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第9讲　电场及带电粒子在电场中的运动
热点一　电场的性质
例1 (多选)(2025·湖北卷,10)如图所示,在xOy平面内有一以O点为中心的正五边形,顶点到O点的距离为R,在正五边形的顶点上顺时针方向依次固定电荷量为q、2q、3q、4q、5q的正点电荷,且电荷量为3q的电荷在y轴正半轴上。静电力常量为k,则O点处的电场强度(　　)
A.方向沿x轴负方向
B.方向与x轴负方向成18°夹角斜向下
C.大小为(cos 54°+cos 18°)
D.大小为(2cos 54°+cos 18°)
答案　AD
解析　由题意可知,把这五个点电荷的电荷量分别等效拆分如图甲所示
将五个点电荷等效成图乙所示
作出等效电荷在O点产生的电场强度,设点电荷q在O点产生的电场强度为E0,则E0=,由对称性可知,5个点电荷在O点产生的电场强度沿y轴方向的分量为0,则O点的电场强度大小为E=2×2E0cos 54°+2E0cos 18°,代入可得E=2(2cos 54°+cos 18°),方向沿x轴负方向,故A、D正确。
电场强度的计算方法
(1)电场强度是矢量、计算时遵循平行四边形定则。
(2)计算电场强度常用的方法:公式法、平衡条件求解、叠加合成法、对称法、补偿法、等效法。
例2 (2025·浙江1月选考,4)三个点电荷的电场线和等势线如图所示,其中的d、e与e、f两点间的距离相等,则(　　)
A.a点电势高于b点电势
B.a、c两点的电场强度相同
C.d、f间电势差为d、e间电势差的两倍
D.从a到b与从f到b,电场力对电子做功相等
答案　D
解析　电场线从高等势面指向低等势面,即电场线从图中的正电荷指向负电荷,因此b点所在的等势面高于a点所在的等势面,即a点电势低于b点电势,A错误;电场方向为该点电场线的切线方向,过a、c两点的电场线的切线方向不同,故a、c两点电场强度方向不同,电场强度不同,B错误;从d e f,电场强度逐渐减小,d、e与e、f两点间的间距相等,结合U=Ed可知0类题通法　电场强弱、电势高低、电势能大小的判断方法
物理量 判断方法
电场 强弱 ①根据电场线的疏密判断 ②根据公式E=k和电场强度叠加原理判断
电势 高低 ①根据电场线的方向判断 ②由UAB=判断 ③根据静电力做功(或电势能)判断
电势能 大小 ①根据Ep=qφ判断 ②根据ΔEp=-W电,由静电力做功判断 ③根据能量守恒定律判断
热点二　电场中的图像问题
电场中几种常见的图像
v-t 图像 当带电粒子只受静电力时,从v-t图像上能确定粒子运动的加速度方向、大小变化情况,进而可判定粒子运动中经过各点的电场强度方向、电场强度大小、电势高低及电势能的变化情况
φ-x 图像 (1)从φ-x图像中可以直接判断各点电势的高低,进而确定电场强度的方向及试探电荷电势能的变化 (2)φ-x图线切线的斜率大小表示沿x轴方向电场强度E的大小
E-x 图像 以电场强度沿x轴方向为例: (1)E>0表示电场强度沿x轴正方向,E<0表示电场强度沿x轴负方向 (2)图线与x轴围成的“面积”表示电势差,“面积”大小表示电势差大小,两点的电势高低需根据电场方向判定
Ep-x 图像 (1)图像的切线斜率大小表示静电力大小 (2)可用于判断电场强度、动能、加速度等随位移的变化情况
例3 (2025·江苏扬州高三期末)在x轴上有两个点电荷,其静电场的电势φ在x轴上分布如图所示。下列说法正确的是(　　)
A.x1处与x3处电场方向相同
B.x1处与x3处电场强度大小相等
C.质子在x1处的电势能大于在x2处的电势能
D.质子沿x轴从x1处移动到x3处,电场力先做负功后做正功
答案　C
