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济南市 2026届高三第一次模拟考试
数学试题参考答案
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B C B B D D C
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
题号 9 10 11
答案 BC ABD BCD
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12． 5 ； 13． 0 ； 14．9 ．
四、解答题：共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．【解析】
（1）当 n =1时， S1 = 2a1 2， a1 = 2，
当 n≥2时， Sn = 2an 2 ， Sn 1 = 2an 1 2 ，作差得：
an = 2an 2an 1 ，
a
即 an = 2an 1 ，
n = 2，
an 1
所以 an 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，所以 an = 2
n．
（2）bn = log2 an = log2 2
n = n，
n (1+ n)
Tn = ，
2
1 2 1 1
所以 = = 2 ，
Tn n(1+ n) n n +1
n 1 1 1 1 1 1 1
所以 = 2 1 + + + = 2 1 2，
i=1 Ti 2 2 3 n n +1 n +1
命题得证．
16．【解析】
（1）取 AC中点D，连接 A1D，DN ．
因为D，N 为 AC，BC中点，
所以DN为△ABC的中位线，
1
所以DN = AB且DN∥ AB．
2
在正方形 ABB1A1中，M为 A1B1中点，
1
所以 A1M∥ AB且 A1M = AB，
2
所以 A1M∥ DN 且 A1M = DN，
所以四边形DNMA1是平行四边形．
所以 A1D∥MN．
数学试题答案 第1页
又MN 平面 ACA1 ， A1D 平面 ACA1 ，
所以MN∥平面 ACA1 ．
（2）由于平面 ABB1A⊥平面 ABC，平面 ABB1A 平面 ABC = AB，
AA1 ⊥ AB， AA1 平面 ABB1A1， AA1 ⊥平面 ABC．
以 A为原点， AC，AB，AA1所在直线分别为 x，y，z轴建立空间直角坐标系，
1 1
不妨设 AB =1，则有C (2，0，0)， B (0，1，0)， B1 (0，1，1)，M (0， ，1) ， N (1， ，0)．
2 2
设平面 BCB1 的法向量n1= (x，y，z) ，
n1 BB1 = 0 z = 0
，所以 ，不妨令 x =1，
n1 BC = 0 2x y = 0
得 n1 = (1，2，0)；
设平面 AMN 的法向量n2 = (x，y，z)，
n y + 2z = 02 AM = 0
，所以 ，不妨令 x =1，
n AN = 0 2x + y = 02
得 n2 = (1， 2，1)；
设平面 BCB1 与平面 AMN 夹角为 ，
n1 n 30则 cos =| cos n 2 ， 1 ，n2 |= =
| n1 || n2 | 10
30
所以平面 BCB1 与平面 AMN 夹角的余弦值为 ．
10
17．【解析】
（1）因为 a2 + b2 c2 = 2ab，
a2 + b2 c2 2
所以 cosC = = ．
2ab 2
因为0 C 180 ，所以C = 45 ，
a c 1 2
因为 = ， c = 2 ， a =1，所以 = ．
sin A sinC sin A sin 45
1
所以 sin A = ，所以 A = 30 或150 （舍），所以 B =105 ，
2
3 2 1 2 6 + 2sin105 = sin(60 + 45 ) = + = ，
2 2 2 2 4
1 1 6 + 2 3 +1
所以 S△ABC = acsin B = 1 2 = ．
2 2 4 4
2 5 5
（2）由（1）知C = 45 ，因为 cosB = ，所以 sin B = ．
5 5
5 2 2 5 2 3 10
sin A = sin(B +C) = + = ．
5 2 5 2 10
DB CD
设 BCD = ，在△BCD中，有 = ①，
sin sinB
DA CD
在△ACD中，有 = ②，
sin(45 ) sin A
①②相除，得：
sin(45 ) 3 2 2 cos 3 2
= ，所以 ( 1) = ，
sin 2 2 sin 2
数学试题答案 第2页
cos 1
所以 = 4，即 tan = ，
sin 4
1
所以 BCD的正切值为 ．
4
18．【解析】
2a = 4

