关系
对于可化为 ax+b > 0或 ax+b < 0 (a≠0) 的一元一次不等式，在求它的解集时，
从函数值考虑，相当于在某个一次函数y = ax+b 的值大于0或小于0时，求自变量 x 的取值范围；
从函数的图象考虑，相当于已知直线 y = ax+b，确定这条直线上的点的纵坐标大于0或小于0时横坐标的取值范围.
一次函数与一元一次不等式的关系
一次函数y=kx+b中，
当y>0(<0)时，求x的取值范围
解一元一次不等式kx+b>0(<0)
直线y=kx+b在x轴上方（下方）的部分对应的x的取值范围
不等式的解集
数的角度
形的角度
例2 如图，一次函数 y = kx+b 的图象过点 (2，-1)，则关
于 x 的不等式 kx+b>-1的解集为 ( )
A.x<2 B. x>2
C. x<-1 D. x>-1
A
解析：由函数图象可知，当x<2时，一次函数y=kx+b的图象在直线y=-1的上方，即kx+b>-1,
所以不等式kx+b>-1的解集为x<2.
思考
如何用一次函数的图象解释二元一次方程？以方程 2x-y=1为例.
分析：方程2x-y=1可以转化为y=2x-1，它们有相同的解.
y=2x-1对应一次函数y=2x-1，它的图象是一条直线.
这条直线上每个点的坐标(x,y)都是方程2x-y=1的解，
以方程2x-y=1的解(x,y)为坐标的点都在这条直线上.
一次函数与二元一次方程的关系
由于每个含未知数x和y的二元一次方程都可以转化为y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线.这条直线上每个点的坐标(x,y)都是这个二元一次方程的解，以这个二元一次方程的解(x,y)为坐标的点都在这条直线上.
一次函数与二元一次方程的关系
注意：虽然一次函数与二元一次方程可以相互转化，
但是一次函数≠二元一次方程.
一次函数y=kx+b
二元一次方程y-kx=b
一次函数y=x+b
图象上点的坐标
二元一次方程
y-kx=b的解
一一对应
相互转化
辨析 一次函数与二元一次方程的区别
二元一次方程 一次函数
字母表示的 意义不同 表示未知数 表示变量
表示方法不同 只能用等式 解析式、表格和图象
思考 对于二元一次方程组你能从函数的角度对解这个方程组进行解释吗？
分析：
方程组中两个二元一次方程分别对应一次函数y=2x-1与y=﹣x+·
解这个方程组，可以看作求这两个一次函数的图象的交点坐标.
因此，可以用画图象的方法得到这个二元一次方程组的解.
如图，在同一平面直角坐标系中，画出一次函数 y = 2x-1与 y=﹣x+的图象.
这两条直线的交点坐标为 ( 1 , 1 )，
由此得出方程组
的解是.
一次函数与二元一次方程组的关系
一般地，由含有未知数 x 和 y 的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.
从“数”的角度看，解这样的方程组相当于求当自变量为何值时相应的两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；
从“形”的角度看，解这样的方程组相当于确定两条直线交点的坐标.
图象法求二元一次方程组的解的一般步骤
①变函数：把方程组中的方程化为一次函数的形式.
②画图象：建立一个平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象.
③找交点：由图象确定两直线交点的坐标
④写结果：依据点的坐标写出方程组的解.
注意：用图象法解二元一次方程组要求作图精准，
且有时只能得到近似解.
思考 两直线的位置关系与对应的二元一次方程组解的情况的关系？
两直线的位置关系 对应的二元一次方程组解的情况
相交 有唯一解
平行 无解
重合 有无数组解
例3 同时释放两个探测气球，1号气球从距离地面5m高处出发，以1m/s的速度上升；2号气球从距离地面15m高处出发，以0.5m/s 的速度上升. 两个气球都上升了1 min.
(1) 分别写出表示两个气球所在位置的高度 y (单位：m) 关于上升时间 x (单位：s) 的函数解析式.
解：(1) 气球上升时间 x 满足0 ≤ x ≤ 60.
对于1号气球，y 关于 x 的函数解析式为 y = x+5.
对于2号气球，y 关于x的函数解析式为 y = 0.5x+15.
(2) 两个气球在某时刻能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？
解：(2) 两个气球在某时刻位于同一高度，就是对于 x (0 ≤ x ≤ 60)的某个值，函数 y = x+5 和 y = 0.5x+15 有相同的值 y.
由此可以列二元一次方程组 解得
这就是说，当气球上升 20s 时，两个气球都距离地面 25m.
y = x+5,
y = 0.5x+15 ,
x = 20.
y = 25.
也可以画一次函数的图象解答此问题.
如图，在同一平面直角坐标系中，画出
一次函 数 y = x+5 与y = 0.5x+15 的图象.
这两条直线的交点坐标为(20，25)，
这说明当气球上升 20 s 时，
两个气球都距离地面 25 m.
跟踪训练 利用一次函数的图象解二元一次方程组
解：由方程组，得一次函数 y = 2x+1与 y = x-1.
如图，在同一平面直角坐标系中分别画出一次函数 y = 2x+1 和 y = x-1的图象，
它们的交点坐标为( -2 , -3 )，
所以二元一次方程组的解为
1. 画出一次函数 y = -2x+8 的图象，利用图象解方程 -2x+8 = 0 及不等式 -2x+8 > 0 与 -2x+8 < 0.
解：图象如图所示，
观察图象可知方程-2x+8 = 0 的解为 x = 4，
不等式 -2x+8>0的解集为 x < 4，
不等式 -2x+8 < 0的解集为x > 4.
2. 一次函数 y = 2x-3 与 y = ax+2 的图象的交点坐标为 (2,1)，
请确定方程组的解和 a 的值.
解：由交点坐标可知，方程组的解为
将 x = 2，y = 1 代入 y = ax+2，
得 1 = 2a+2，解得 a =﹣.
3. 刘伟一家计划星期日租用新能源汽车自驾出游. 在甲公司租车，需收取固定租金 80 元，在此基础上再按 14 元/h 计费；在乙公司租车，无固定租金，按 30 元/h 计费. 当他家租车多长时间时，租用甲、乙两个公司汽车的费用相同？
解：设租车时间为 t h. 由题意得，
在甲公司租车费用为(80+14t)元，在乙公司租车费用为 30t 元.
令 80+14t=30t，解得 t=5.
故租车时间为 5h 时，租用甲、乙两个公司汽车的费用相同.
一次函数与二元一次方程(组)
一次函数与方程 (组)、不等式
一次函数与
一元一次方程
一次函数与
一元一次不等式
数形结合思想
直线y=kx+b(k≠0)与x轴交点的横坐标
一元一次方程kx+b=0的解
直线y=kx+b在x轴上方（下方）部分对应的自变量的取值范围
一元一次方程kx+b>0(＜0)的解集
两个一次函数图象的交点坐标即为对应的二元一次方程组的解
一次函数图象上的点的坐标即为对应的二元一次方程的解

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