解析　根据φ-x图像斜率表示电场强度可知x1处与x3处电场方向不相同,电场强度大小不相等,故A、B错误;由题图可知,x1处的电势大于x2处的电势,根据Ep=qφ可知,质子在x1处的电势能大于在x2处的电势能,故C正确;质子沿x轴从x1处移动到x3处,电势先减小后增大,根据Ep=qφ可知质子的电势能先减小后增大,即电场力先做正功后做负功,故D错误。
例4 (2025·山东日照一模)x轴上O、P两点分别固定点电荷甲、乙,电荷量的绝对值分别为q1、q2。一个带负电的试探电荷沿着x轴运动时,在O、P之间的电势能Ep随x变化关系如图所示,在P点右侧,运动到B点时电势能最大。已知OP=PB,A点为O、P之间的中点,C点为P、B之间的中点,试探电荷运动到A点时加速度大小为a。若试探电荷仅受静电力的作用,下列判断正确的是(　　)
A.点电荷甲带正电,点电荷乙带负电
B.两个点电荷的电荷量满足q1=2q2
C.P、B之间的电场方向沿着x轴负方向
D.试探电荷运动到C点时加速度大小为
答案　D
解析　根据Ep=qφ,因为试探电荷带负电,所以甲、乙两电荷间的电势沿着x轴的负方向降低,即电场线沿x轴的负方向,则甲带负电,乙带正电,故A错误;试探电荷运动到B点时电势能最大,即B点的电场强度为零,即k=k,解得q1=4q2,故B错误;由于负试探电荷运动到B点时电势能最大,则电势最低,根据沿电场线方向电势降低,可知P、B之间的电场方向沿着x轴正方向,故C错误;设试探电荷的质量为m,电荷量为q,根据牛顿第二定律,试探电荷在A点时,有k+k=ma,在C点时,有k-k=maC,联立解得aC=,故D正确。
热点三　电容器、带电粒子在电场中的运动
带电粒子在电场中的常见运动及分析方法
常见运动 受力特点 分析方法
变速直 线运动 合力F合≠0,且与初速度方向在同一条直线上 (1)用动力学观点分析: a=,E=,v2-=2ad,适用于匀强电场 (2)用功能观点分析: W=qU=mv2-m,匀强电场和非匀强电场都适用
带电粒子 在匀强电 场中的偏 转　　　 进入电场时v0⊥E,粒子做类平抛运动 运动的分解 偏转角:tan θ==== 侧移距离:y0==,y=y0+Ltan θ=tan θ
粒子斜射入电场,粒子做类斜抛运动 运动的分解 垂直于电场方向做匀速直线运动:x=v0tsin θ 沿电场方向做匀变速直线运动:y=v0tcos θ-t2
带电粒子在非匀强电场中运动 静电力在变化 动能定理、能量守恒定律
例5 (多选)(2025·山东潍坊高三期末)如图所示,M、N是水平放置的平行板电容器的两极板,下极板N接地,两极板与电源相连,电源两端电压恒定。开关S闭合,一油滴静止于P点。下列说法正确的是(　　)
A.油滴带正电
B.保持开关S闭合,仅将M板向上平移一小段距离,电容器的带电量减少
C.断开开关S,仅将N板向上平移一小段距离,则油滴电势能增加
D.断开开关S,仅将N板向上平移一小段距离,则油滴向上运动
答案　BC
解析　由题意可知,油滴受到的静电力方向竖直向上,由于M板带正电,故油滴带负电,A错误;保持开关S闭合时,两板间电压不变,将M板向上平移一小段距离,根据C=可知,平行板电容器电容减小,由Q=CU可知,电容器的带电荷量减少,B正确;断开开关S,极板上电荷量不变,将N板向上平移一小段距离,根据C=、U=和E=可得E=,故平行板间电场强度不变,油滴仍然受力平衡,保持静止,又因为油滴离N板距离变小,故油滴所处位置的电势降低,又因为油滴带负电,故其电势能增加,C正确,D错误。
例6 (2025·河南卷,13)流式细胞仪可对不同类型的细胞进行分类收集,其原理如图所示。仅含有一个A细胞或B细胞的小液滴从喷嘴喷出(另有一些液滴不含细胞),液滴质量均为m=2.0×10-10 kg。当液滴穿过激光束、充电环时被分类充电,使含A、B细胞的液滴分别带上正、负电荷,电荷量均为q=1.0×10-13 C。随后,液滴以v=2.0 m/s的速度竖直进入长度为l=2.0×10-2 m的电极板间,板间电场均匀、方向水平向右,电场强度大小为E=2.0×105 N/C。含细胞的液滴最终被分别收集在极板下方h=0.1 m处的A、B收集管中。不计重力、空气阻力以及带电液滴间的作用。求:
(1)含A细胞的液滴离开电场时偏转的距离;
(2)A、B细胞收集管的间距。
答案　(1)5×10-3 m　(2)0.11 m
解析　(1)含A、B细胞的液滴在电极板间做类平抛运动,对含A细胞的液滴
垂直电场方向有l=vt1
平行电场方向有x1=a
由牛顿第二定律可知qE=ma
联立解得含A细胞的液滴离开电场时偏转的距离为x1=5.0×10-3 m。
(2)由(1)问分析可知含A细胞的液滴离开电场时的速度方向与电场方向夹角的正切值为
tan θ===2
含A、B细胞的液滴离开电场后做匀速直线运动,含A细胞的液滴从离开电场至到达A细胞收集管过程偏转的距离为
x2==0.05 m
即含A细胞的液滴开始运动至到达A细胞收集管的过程偏转的距离为
xA=x1+x2=0.055 m
由于含A、B细胞的液滴电性相反,带电荷量大小相等,则含B细胞的液滴的偏转距离与含A细胞液滴的相等,所以A、B细胞收集管的间距为
xAB=2xA=0.11 m。
例7 (2025·河南名校联考)辉光放电质谱法,是利用辉光放电源作为离子源与质谱仪进行质谱测定的一种分析方法。辉光放电离子源是利用惰性气体在上千伏特电压下电离产生的离子撞击样品表面使之发生溅射,溅射产生的样品原子扩散至等离子中进一步离子化,进而被质谱分析器收集检测。溅射阈值是氩离子使被测样品产生溅射所需的最小动能。如图甲所示为辉光放电粒子源的简化示意图,两平行金属板A、B放在真空中,间距为d, B板接地,A板的电势φ随时间t变化情况如图乙所示。若在t=0时刻,一在B板附近的氩离子在电场作用下由静止开始运动,正好在第3个周期结束时到达A板,恰好使样品发生溅射。氩离子质量为m,电荷量为+q,重力不计,忽略运动过程中与其他粒子的碰撞。φ0、T为已知量。求:
(1)氩离子在0~内的位移大小;
(2)该样品的溅射阈值。
答案　(1)　(2)
解析　(1)氩离子在0~内做初速度为0的匀加速直线运动,因为a1=,E=
解得a1=
所以氩离子在0~内的位移大小为x1=a1=。
(2)在~T内,因为电场反向,且大小发生变化,故氩离子做匀减速运动,且a2=
氩离子在一个周期内速度的增加量为Δv=(a1-a2)=T
根据运动的周期性可知氩离子经过3个周期,速度为v=3Δv=T
故3个周期结束时氩离子的动能为Ek=mv2
因3个周期结束时,氩离子恰好使样品发生溅射,则溅射阈值为
E0=Ek=。
热点四　带电体在电场和重力场的叠加场中的运动
物体仅在重力场中的运动是最常见、最基本的运动,但是对处在匀强电场中的宏观物体而言,它的周围不仅有重力场,还有匀强电场,同时研究这两种场对物体运动的影响,问题就会变得复杂一些。此时,若能将重力场与电场合二为一,用一个全新的“复合场”(可形象称之为“等效重力场”)来代替,不仅能起到“柳暗花明”的效果,同时也是物理中的等效思维。
例8 (2025·安徽合肥模拟预测)如图所示,竖直面内有一半径为r的光滑圆形轨道,圆形轨道的最低点B处有一入口与水平地面连接,空间存在方向水平向左的匀强电场。一带电荷量为+q、质量为m的小物块从水平地面上的A点由静止释放,已知电场强度大小E=,小物块与水平地面间的动摩擦因数μ=0.25,重力加速度为g,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。
(1)求等效重力加速度g';
(2)若取B点电势为零,A、B间距离s=2r,求物块电势能的最小值及此时的动能;
(3)为使小物块进入轨道后始终不脱离轨道,求释放点A到B的距离s满足的条件。
答案　(1)g,方向与竖直方向成37°角
(2)-mgr　mgr　(3)s≤2r或s≥r
解析　(1)小物块所受的静电力方向水平向左,大小为F=qE=
小物块所受静电力和重力的合力称为等效重力,用G'表示,如图甲所示,则
