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第二十三章 一次函数
八下数学 RJ
23.4 实际问题与一次函数
第3课时
能从实际问题中提取关键信息，建立一次函数模型，通过分析函数的变化规律，找到最省钱、最合理的实际方案，提升用数学解决生活问题的能力.
探究 学校要组织 234 名学生和 6 名教师一起去参加实践活动，现在有两种车可以选 —— 甲种车能坐 45 人，租金 400 元；乙种车能坐 30 人，租金 280 元. 而且要求每辆车上至少有 1 名老师，总费用还不能超过 2 300 元.
大家想想，这种既要算人数、又要控预算的问题，我们该怎么一步步规划出最省钱的方案呢？今天这节课，我们就来学习如何用一次函数的知识，解决这类生活里最常见的 “最优方案” 问题.
探究 某学校计划在总费用不超过2 300元的情况下，租用客车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆客车上至少有1名教师.现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示：
(1)共需租多少辆客车？
(2)给出最节省费用的租车方案.
客车种类 载客量/人 租金/元
甲 45 400
乙 30 280
问题1：租车有哪些考虑的条件？
①要保证240名师生乘车都有座位；
②要使每辆客车上至少有1名教师；
问题2：共有多少种租车方案？
共3种：(1) 单独租甲种车；
(2) 单独租乙种车；
(3) 同时租甲种车和乙种车．
问题3：如果单独租甲种车需要多少辆？乙种车呢？
租用甲种车：240÷5=5（辆），
租用乙种车：240÷30=8（辆）.
单独租甲种车要6辆，单独租乙种车要8辆.
问题4：如果甲、乙都租，你能确定合租车辆的范围吗？
汽车总数不少于6辆，不超过8辆.
因为每辆汽车上至少要有1名教师，
所以汽车总数不能大于6辆，综合起来可知汽车总数为6．
问题5：合租甲、乙两种车的时候，又有很多种方案可供选择，应该如何选出最节省费用的租车方案呢？
租车费用与所租车的种类有关.可以看出，当客车总数a确定后，在满足各项要求的前提下，尽可能少地租用甲种客车可以节省费用.
客车种类 载客量/人 租金/元
甲 45 400
乙 30 280
设租用x辆甲种客车，则租车费用y(单位：元)是x的函数，
即 y=400x+280(a-x).
将已经确定的a=6 代入，化简这个函数，得y=120x+1 680.
问题6：为使240名师生有车坐，可以确定x的一个范围吗？
45x+30(6-x)≥240
x≥4
问题7：为使租车费用不超过2 300元，可以确定x的范围吗？
120x+1 680≤2 300
x≤5
综上可以得到x的取值范围：4≤x≤5，
因为x要取整数，所以4≤x≤5.
问题8：结合前面所求出的x的取值范围，你能得出几种不同的租车方案？为节省费用应选择其中哪个方案？请说明理由.
∵4≤x≤5且x取整数. ∴x=4或5．
有两种不同的租车方案：甲客车4辆，乙客车2辆；甲客车5辆，乙客车1辆．
又租车费用y=400x+280(6-x)=120x+1 680，
∵120＞0，
∴y随x的增大而增大．
∴当x=4时，租车费用最少，为120×4+1 680=2 160（元）．
答：租甲种车4辆，乙种车2辆最节省费用．
解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从中选取一个取值能影响其他变量的值的变量作为自变量.然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型.
跟踪训练 某中学组织学生研学，原计划若租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满．
(1)列方程组求原计划租用A种客车多少辆？这次研学去了多少人？
解：（1）设原计划租用A种客车x辆，这次研学去了y人，
根据题意，得
解得
答：原计划租用A种客车26辆，这次研学去了1 200人.
跟踪训练 某中学组织学生研学，原计划若租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满．
(2)若该校计划租用A，B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？若A种客车租金为每辆220元，B种客车租金每辆300元，应该怎样租车才最合算？
(2)设租用B种客车y辆，则租用A种客车(25-y)辆，
根据题意,得45(25-y)+60y≥1 200，解得y≥5.
又∵y为小于或等于7的正整数，
∴y可以为5，6，7，
∴该学校共有3种租车方案.
