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第二十三章 一次函数
八下数学 RJ
综合与实践 音乐与数学
1. 理解音乐中乐音四要素、律制等核心内容与函数等数学知识的内在关联，能运用数学方法分析基础的音乐现象.
2. 感受音乐与数学的交叉之美，提升对数学应用价值的认知，同时体会中国古代律学中的数学智慧与文化内涵.
大弦嘈嘈如急雨，小弦切切如私语.
嘈嘈切切错杂弹，大珠小珠落玉盘.
间关莺语花底滑，幽咽泉流冰下难.
冰泉冷涩弦凝绝，凝绝不通声暂歇.
别有幽愁暗恨生，此时无声胜有声.
银瓶乍破水浆迸，铁骑突出刀枪鸣.
曲终收拨当心画，四弦一声如裂帛.
如何用数学描述音乐呢
音乐是声音的艺术. 生活中. 有些声音十分悦耳，也有些声音非常刺耳. 乐器之间的合奏，也存在上述现象. 你知道这是为什么吗
一、活动内容
数学与音乐，看似分别处于理性与感性的两端，实则在乐音的本质层面存在着深刻的内在关联. 在日常生活中，我们常常会察觉到，有些声音听起来和谐悦耳，而有些则显得刺耳难听；当乐器合奏时，有时音色能够完美融合，有时却显得杂乱无章. 那么，这背后究竟隐藏着何种规律呢
通过这次活动，我们运用数学工具来分析乐音的音强、音高、音值、音色等乐音的基本要素，探索形成各种美妙音乐的数学奥秘；了解三分损益法、五度相生律、十二平均律等典型音乐律制的特点并探索其中的数学原理，用函数图象刻画音乐中的旋律.
二、活动目标
1. 了解音阶的概念以及不同律制(如三分损益法、五度相生律、十二平均律等)的基本原理，学会运用数学模型和方法解决音乐理论中的实际问题，提高分析和解决问题的能力.
2. 将音乐中的五线谱与数学中的平面直角坐标系相结合，能利用平面直角坐标系来描述五线谱上音符的位置，利用函数图象刻画音乐中的旋律.
3. 了解我国古代律学家在音乐律制发展中的重要贡献，感受中国古代音乐文化的博大精深，增强民族自豪感和文化自信.
三、活动准备
1. 查阅资料，了解乐音的四个基本要素——音强、音高、音值、音色.
2. 乐音的音高与声波的振动频率有关. 查阅资料，了解这两者之间的关系.
3. 了解弦的振动频率与弦长的关系.
四、活动任务
任务1 我们知道，有些声音混合在一起，听上去十分悦耳，也有些声音混合在一起听着非常刺耳. 查阅资料回答什么样的声音合奏起来比较和谐，你能从数学角度解释吗？
在回答这个问题前，我们先来了解一下乐音的相关知识.
19世纪伟大的数学家傅里叶（J. Fourier，1768-1830）的研究为人们认识乐音的性质奠定了基础，他证明所有乐声——器乐和声乐的声音都可以用数学解析式来描述，这些数学解析式是简单的正弦函数的和，我们可以把这一结论称为傅里叶定理.
每种声音都是由纯音合成的.
纯音的数学模型是f(t)=Asin(＋)，那么乐音的音强（响度）、音高（音调）、音值（音长）、音色（音质）等基本要素（简称“四要素”）与它有怎样的关系呢？
音强 音强又称响度，是指人耳对所听到的声音强弱的感受，但这种感受会受听者听觉差异的影响. 其客观的刻画尺度是声波振幅A的大小，振幅越大，音强越大：振幅越小，音强越小（图1）
音高 音高是指声音的高低. 在音乐中，我们说一个声音高或低时，指的是它的音调.
听一下钢琴的弹奏，当从左往右弹奏时，琴声是由低到高的，若你有条件观察一下钢琴内部，你会看到连接琴键的钢丝是由长到短的，因此，它们振动的频率是由低到高的.
事实上，频率f刻画了音的高低，音高（或音调）与声波的振动频率是对应的，频率越高（每秒振动的次数越多），音就越高；反之，频率越低（每秒振动的次数越少），音就越低（图2）.
音值 音值也称音长，指一个乐音延续的时间长短. 音值由物体振动时间的长短决定，也可用振幅A来刻画，乐音持续一段时间后逐渐消失，是由于声波在传播过程中受阻尼振动能量逐渐减小，声波的振幅也就逐渐减小.