tan θ==
即θ=37°,G'==
则等效重力加速度g'==g。
(2)如图乙所示,E点为小物块做圆周运动的等效最低点,F点是与圆心“等高”的点,G点是等效最高点。
若小物块进入轨道后恰好能到达F点,设此时释放点A到B的距离为s1,则小物块由A到F的过程中,根据动能定理有
F(s1+rcos θ)-μmgs1-mgr(1+sin θ)=0
解得s1=2r
当s=2r时,小物块恰好能够到达F点,则小物块到达圆心的等高点C时电势能最小,小物块由B点运动到C点过程中静电力做的功为
W=qEr=EpB-EpC,其中EpB=0
解得EpC=-mgr
即小物块电势能的最小值为-mgr
从A点到C点,根据动能定理有
qE(2r+r)-μmg·2r-mgr=EkC
解得EkC=mgr。
(3)若小物块进入轨道后恰好能通过G点,设此时释放点A到B的距离为s2,则小物块由A到G的过程中根据动能定理有
F(s2-rsin θ)-μmgs2-mgr(1+cos θ)=m
小球通过G点有G'=m
联立解得s2=r
所以,为使小物块进入轨道后始终不脱离轨道,结合(2)可知,释放点A到B的距离s满足的条件为s≤2r或s≥r。
带电体在等效重力场中做圆周运动的分析方法
(1)等效重力法
将重力与静电力进行合成,如图所示,则F合为等效重力场中的“重力”,g'=为等效重力场中的“等效重力加速度”,F合的方向等效为“重力”的方向,即在等效重力场中的竖直向下方向。
(2)等效最高点和最低点:在“等效重力场”中做圆周运动的小球,过圆心作合力的平行线,交于圆周上的两点即为等效最高点和最低点。
1.(2025·云南卷,4)某介电电泳实验使用非匀强电场,该电场的等势线分布如图所示。a、b、c、d四点分别位于电势为-2 V、-1 V、1 V、2 V的等势线上,则(　　)
A.a、b、c、d中a点电场强度最小
B.a、b、c、d中d点电场强度最大
C.一个电子从b点移动到c点电场力做功为2 eV
D.一个电子从a点移动到d点电势能增加了4 eV
答案　C
解析　由题意可知相邻两等势线间的电势差相等,则题图中的等势线为等差等势线,由等差等势线密处电场强度大可知,a点的电场强度最大,c点的电场强度最小,A、B错误;一个电子从b点移动到c点的过程,电场力做功为Wbc=qUbc,又q=-e,Ubc=φb-φc,代入数据解得Wbc=2 eV,C正确;同理,一个电子从a点移动到d点的过程,电场力做功为Wad=qUad,又Uad=φa-φd,代入数据解得Wad=4 eV,该过程电子的电势能减少了4 eV,D错误。
2.(2025·黑、吉、辽、内蒙古卷,4)如图,某压力传感器中平行板电容器内的绝缘弹性结构是模仿犰狳设计的,逐渐增大施加于两极板压力F的过程中,F较小时弹性结构易被压缩,极板间距d容易减小;F较大时弹性结构闭合,d难以减小。将该电容器充电后断开电源,极板间电势差U与F的关系曲线可能正确的是(　　)
答案　D
解析　由电容器电容的决定式C=,结合题意可知增大两极板的压力,两极板的间距d减小,则电容器的电容增大,又由于电容器充电后与电源断开,电容器所带的电荷量不变,由公式U=可知,电容器两极板间的电压减小,A、B错误;由C=和C=联立得U=,由于Q、εr、S不变,故U正比于d,F较小时,板间距d容易减小,U减小的快,F较大时,d难以减小,则两极板间的电压减小得越来越慢,C错误,D正确。
3.(多选)(2025·湖南卷,8)一匀强电场的方向平行于xOy平面,平面内A点和B点的位置如图所示。电荷量为+q、-q和+2q的三个试探电荷先后分别置于O点、A点和B点时,电势能均为Ep(Ep>0)。下列说法正确的是(　　)
A.OA中点的电势为零
B.电场的方向与x轴正方向成60°角
C.电场强度的大小为
D.电场强度的大小为
答案　AD
