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第八章《实数》单元测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各数中，属于无理数的是 （ ）
A． B． C． D．
2．下列算式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法中，正确的是（ ）
A．正实数包括正有理数，正无理数和0；
B．实数可以分为正实数和负实数；
C．所有有理数都可以对应数轴上的点；
D．数轴上的点都对应有理数．
4．下列整数中，与的值最接近的是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．若，则的值不可能是（ ）
A． B． C．0 D．2
6．下列各组数中互为相反数的是()
A．与 B．与
C．与 D．与
7．数轴上表示，的点分别为，，点是的中点，则点所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
8．现对实数，定义一种运算：．则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．按一定规律排列的单项式：，，，，，……；第n个单项式为（ ）
A． B． C． D．
10．在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．81的算术平方根是 ．
12．无理数的整数部分是 ．
13．比较大小： 填“”“”或“”
14．若与是同一个正数的平方根，则的值为 ．
15．若x，y为实数，且满足，则的值是 ．
16．对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作就变为2．类比上述操作，若对正整数只需进行3次操作就变为2，则的最大值为 ．
解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）
17．计算：
(1) (2)
18．解方程：
(1)； (2)．
19．已知的立方根是1，b是的整数部分．
(1)_____，_____；
(2)求的平方根．
20．把下列各数分别填到相应的横线上（只填编号即可）．
，，，，，，（每两个之间多一个），，．
属于整数的有：________________________；
属于有理数的有：________________________；
属于无理数的有：________________________．
21．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．
(1)的值是 ；
(2)求的值；
(3)在数轴上还有两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根．
22．图1是由8个同样大小的正方体组成的二阶魔方，体积为．
(1)求这个魔方的棱长；
(2)图1中阴影部分是一个正方形，求阴影部分的面积及其边长；
(3)把正方形放到数轴上，如图2所示，使点A与2重合，数轴上有一个点E，若，则点E在数轴上表示的数为______．
23．如图是一个数值转换器，原理如图所示．
输入x取算术平方根结果是无理数输出y
(1)当输入x值为16时，求输出的y值．
(2)是否存在输入x值后，始终输不出y值？如果存在，请直接写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由．
(3)输入x是一个两位数，恰好经过两次取算术平方根才能输出y，请写出两个符合要求的x值．
24．我们用表示不大于a的最大整数，的值称为数a的小数部分，如， 3.43 的小数部分为．
(1) ；
(2)设的小数部分为a，求 的值；
(3)已知 其中x是整数， 且， 求的值．
25．先观察下列等式，再回答问题：第一个等式；第二个等式；第三个等式．
(1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式；
(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）；
(3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值．
参考答案
一、选择题
1．D
解：A．，是整数，属于有理数；
B．是分数，属于有理数；
C．是有限小数，属于有理数；
D．，是无理数，故也是无理数；
故选：D．
2．D
解：A．，因此选项A不符合题意；
，因此选项B不符合题意；
，因此选项C不符合题意；
，因此选项D符合题意．
故选：D．
3．C
解：∵ 正实数是指大于0的实数，不包括0，
∴ A错误；
∵ 实数包括正实数、负实数和0，不能仅分为正实数和负实数，
∴ B错误；
∵ 有理数是实数的子集，数轴上的点与实数一一对应，因此所有有理数都可以对应数轴上的点，
∴ C正确；
∵ 数轴上的点对应所有实数，包括无理数，而并非只对应有理数，
∴ D错误．
故选：C．
4．D
解：∵，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴最接近整数5．
故选：D．
5．D
解：∵，
∴或0，
∴a的值为或或0，
∴的值不可能是2．
故选：D
6．C
解：A：∵=，∴与相等，不互为相反数．
B：∵，∴，∴与相等，不互为相反数．
C：∵=，∵=．∴与互为相反数，
D：∵，∴不互为相反数．
故选：C．
7．C
解：数轴上，的对应点分别是点和点，
，
是线段的中点，
，
点表示的数为：．
故选：．
8．A
解：，
故选：A．
9．C
第项: , 第项: , 第项: , ……
根号部分为，的指数为，
第n个单项式为；
故选．
10．C
解：当，取算术平方根，可得：，
是有理数，
再取的立方根，
又是有理数，
再取的算术平方根，
的算术平方根是是无理数，
．
故选：C．
二、填空题
11．9
解：根据算术平方根的定义，81的算术平方根是，
∵，
∴．
故答案为9．
12．4
解：∵ ，，
∴ ，
因此 的整数部分是 4，
故答案为：4．
13．
解：，，且，
，
，
故答案为：．
14．4或100
解：设与是正数的平方根，则有两种情况：
当时，
解得，
，
．
当时，
解得，
，
．
的值为4或100．
故答案为：4或100．
15．
解：∵，，，
∴且，
由，得，解得：，
则可化为，即，解得：，
∴．
故答案为：．
16．256
解：设第三次操作前的数值为，由，得，平方得，取 时最大，
设第二次操作前的数值为，由，得，平方得，取 ，
设第一次操作前的数值为，由得，平方得，故 最大值为，
验证：对，第一次操作，第二次操作，第三次操作 ，恰好三次操作后变为2．
故答案为：256．
三、解答题
17．（1）解：
；
（2）
．
18．（1）解：，
，
解得或；
（2），
，
，
，
解得．
19．（1）解：∵的立方根是1，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴的整数部分是6，
∵b是的整数部分，
∴．
故答案为：3，6；
（2）解：由（1）得，，
∴，
∴的平方根为：．
20．解：是无限循环小数，故不是整数，是有理数；
，是整数，也是有理数；
是有限小数，是有理数，
是无限不循环小数，所以也是无限不循环小数，故是无理数；
，是整数，也是有理数；
是整数，也是有理数；
（每两个之间多一个）是无限不循环小数，故是无理数；
是分数，故是有理数；
是开方开不尽的数，是无限不循环小数，故是无理数．
综上，属于整数的有：；
属于有理数的有：；
属于无理数的有：．
故答案为：；；．
21．（1）解：由题意知：，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，，
∴
；
（3）解：∵与互为相反数，
∴，
∴，且，
解得：，，
∴，
∴的平方根为：．
22．（1）解：设这个魔方的棱长为x，
则，
解得：，
故这个魔方的棱长为4；
（2）解：棱长为4，
每个小立方体的棱长都是2，
阴影部分；
阴影部分正方形的边长为：；
（3）解：正方形的边长为，点A与2重合，，
动点E在点左边时，数轴上表示的数为：，
动点E在点右边时，数轴上表示的数为：，
故答案为：或．
23．（1）解：，为有理数，
，为有理数，
为无理数，
∴；
（2）解：当或或负数时，始终输不出y值．
∵0，1的算术平方根是本身，一定是有理数，
当或1时，始终输不出值，
∵负数没有算术平方根，
∴若输入负数，同样始终输不出值．
综上所述，或1或负数；
（3）解：答案不唯一．
如或或或．
24．（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ 的小数部分；
∵ ，
∴ ，
∴ ；
∴ ；
（3）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ， 是整数，且 ，
∴ ，；
∴ ．
25．（1）解：∵第一个等式；
第二个等式；
第三个等式；
∴根据规律可猜测第五个等式为；
（2）解：根据（1）总结规律可得：第n个等式为；
（3）解：依题意，根据规律可化简：
原式
．

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