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第二十三章 一次函数
八下数学 RJ
23.4 实际问题与一次函数
第2课时
能根据实际问题中的条件建立相应函数解析式，能通过分析函数图象，解决决策问题.
同学们，夏天快到了，很多人都想去游泳馆避暑健身. 如果我们办一张年卡，会面临不同的套餐选择.
比如游泳馆推出了 A，B，C 三种年卡：
A 卡 600 元，能游 20 次，超出后每次 40 元
B 卡 1 200 元，能游 50 次，超出后每次 40 元
C 卡 1 800 元，不限次数
如果是你，会怎么选？选贵的怕用不上浪费，选便宜的又怕游得多了反而更花钱.
今天我们就来用函数的方法，一起算一算、比一比，看看哪种套餐最划算！
探究 选取哪种年卡套餐能节省游泳费用？
下表给出了某游泳馆A，B，C三种年卡套餐的收费标准.
套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元
A 600 20 40
B 1 200 50 40
C 1 800 不限次
问题1.三种收费标准有什么区别？
A,B会变化，C不变.
问题2.在变化的收费标准中，游泳费用由哪些部分组成？
游泳费用=年卡费用+超出套餐费用.
问题3.影响超出套餐费用的因素是什么？
年游泳次数.
问题4.这三种方式中有固定最优惠的方式吗？
没有，与年游泳次数有关.
套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元
A 600 20 40
B 1 200 50 40
C 1 800 不限次
分析：设年游泳x次，则套餐A,B,C的游泳费用y1,y2,y3都是x的函数.
在套餐C中，无论年游泳次数是多少，游泳费用都是1 800元，
因此，y3=1 800(x≥0).
若能得到y1,y2关于x的函数解析式，则利用函数解析式，通过方程、不等式或函数图象就能比较y1,y2,y3的大小，从而对年卡套餐作出选择.
套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元
A 600 20 40
B 1 200 50 40
C 1 800 不限次
套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元
A 600 20 40
在套餐A中，考虑游泳费用y1时，要把年游泳次数x分为不超过20次和超过20次两种情况，得到刻画套餐A的游泳费用的函数解析式.
y1 =
化简，得 y1 =
这个函数的图象如图所示.
套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元
B 1 200 50 40
C 1 800 不限次
类似地，可以得到刻画套餐B的游泳费用y2关于年游泳次数x的函数解析式.
y2 =
化简，得 y2 =
这个函数的图象如图所示.
y2
y3
结合函数图象与解析式，可知：
当年游泳次数____________时，选择套餐A能节省游泳费用；
当年游泳次数____________时，
选择套餐B能节省游泳费用；
当年游泳次数____________时，
选择套餐C能节省游泳费用.
小于或等于35
当y1＝y2时，x=35.
当y2＝y3时，x=65.
35
65
大于35小于65
大于或等于65
解决通过比较多个函数的函数值选择最佳方案问题的方法
方法一（数法）：通过讨论多个函数的函数值的大小列方程和不等式求出自变量的取值范围，进而得最佳方案.
方法二（形法）：画出多个函数的图象并求出交点坐标，通过分析交点的左右两侧两个函数图象的相应位置，求出自变量的取值范围，进而得最佳方案.
跟踪训练 某公司要印制产品宣传材料，甲印刷厂的收费方案是：收1 500元制版费，每份材料再收1元印制费；乙印刷厂的收费方案是：不收制版费，每份材料收2.5元印制费.
(1)分别写出两家印刷厂的收费y(单位：元)关于印制宣传材料数量x(单位：份)的函数解析式；
(2)选择哪家印刷厂比较合算？
解：(1),(x≥0，且x为整数).
,(x≥0，且x为整数).
(2)选择哪家印刷厂比较合算？
解：(1),(x≥0，且x为整数).
,(x≥0，且x为整数).
(2)当> 时，1 500+x>2.5x，解得x<1 000;
当= 时，1 500+x=2.5x，解得x=1 000;
当< 时，1 500+x<2.5x，解得x>1 000.
故当01 000时，选择甲印刷厂合算.
1.某通讯公司就手机流量套餐推出三种方案，如下表：
A 方案 B 方案 C 方案
每月基本费用/元 20 56 266
每月免费使用流量/兆 1 024 无限
超出后每兆收费/元
A,B,C三种方案每月所需的费用y(元)与每月使用的流量x(兆)之间的函数关系如图所示.
(1)请直接写出m，n的值.
A 方案 B 方案 C 方案
每月基本费用/元 20 56 266
每月免费使用流量/兆 1 024 无限
超出后每兆收费/元
解：(1)由图象可得m=3 072，
由题意得，20+(1 144-1 024)n=56，
解得n=0.3.
0.3
0.3
3 072
(2)在A方案中，当每月使用的流量不少于1 024兆时，求每月所需的费用y(元)与每月使用的流量x(兆)之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围.
(2)设函数解析式为y=0.3x+b(x≥1 024).
∵函数图象过点(1 144,56)，
∴1 144×0.3+b=56，解得b=-287.2，
∴y关于x的函数解析式为
y=0.3x-287.2(x≥1 024).
(3)在这三种方案中，当每月使用的流量在什么范围内，选择B方案最划算？
(3)∵B方案超过3 072兆后，超出后每兆收费0.3元，
∴当3 072时，可设B方案每月所需的费用(元)与每月使用的流量(兆)之间的函数关系式为
y=0.3x+e，
把(3 072，56)代入得，56=921.6+e，
解得e=-865.6，
∴y=0.3x-865.6 (x≥3 072).
即B方案每月所需的费用y(元)与每月使用的流量x(兆)之间的函数关系式为：y=
当y=266时，0.3x-865.6=266，
解得x=3 772.
∴结合函数图象可知，当1 1442. 如图，某电信公司提供了A，B两种方案的移动通讯费用y(元)与通话时间x(min)之间的关系，若通话时间超过200 min，则B方案比A方案便宜____元．
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3.某学校欲购置一批标价为4 000元的某种型号电脑，需求数量在6至15台之间．经与两个专卖店商谈，优惠方法如下：
甲店：购买电脑打八折；
乙店：先赠一台电脑，其余电脑打九折优惠．
设学校欲购置x台电脑，甲店购买费用为y甲(元)，乙店购买费用为
y乙(元)．
(1)分别写出购买费用y甲、y乙与所购电脑x(台)之间的函数关系式；
解：由题意可得y甲＝4 000×0.8x＝3 200x(6≤x≤15)．
y乙＝4 000×0.9(x－1)＝3 600x－3 600(6≤x≤15)．
(2)对x的取值情况进行分析，说明这所学校购买哪家电脑更合算？
当3 200x＝3 600x－3 600时，解得x＝9，
即当购买9台电脑时，在两家专卖店的购买费用相同；
当3 200x<3 600x－3 600时，解得x>9，
即当10≤x≤15时，买甲店电脑更合算；
当3 200x>3 600x－3 600时，解得x<9，
即当6≤x≤8时，买乙店电脑更合算．
解决方案决策问题的方法
数法
通过讨论多个函数的函数值的大小列方程和不等式求出自变量的取值范围，进而得最佳方案.
形法
画出多个函数的图象并求出交点坐标，通过分析交点的左右两侧两个函数图象的相应位置，求出自变量的取值范围，进而得最佳方案.

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