解析　根据题意结合电势能公式有Ep=qφO=-qφA=2qφB,解得φO=、φA=-、φB=,则OA中点的电势为=0,A正确;在OA线段上找出一与B点等势的点M,可知xOM=d,BM连线为等势线,与BM连线垂直的线为电场线,如图所示,则根据几何关系可知,电场线与x轴正方向夹角θ=45°,根据电场强度与电势差的关系,有E==,B、C错误,D正确。
4.(2025·甘肃卷,7)离子注入机是研究材料辐照效应的重要设备,其工作原理如图甲所示。从离子源S释放的正离子(初速度视为零)经电压为U1的电场加速后,沿OO'方向射入电压为U2的电场(OO'为平行于两极板的中轴线)。极板长度为l、间距为d,U2-t关系如图乙所示。长度为a的样品垂直放置在距U2极板L处,样品中心位于O'点。假设单个离子在通过U2区域的极短时间内,电压U2可视为不变,当U2=±Um时,离子恰好从两极板的边缘射出。不计重力及离子之间的相互作用。下列说法正确的是(　　)
A.U2的最大值Um=U1
B.当U2=±Um且L=时,离子恰好能打到样品边缘
C.若其他条件不变,要增大样品的辐照范围,需增大U1
D.在t1和t2时刻射入U2的离子,有可能分别打在A点和B点
答案　B
解析　离子在加速电场中被加速时,有qU1=m,在偏转电场中做类平抛运动,则有l=v0t,=·t2,解得Um=U1,故A错误;当U2=±Um时,离子从极板的边缘射出,若恰能打到样品边缘时,有=,解得L=,故B正确;根据y=·t2=,结合几何关系=得Y=,可知若其他条件不变,要增加样品的辐照范围,则需减小U1,故C错误;由题图乙可知,t1时刻所加电压小于t2时刻所加的电压,则t1时刻射入离子的竖直位移小于t2时刻射入离子的竖直位移,不可能分别打在A点和B点,故D错误。
5.(2025·广西卷,14)在真空中,一个电荷量为-q、质量为m的试探电荷绕电荷量为+Q的点电荷做椭圆轨道运动,如图甲,O'为椭圆中心,O'A为半长轴,长度为a,O'B为半短轴,点电荷处于椭圆的焦点F处,焦距为c。图乙是v2-的关系图,其中v为该试探电荷运动速率,r为该试探电荷到点电荷的距离。距离点电荷r处的电势φ=,其中k为静电力常量。重力和万有引力忽略不计。
(1)求B点的电势;
(2)求该试探电荷从A点运动到B点电场力所做的功;
(3)通过推理论证该试探电荷在运动过程中动能和电势能之和是否守恒。若不守恒,说明理由;若守恒,求出该试探电荷在运动过程中动能和电势能之和。
答案　(1)　(2)-　(3)守恒　-
解析　(1)根据椭圆的性质可知,B点到F点的距离rBF=a
则B点的电势φB==。
(2)A点到F点的距离rAF=a-
则A点的电势φA===
根据电场力做功与电势能的关系可得
WAB=-q(φA-φB)
联立解得WAB=-。
(3)设题图乙中图线斜率为k0,由题图乙有v2=k0
试探电荷运动过程中动能与电势能之和为
E总=-+mv2
变形得v2=·+
对比v2-图像可知k0=,=-
解得E总=-
由于E总为一定值,则试探电荷运动过程中动能与电势能之和守恒。
基础保分练
1.(2025·广西卷,4)用带电玻璃棒接触验电器的金属球,移走玻璃棒,验电器内的两片金属箔张开,稳定后如图。图中a、b、c、d四点电场强度最强的是(　　)
A.a点 B.b点
C.c点 D.d点
答案　D
解析　带电玻璃棒与金属球接触后,金属球带电,金属箔与金属球通过导体棒连接,金属箔与金属球带同种电荷;净电荷在尖锐的地方聚集,因此d点的电荷聚集最多,电场强度最强,A、B、C错误,D正确。
2.(2025·河南卷,4)如图,在与纸面平行的匀强电场中有a、b、c三点,其电势分别为6 V、4 V、2 V;a、b、c分别位于纸面内一等边三角形的顶点上。下列图中箭头表示a点电场的方向,则正确的是(　　)
答案　C
解析　取ac边的中点为d,则在匀强电场中有φd==4 V=φb,所以bd连线为该电场的等势线,又电场方向垂直于等势线,沿电场线方向电势逐渐降低,则a点的电场方向应从a指向c,C正确。