音色 音色也称音质，是人们对不同声音的感觉特性，它与多种因素有关. 不同的发声体由于材料、结构的不同，发出声音的音色也就不同. 即使在同一音高和同一音强的情况下，人耳也能区分出不同音色的声音，比如小提琴与二胡、小号与笛子的声音.
从数学角度看，音色与函数的周期形状有关. 音色本身是一种抽象的东西，但波形给了它直观的表现. 音色不同，其函数图象也不同(图3).
前面曾提到，各种乐器所发出的乐音都是由多种正弦波叠加而成的复合波，所形成的是有别于纯音的复合音. 从图3可以观察到钢琴和长笛的波形图与音叉所发纯音波形图的联系与区别. 由此你会知道，音色不同的内在原因还在于复合波的结构不同.
纯音的数学模型函数 f(t) = A sin(ωt + φ)，
其中 A 叫作振幅，的值叫作周期，用 T 表示，T 的倒数 叫作频率，用 f 表示. 音强、音高、音值和音色等音的四要素都与正弦函数及这些参数 (T， f， A) 有关，音强与振幅有关，即与声波的能量有关，振幅越大，音强越大；音值也与振幅有关，声音消失的过程是由于声波在传播过程中受阻后振动，系统的机械能随时间逐渐减小，振动的振幅也逐渐减小；音高与声波的振动频率是一一对应的，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利.
平时我们听到的每一个声音都不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音. 复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生的频率为 f 的基音的同时，其各部分，如二分之一、三分之一、四分之一也在振动，产生的频率恰好是全段振动的频率的倍数，如2f，3f，4f 等. 这些音叫谐音，因为其振幅较小，我们一般不易听出来，所以我们能听到的声音对应一个复杂的函数，这些单个的函数对应的振动声波，我们听不见，但是它们加在一起，就能发出人耳能够听到的声音.
声音合奏的和谐性取决于其频率之间的数学比例关系，简单整数比例的频率组合通常更悦耳，复杂比例或无规律的组合则易显得刺耳. 从数学角度可解释为：
1. 和谐音程的核心：简单整数频率比.
当两个音的频率之比为简单整数时，人耳感知到的声音更和谐.
2. 数学原理：周期函数与傅里叶级数的叠加.
乐音本质是周期振动，其波形可用傅里叶级数表示为多个正弦函数的叠加，即复合音由基频( f )与整数倍谐音(2f，3f，4f，…)组成. 和谐音的频率比例简单，导致其波形叠加后的周期规律更明显，人耳易感知秩序；而不和谐音的频率比例复杂，波形叠加后周期不规律，波形混乱，秩序感弱，从而产生刺耳感.
任务2 古代音律学家很早就知道声音悦耳的秘密. 由此，音乐家发明了各种制定音乐律制的方法，著名的有中国古代的三分损益法，利用这种方法可以生成“宫、商、角、徵、羽”五声音阶. 而西方的五度相生律可以生成被命名为“毕达哥拉斯音阶”的七声音阶，查阅资料了解这两种音乐律制的制谱方法，它们有什么共通之处吗？
首先，了解一下音程、音阶、律制的概念.
音程 在音乐理论中指两个乐音之间的音高距离，这一距离可以通过“度数”（如二度、五度）和“音数”（全音、半音的数量）来精确描述. 从数学逻辑关系来看，其本质是两音之间的频率比例关系.
音阶 两个相差八度音程的音，按一定规律顺次排列所形成的序列叫作音阶.
律制 在乐音体系中，通过运用数学方法确定各音音高及其相互关系所形成的音律规则叫作律制.
其次，再来了解“三分损益法”和“五度相生律”.
中国古代最早使用的声律方法叫作三分损益法，是按振动物体的长度（某一标准音的管长或弦长）来进行音律计算的，长度越长，频率越低，音越低；反之，则音越高. 三分损益法包含两个含义：“三分损一”和“三分益一”. 三分损一是指将原有长度作三等分而减去一份，即原有长度 × = 生得长度，这样得到的音是原长度音的上方五度音；而三分益一则是指将原有长度作三等分而增添一份，即原有长度 × = 生得长度，所得之音是原长度音的下方四度音.
这种方法是以 3 为除数，用比例 2:3 和 4:3 作为制定音阶的依据，由此来形成音阶.
