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2026届高三第一学期质量检测
数学参考答案及评分标准 2026.01
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1—4.BBDA 5—8.CBCD
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.ABD 10.BD 11.ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.4 13.[-3,0]
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.解：(1)设{an} 的首项为a , 公差为d, 则
a =a +d=4,S =6a +15d=42,……………………………… 2 分
解得，a =2,d=2. ……………… ………………………………………4 分
所以，an=a +(n-1)d=2n.…… ……… 6 分
(2)由(1)知，azn-1=2(2n-1),a2n+1=2(2n+1).………………… 7分
所以 ………………………………10分
所以
16.解：以A 为原点，直线AB,AD,AA 所在的直线分
别为x 轴 、y轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标
系，则B(4,0,0),C(4,4,0),D(0,4,0),B (2,0,
4),D (0,2,4).
设 Q(4,m,0),P(0,y,z),
(1)所以AB =(2,0,4),PQ=(4,m—y, 一z).
因为AB ⊥PQ, 所以，AB ·PQ=0,
即8—4z=0,
高三数学试题答案 第1页(共5页)
解得z=2.
所以点P 是棱DD 的中点. ………………………………………………………6分
(2)因为
所以z=1. ………………………………… ……………………………………8 分
所以
所以 …………………………………………………………10分
又因为BD= (一4,4,0),
设平面PBD 的一个法向量n =(a,b,c),
则 ,即 ,令b=2,
则 c=1,a=2.
所以n,=(2,2,1),…………………………………………………………13 分
又平面ABD 的一个法向量为n =(0,0,1),
设平面PBD 与平面ABD 的夹角为θ,则
.……… ……………………………15分
17.解：(1)连接AP, 则 PA=PQ,
所以PC+PQ=PC+PA=4>AC 2 分
由椭圆定义知，点P 的轨迹为以A、C为焦点的椭圆，且c=1,a=2, 3 分
所以b =a —c =4-1=3.……………………………………………………………4 分
所以T 的方程为： …………………………………………………………5分
(2)(i) 四边形BDEF 为平行四边形，且O 为其中心. … … 7 分
(ii) 显然直线 BD、EF的斜率不为0,设直线 EF 方程为x=my+1,
E(x1,y1),F(x2,y2).
联立T 的方程 ,消x 得：
(3m +4)y +6my-9=0, 显然△>0,
高三数学试题答案 第2页(共5页)
且 . ……………………8分
, … … … … … … … 1 0 分
令t=√m +1, 则t≥1, 且 ……………… ………………12分
令 ,显然 在[1,十∞∞]时单调递减，
所以f(x)mx=f(1)=6.…………………………………………… … …14 分
即 SBDEF的最大值为6,此时直线BD 的方程为x=-1, 直线EF 的方程为x=1.
… 15分
18.解：(1)解法一 三个小球放入四个盒子，总样本点个数为4 =64.
甲盒中恰有0个小球，即三个小球放入乙丙丁三盒，共有3 =27种放法.
所以
甲盒中恰有1个小球.即先从三个小球中选一个放入甲盒，其余2个小球放入乙丙丁三
盒中，共有C ×3 =27 种放法.
……………………………………………………………………2分
甲盒中恰有2个小球，即先从三个小球中选2个放入甲盒，剩下的1个小球放入乙丙丁
三盒中，共有C ×3=9 种放法.
所以 ……………………………………………………………………3分
甲盒中恰有3个小球，即三个小球全部放入甲盒，有1种放法，
…………………………………………………………4分
所以X 的分布列为：
X 0 1 2 3
P
高三数学试题答案 第3页(共5页)
故
解法二 由题意知 ……………………………………………………2分
所以，X的分布列为 ………………4分
…………………………………………………………………6分
(2)(i) 因
所以P(MN)-P(M)P(N)>0, 7 分
又P(MN)=P(N)P(M|N),
所以P(N)(P(M|N)-P(M))>0, 又P(N)>0 9 分
所以P(M|N)>P(M) 成立.
所以事件M 与N 正相关.…………………………………………………………10分
(i) 由(15知 ,所以 ……………11分
N=“甲盒中含有红球”,即红球放入甲盒，黄蓝两个小球随机放入四个盒子，共有16种方法，
所以 …………………………………12分
事件MN=“甲盒中恰有一个小球且为红球”,即红球放入甲盒，黄球和蓝球随机放入
乙、丙、丁三个盒中，共有3×3=9种方法.
所以
所以 ………16分
因为p(M,N)>0,
所以，事件M 与事件N 正相关.…………………………………………………17分
19. 解：(1)因为f'(x)=lnx+1.……………… 1分
所以切线的斜率为f'(1)=1.…………………………………………………………2 分
又因为f(1)=0 3 分
所以切线方程为y=x-1 4 分
(2)(i) 因为g(x)=f(x+1)—tsinx=(x+1)In(x+1)—tsinx,
高三数学试题答案第4页(共5页)
所以g'(x)=ln(x+1)+1—tcosx.
令h(x)=g'(x),
则 ……………… …………………………………………5分
①当t≤0时，因为x∈(0,π),所以(x+1)ln(x+1)>0,tsinx≤0,
所以g(x)>0 恒成立，此时g(x) 在(0,π)内无零点.……… … … … … … …6分
②当00,
则g'(x) 在(0,π)上单调递增.
所以g'(x)>g'(0)=1-t≥0, 所以g(x) 在(0,π)上单调递增.
又g(x)>g(0)=0,
此时，g(x) 在(0,π)内无零点.…… …… …………………………………… ·8分
③当t>1 时，因为x∈(0,π), 所以h'(x)>0, 则g'(x)在(0,π)上单调递增.
所以存在 ,使得g'(xo)=0,
所以当x∈( 0,xo)时，g'(x)< 0,g(x)单调递减，
当x∈(xo,π)时 ，g'(x)> 0,g(x)单调递增.
又因为g(0)=0, 所以g(x。)<0.
因为g(π)=(π+1)ln(π+1)>0,
所以g(x) 在区间(xo,π)内有1个零点.…………………………………………11分
综上所述：当t∈(一∞,1)时，g(x) 在(0,π)内的零点个数为0,
当t∈(1,+∞)时，g(x)在(0,π)内的零点个数为1.……………………12分
(ii)证明：由 (i)知，当t=1 且x∈(0,π) 时，
g(x)=(x+1)ln(x+1)—sinx>0,
…………………… … 1 3分
令
………………………………17分
高三数学试题答案第5页(共5页)

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