3.(2025·湖南长沙一模)边长为d的正六边形,每个顶点上均固定一个电荷量为q的点电荷,各电荷电性如图所示,规定无穷远处电势为零,静电力常量为k,关于正六边形的中心O点的电场强度及电势,下列说法正确的是(　　)
A.O点的电场强度大小为
B.O点的电场强度大小为
C.O点的电势小于零
D.O点的电势等于零
答案　A
解析　正六边形顶点上的六个点电荷分成三组,分别为两组等量同种点电荷和一组等量异种点电荷,其中等量同种点电荷在O点的电场强度为零,等量异种点电荷在O点的电场强度大小为E=,可知O点的电场强度大小为,故A正确,B错误;等量异种点电荷在O点的电势为零,等量同种点电荷在O点的电势大于零,所以O点的电势大于零,故C、D错误。
4.(2025·湖南卷,5)如图,两带电小球的质量均为m,小球A用一端固定在墙上的绝缘轻绳连接,小球B用固定的绝缘轻杆连接。A球静止时,轻绳与竖直方向的夹角为60°,两球连线与轻绳的夹角为30°,整个系统在同一竖直平面内,重力加速度大小为g。下列说法正确的是(　　)
A.A球静止时,轻绳上拉力为2mg
B.A球静止时,A球与B球间的库仑力为2mg
C.若将轻绳剪断,则剪断瞬间A球加速度大小为g
D.若将轻绳剪断,则剪断瞬间轻杆对B球的作用力变小
答案　C
解析　对小球A受力分析,其受重力、轻绳的拉力以及小球A、B间的库仑力,如图所示,根据共点力的平衡条件得F库=FTcos 30°+mgcos 30°, FTsin 30°=mgsin 30°,解得FT=mg,F库=mg,A、B错误;剪断轻绳瞬间,轻绳的拉力消失,库仑力与重力均不变,则小球A所受合力大小为mg,由牛顿第二定律得小球A的瞬时加速度大小a=g,C正确;剪断轻绳前后瞬间,B球的受力不变,则轻杆对B球的作用力不变,D错误。
5.(多选)(2025·河南郑州模拟预测)如图所示,在两个点电荷q1、q2形成的电场中,一带电粒子仅在静电力的作用下,以一定的初速度从A点运动到B点,运动轨迹如图中实线所示,虚线为电场线。下列说法正确的是(　　)
A.该粒子带正电
B.q1的电荷量大于q2的电荷量
C.A点的电场强度大于B点的电场强度
D.该粒子从A到B动能先增加后减少
答案　BD
解析　根据电场线方向可知q1带正电,粒子运动受到的力指向轨迹凹侧,可知粒子带负电,故A错误;根据电场线疏密可知,q1附近电场强度较大,则q1的电荷量大于q2的电荷量,A点的电场强度小于B点的电场强度,故B正确,C错误;粒子运动的速度沿轨迹切线方向,粒子从A到B时,静电力先做正功,再做负功,则动能先增加后减少,故D正确。
6.(多选)(2025·广东湛江高三期末)如图,正方体ABCD-MHKN处于真空中,顶点A和K分别有等量正电荷和负电荷,空间中的电场只由这两个电荷产生,取无穷远处为零势能点,下列说法正确的是(　　)
A.B点电势与D点电势相同
B.M点电势与N点电势相同
C.M点电场强度与C点电场强度相同
D.N点电场强度小于B点电场强度
答案　AC
解析　B和D点离正电荷和负电荷距离相同,根据对称性可知B、D电势相同,故A正确;由M点离正电荷距离更近,离负电荷更远,而N点离负电荷距离更近,离正电荷更远,可知M点电势高于N点电势,故B错误;由电场叠加原理及对称性可知,M点和C点的合电场强度相同,N点和B点的合电场强度相同,故C正确,D错误。
7.(2025·江苏南通一模)如图所示,足够大的金属板A、B平行放置,在两板间放置一不带电的金属球壳,O为球心,a、b为球壳外表面上的两点。闭合开关S,稳定后(　　)
A.a点的电势比b点的高
B.a点的电场强度比O点的大
C.向右移动滑片P,a点的电势降低
D.断开开关S,a点的电场强度减小
答案　B