五度相生律又称为“毕达哥拉斯律”，是通过五度相生法来生成的，其数学规则是：以一音为基准音，然后将频率比为 3:2 的纯五度音程作为生律要素，不断生出其余各音，以形成音阶，以弦为例，取两根同样材质、绷紧的弦，短弦是长弦长度的 （此时，短弦频率是长弦频率 f 的 ），然后使两根弦同时发音，若长弦发的音是C，则短弦发的音是C上方五度音G；若再取短弦时，它的频率大于2f，超出了同一个八度；再把弦长放大一倍作为下一个弦长，就下行得到音d的下方八度音D. 将这个步骤继续下去，就可定出其余所有的音. 这种定音的方法就叫作五度相生律.
我国古代的三分损益法与西方的五度相生律在制谱方法和律制原理上存在共通之处，它们运用的数学原理及形成的长度关系、音程关系是相通的、一致的.
1. 制谱方法
三分损益法：通过“损一”（律管长度减短三分之一）和“益一”（律管长度增长三分之一）交替生律. “损一”时律管长度比为 3:2，对应上方五度音；“益一”时长度比为 3:4，对应下方四度音. 以宫音为基音，宫音“损一”得徵音，徵音“益一”得商音，商音“损一”得羽音，羽音“益一”得角音，生成“宫、商、角、徵、羽”五声音阶.
五度相生律：以 3:2 的纯五度音程为核心生律要素，从基音向上下两个方向同时生音. 以 C 为基音，向上五度生 G，D，A，E，B，向下五度生 F、降 B 等，生成包含 C，D，E，F，G，A，B 的七声音阶（毕达哥拉斯音阶）.
2. 共通之处
两者核心比例一致，均以 3:2 的比例（纯五度音程）作为生律基础，三分损益法的“损一”和五度相生律的上下五度生成都依赖此比例.
任务3 三分损益法、五度相生律这一类制谱方法，有个共同的问题：它们所生成的音阶都不能回归本律，即所得到的音和最初的音不能形成八度关系. 这给音乐作品的转调带来了困难. 以三分损益法为例，你能从数学角度解释为什么存在上述不足吗？
三分损益法的生律逻辑如下.
损一（向上纯五度）：频率 × （因弦长与频率成反比）.
益一（向下纯四度）：频率 × .
若要“回归本律”，经过 n 次损益后，最终频率需为基准音的 2k倍（k 为整数，即八度倍数）. 设经过 a 次“损一”和 b 次“益一”，总频率乘数需满足：
，
即 .
∵ 3 和 2 是互质的数，
∴ 当 a + b = 0，且 k + a + 2b = 0 时成立，
∴ 当 a = b = k = 0 时成立.
∵ a，b 都是正整数，
∴ 不存在满足条件的 a，b 使等式成立.
三分损益法通过 3 的幂次操作生成音阶，但 3 的因子无法被 2 的幂次消去，导致无法通过有限步骤回归本律.
任务4 为了弥补上述不足，中国历代音律学家不断探索，直到明代律学家朱载境（1536一1611）创立了十二平均律，上述问题才得以彻底、完整地解决. 查阅资料，了解十二平均律的制谱方法. 试列式计算十二平均律中相邻两个音的频率之比的值.
从数学角度看，十二平均律的生律方法是通过计算精确规定八度音阶的频率比例，把八度音程分为十二等份，得到十二个半音，其中每相邻两个音的频率之比相等. 采用这样的方式生成的音律叫作十二平均律.
设音C的频率是f，于是音C的上方八度音c 的频率就是 2f. 如果在音的序列中相差一个半音的两个音的频率之比是 k，那么根据十二平均律可以写出八度音程中的各个音. 将这些音的频率按由小到大的顺序排列，可得：f，kf，k f，k f……k f，k f.
因为 k f 是音 C（频率为 f ）的上方八度音 c 的频率，所以
k f = 2f，解得 k = 2，所以 k = ≈ 1. 059 463.
计算结果表明，十二平均律中相邻两个音的频率之比是个常数，这个常数不是有理数，而是无理数.