方案1：租用5辆B种客车，20辆A种客车；
总租金为300×5+220×20=5 900(元)；
方案2：租用6辆B种客车，19辆A种客车；
总租金为300×6+220×19=5 980(元)；
方案3：租用7辆B种客车，18辆A种客车；
总租金为300×7+220×18=6 060(元)．
∵5 900＜5 980＜6 060，
∴租用5辆B种客车，20辆A种客车最合算．
1.某文具店购进A,B两种型号的计算器进行销售，其进价与售价如下表所示.
为了满足市场需求，第二季度文具店计划用不超过2 000元的资金采购这两种计算器共100台.若所采购的计算器能全部售出，给出利润最大的进货方案，并求出最大利润是多少.
型号 进价/元 售价/元
A 22 32
B 19 25
解：设购进 A 型号计算器x台，则购进 B 型号计算器 (100-x) 台.
由题意,得22x+19(100-x)≤2 000,
解得33.
∵ 取正整数， ∴ 最大为 33.
设全部售出的利润为 y 元，则
y=(32-22)x+(25-19)(100-x)=4x+600.
∵ k=4>0，
∴ y随x的增大而增大.
故当 x=33 时，y 最大，此时 y=732.
故利润最大的进货方案是进A型号的计算器33台，B型号的计算器67台，最大利润是732元.
型号 进价/元 售价/元
A 22 32
B 19 25
2.已知甲仓库有生活物资100t，乙仓库有生活物资80t. 现要把这些生活物资全部运往A，B两地，A地需生活物资70t，B地需生活物资110t，两仓库到A，B两地的路程和运费如下：
设甲仓库运往A地的生活物资为x t(x为整数)，总运费为y元.
(1)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围.
(2)若要使总运费不超过37 160元，则有几种运送生活物资的方案？哪种运送方案总运费最少？最少是多少元？
(1)∵甲仓库运往A地的生活物资为xt，
∴甲仓库运往B地的生活物资为(100-x)t；乙仓库运往A地的生活物资为(70-x)t；乙仓库运往B地的生活物资为80-(70-x)=(10+x)t.
运输总费用为：
y=12×20x+10×25(100-x)+12×15(70-x)+8×20(10+x)=-30x+39 200.
∵70-x≥0，x≥0，100-x≥0，∴0≤x≤70.
因此，y关于x的函数解析式为y=-30x+39 200(0≤x≤70).
2.已知甲仓库有生活物资100t，乙仓库有生活物资80t. 现要把这些生活物资全部运往A，B两地，A地需生活物资70t，B地需生活物资110t，两仓库到A，B两地的路程和运费如下：
设甲仓库运往A地的生活物资为x t(x为整数)，总运费为y元.
(2)若要使总运费不超过37 160元，则有几种运送生活物资的方案？哪种运送方案总运费最少？最少是多少元？
(2) 根据题意，得-30x+39 200≤37 160, 解得x≥68.
∵0≤x≤70，∴68≤x≤70.
∵x为整数，∴x=68或69或70，故有三种运送方案.
∵-30<0，∴y随x的增大而减小，
∴当x=70时，y有最小值.
∴当甲仓库运往A地的生活物资为70t，运往B地的生活物质为30t，乙仓库运往A地的生活物资为0t，运往B地的生活物质为80t时，总运费最少，最少为-30×70+39 200=37 100（元）.
3.某辣椒批发商销售A，B两种不同品种的辣椒共80箱，进价和售价如表所示．

设该辣椒批发商采购了A种辣椒x箱，销售完所有辣椒获得的总利润为y元．
品种 进价/(元/箱) 售价/(元/箱)
A 400 480
B 300 350
解：根据题意，得y＝(480－400)x＋(350－300)(80－x)
＝30x＋4 000，
∴y与x之间的函数解析式为y＝30x＋4 000.
(1)求y与x之间的函数解析式．
品种 进价/(元/箱) 售价/(元/箱)
A 400 480
B 300 350
品种 进价/(元/箱) 售价/(元/箱)
A 400 480
B 300 350
根据题意，得400x＋300(80－x)≤29 000，
解得 x≤50.
∵y＝30x＋4 000，30>0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝50时，y有最大值，最大值为30×50＋4 000＝5 500.
答：购进50箱A种辣椒所获得的利润最大，最大利润为5 500元．
(2)如果该批发商最多投入的成本为29 000元，那么购进多少箱A种辣椒所获得的利润最大？并求出最大利润．
根据函数最值选择最佳方案
(1)利用不等式（组）确定自变量的取值范围；
(2)根据函数的增减性，在自变量取值范围内，确定符合实际问题的函数的最值及相应的自变量的值.

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