（1）由题意可知 9 25 ，
=1
a2 4b
2
解得 a = 2，b = 5 ，
x2 y2
故C的方程为 =1．
4 5
5 5
（2）（i）因为 A(2,0)， P(3, )，所以直线 AP方程为 y = x 5 ，
2 2
5
由于M (x1, y1) ，故 R(x1, x1 5) ，
2
因为MR = RS，所以 S(x1,5x1 10 y1) ，
5x1 10 y1 y所以 k0 = = 5
1 ．
x1 2 x1 2
y y
（ii）由（i）可知 k + k = k + k = 5 1 + 1AN AM AS AM = 5，
x1 2 x1 2
y1 y即 + 2 = 5．
x1 2 x2 2
由题意可知，直线MN 的斜率显然存在，
x2 y2
=1
设直线MN : y = kx +m，联立 4 5 ，消 y得

y = kx +m
(5 4k 2 )x2 8kmx 4m2 20 = 0，
8km 4m2 + 20
x1 + x2 = ， x1x2 = ， 0，
5 4k 2 5 4k 2
y1 y2 kx1 +m kx +m 2kx+ = + 2 = 1
x2 + (m 2k)(x1 + x2 ) 4m 5= = 5，
x1 2 x2 2 x1 2 x2 2 x1x2 2(x1 + x2 ) + 4 m + 2k
所以m =1 2k，
所以直线MN : y = kx +1 2k = k(x 2) +1，
所以直线MN过定点 (2，1) ．
19．【解析】
sin x
（1）令 f '(x) = = 0，得 x = nπ， n *N ，
x
因为 x = nπ为 f (x)的变号零点，所以 xn = n ．
当 x (xn , xn+1)时， 2xn+1 x 0 ，且 sin x 0 ．
sin(2(n +1)π x) sin(2(n +1)π x) | sin x | | sin x |
| f '(2x x) |= = = ， | f n+1 (x) |= ，
2xn+1 x | 2xn+1 x | 2xn+1 x x
| sin x | | sin x | 2(xn+1 x)| f '(x) | | f '(2xn+1 x) |= =| sin x | 0．
x 2xn+1 x x(2xn+1 x)
故 | f (x) | | f (2xn+1 x) |．
数学试题答案 第3页
（2）选择①，
令 g(x) = f (x) f (2x2n x) ， x [x2n 1, x2n ]，
则 g '(x) = f '(x) + f '(2x2n x) ，
当 x [x2n 1, x2n ]时，即 x [(2n 1)π,2nπ]时， 2x2n x [2nπ, (2n +1)π]，
sin x sin x
f (x) = ≤0， f '(2x x) = ≥0， 2n
x 2x2n x
故 g '(x) = f '(x) + f '(2x2n x) = | f '(x) | + | f '(2x2n x) | ，
由（1）知， g (x)≤0．
故 g(x)单调递减，从而有 g(x2n 1) g(x2n ) = f (x2n ) f (2x2n x2n ) = 0，
即 g(x2n 1) = f (x2n 1) f (2x2n x2n 1) = f (x2n 1) f (x2n+1) 0 ，
即 f (x2n 1) f (x2n+1) ，从而数列{ f (x2n 1)}为递减数列．
选择②，
令 g(x) = f (x) f (2x2n+1 x) ， x [x2n , x2n+1]，
则 g '(x) = f '(x) + f '(2x2n+1 x) ，
当 x [x2n , x2n+1]时，即 x [2nπ,(2n +1)π]时， 2x2n+1 x [(2n +1)π, (2n + 2)π]，
sin x sin x
f (x) = ≥0， f '(2x2n+1 x) = ≤0，
x 2x2n+1 x
故 g '(x) = f '(x) + f '(2x2n+1 x) =| f '(x) | | f '(2x2n+1 x) | ，
由（1）知， g '(x)≥0，
故 g(x)单调递增，从而有 g(x2n ) g(x2n+1) = f (x2n+1) f (2x2n+1 x2n+1) = 0 ，
即 g(x2n ) = f (x2n ) f (2x2n+1 x2n ) = f (x2n ) f (x2n+2 ) 0 ，
即 f (x2n ) f (x2n+2 ) ，从而数列{ f (x2n )}为递增数列．
（3）由（2）知， f (x) 的最大值为 f (x1) = f (π) ， f (x) 的最小值为 f (x2 ) = f (2π)，
对任意 x1, x2 [π,+ ) ，都有 | f (x1) f (x2 ) |≤k 成立，
当且仅当 f (π) f (2π)≤k．
x
当 k =1时，令 h(x) = f (x) + ， x [π,2π]，
π
sin x 1
则 h '(x) = + ，
x π
注意到 1≤sin x≤0，且 π≤x≤2π，
sin x 1 sin x 1
从而有 h '(x)≥ + ≥ + ≥0，
x π π π
故 h(x)单调递增．
故 h(π) h(2π) ，即 f (π) +1 f (2π) + 2，故 f (π) f (2π) 1．
从而 k的最小值为 1．
数学试题答案 第4页

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