任务1 图象由点组成，在画函数图象时，需要在平面直角坐标系中描出点的位置，这就需要先确定点的横、纵坐标. 类似地，人们在记谱时，也是通过记录乐音的音高和音值这两个基本要素来记录乐音. 查阅资料，分析五线谱是如何记录乐音的上述两个要素的，五线谱中记谱的方式和在平面直角坐标系中刻画点的位置有什么相似性？
我们知道乐音的音高和音值是乐音的两个基本要素，五线谱通过音符的位置与形状分别记录乐音的音高和音值. 垂直维度通过线与间的位置编码音高，通过谱号和加线扩展音域；符号形态（符头、符干、符尾及附加符号）编码时值，形成清晰的节奏比例关系. 具体规则如下：
1. 音高的记录
五线谱由五条等距横线（线）和四条间隔(间)组成，音符的符头在五线谱中的垂直位置直接对应音高；符头在线或间上的位置越高，音高越高，超出五条线范围的音高，通过加线（临时短线)扩展；谱号（如高音谱号、低音谱号）定义基准音位置. 升降号(#/b)用于临时调整音高，改变半音关系.
2. 音值（时长）的记录
音符的时值（音的长短）由符头、符干、符尾的组合形态决定，常见时值关系为“倍数递减”（以全音符为基准）. 基本音符形态如下.
全音符（空心符头，无符干）：时值为 4 拍.
二分音符（空心符头 + 符干）：2 拍（全音符的 ）.
四分音符（实心符头 + 符干）：1 拍（全音符的 ）.
附加符号对时值的调整如下.
附点（音符右侧小点）：延长原时值的 （如附点四分音符 = 1. 5 拍）.
连音线：连接相同音高的音符，合并其时值（如两个四分音符连音线 = 2 拍）.
休止符：通过对应形状的休止符号（如全休止符、四分休止符）记录无声时长，形态与音符时值规则对应.
五线谱中记谱的方式垂直维度类似平面直角坐标系中 y 轴坐标，对应数值的大小刻画音高，横向维度类似坐标系中 x 轴，用音符、节拍来刻画乐音的时长，通过这两个方面来对某个音记谱，它客观上就具有了平面直角坐标系的属性，这样，我们就可以将五线谱视为数学中的平面直角坐标系. 各个音符在五线谱中的位置，相当于在平面直角坐标系里的位置.
任务2 能否用函数刻画乐曲的旋律？以图4中的乐曲片段为例，思考上述五线谱中，在乐谱刻画的时间段内，音符的音高和时间有什么关系？你能在平面直角坐标系中将图4中的乐曲片段刻画出来吗？和你的同伴一起尝试一下吧！
如图4，建立平面直角坐标系，以横轴表示时长（可以拍为单位），因为这是一段C大调曲谱，而五线谱的下加一线即代表C调的“1”音，故我们就以此线为横轴；以纵轴表示音高（用音程为单位）.
图4
任务3 通过上述步骤，可以在平面直角坐标系中作出一条刻画音乐旋律的曲线. 和你的同伴交流以下问题：
(1)看看画出的曲线是否一致？如果不一致，分析其中的原因.
(2)任务2中在平面直角坐标系中刻画的音乐旋律是否可以视为一条函数曲线？为什么？
(1)按照任务2中建立的坐标系画出图象，如图5所示.
图5
(2)单音旋律在量化音高后可视为分段函数曲线，但对于和弦与复调音乐，若同一时间点存在多个音高（如和弦），则一个x值对应多个y值，不满足每一个x值对应唯一的y值这一函数的基本定义，不能视为一条函数曲线.
任务4 把五线谱看作平面直角坐标系，为我们用数学的眼光欣赏音乐旋律提供了工具. 自选一首歌（乐）曲，把其中一段旋律的五线谱表现在你建立的平面直角坐标系中，分析所画的曲线是否可以视为函数图象.
各种乐器的制作离不开数学知识. 例如，笛子等管乐器的开孔位置、三角钢琴的外形轮廓线等都有数学依据作支撑，体现了数学与音乐的密切联系.
任务1 选择一种乐器，借助活动一中学过的音乐律制的知识，分析乐器结构中蕴含的数学知识.
任务2 尝试自制一个小乐器，和同学比较一下看谁制作的乐器音准更好.
五、活动评价
通过成果展示与交流，基于各组完成的研究报告，根据情况选择任务完成表、作品评分表、表现评分表、自我反思表等进行评价. 与老师（包括音乐老师）和全班同学一起，通过质疑、辩论、评价，总结成果，分享体会，分析不足，开展自我评价、同学评价和教师评价，完成本次综合与实践活动.

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