解析　金属球壳在两极板间的电场中处于静电平衡状态,金属壳为一等势体,电势处处相等,a点的电势等于b点的电势,故A错误;处于静电平衡状态下的导体内部电场强度处处为零,所以O点的电场强度为零,而a点的电场强度不为零,故B正确;由于电容器保持与电源连接,所以向右移动滑片P时,金属板A、B之间的电势差保持不变,a点的电势不变,故C错误;断开开关S,金属板A、B所带电荷量Q不变,且电容器的结构未发生改变,电容器的电容C不变,则金属板A、B之间的电势差不变,根据E=可知,a点的电场强度不变,故D错误。
8.(2025·八省联考河南卷,6)某电场的电势φ随位置x的变化关系如图所示,O点为坐标原点,a、b、c、d为x轴上的四个点。一带正电粒子从d点由静止释放,在电场力作用下沿x轴运动,不计重力,则粒子(　　)
A.将在a、d之间做周期性运动
B.在d点的电势能大于在a点的电势能
C.在b点与c点所受电场力方向相同
D.将沿x轴负方向运动,可以到达O点
答案　A
解析　根据沿电场线方向电势逐渐降低可知,a、d之间各点随着x增大电场的方向先沿x轴正方向后沿x轴负方向,带正电粒子从d点由静止释放时,d点位置电场方向沿x轴负方向,此位置粒子所受的电场力沿x轴负方向,则粒子将沿x轴负方向运动。由于φa=φd,由Ep=qφ知,粒子在a点和d点时的电势能相等,则粒子由d点运动到a点过程电场力做功为零,由动能定理知,粒子运动到a点时速度恰好为0,而a点位置电场方向沿x轴正方向,此位置粒子所受的电场力方向沿x轴正方向,粒子将沿x轴正方向运动,可见粒子将在a、d间做周期性运动,粒子不能到达O点,故A正确,B、D错误;因b点和c点电场方向相反,则粒子在b、c两点时所受的电场力方向相反,故C错误。
提能增分练
9.(多选)(2025·四川成都石室中学模拟)如图所示为某静电除尘装置的简化原理图,已知板间距为d,板长为L,两块平行带电极板间为除尘空间。质量为m、电荷量为-q的带电尘埃分布均匀,均以沿板方向的速率v射入除尘空间,当其碰到下极板时,所带电荷立即被中和,同时尘埃被收集。调整两极板间的电压可以改变除尘率η(相同时间内被收集尘埃的数量与进入除尘空间尘埃的数量之百分比)。当两极板间电压为U0时,η恰好为100%。不计空气阻力、尘埃的重力及尘埃之间的相互作用,忽略边缘效应。下列说法正确的是(　　)
A.两极板间电压为U0时,其中有尘埃在静电除尘装置中运动的动量变化量为
B.两极板间电压为U0时,除尘率可达50%
C.若极板间电压小于U0并保持除尘率100%,需要减小尘埃的速率v
D.仅减少尘埃的比荷,除尘率将增大
答案　AC
解析　极板间的电场强度E=,由于尘埃在板间水平方向不受力,水平方向做匀速直线运动,运动时间t=,由动量定理得尘埃在静电除尘装置中运动的最大动量变化量为Δp=qEt=q·=,故A正确;两极板间电压为时, 由牛顿第二定律得=ma,所以尘埃的加速度变为原来的,尘埃在板间水平方向运动为匀速直线运动,在板间运动的时间不变,由y=at2知,尘埃在板间竖直方向的最大位移为板间距的,则除尘率η=×100%=25%,故B错误;若极板间电压减小,则尘埃在板间的加速度减小,要保持除尘率100%,尘埃在竖直方向的最大位移不变,需要延长尘埃在板间的飞行时间,因此需要减小尘埃进入板间的速率v,故C正确;由以上分析可知,除尘率η=×100%=×100%=×100%,仅减少尘埃的比荷,除尘率将减小,故D错误。
10.(2025·江苏卷,13)如图所示,在电场强度为E、方向竖直向下的匀强电场中,两个相同的带正电粒子a、b同时从O点以初速度v0射出,速度方向与水平方向夹角均为θ。已知粒子的质量为m,电荷量为q,不计重力及粒子间相互作用。求:
(1)a运动到最高点的时间t;
(2)a到达最高点时,a、b间的距离H。
答案　(1)　(2)
解析　(1)带电粒子在匀强电场中做类抛体运动,粒子a的运动可分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上加速度大小为a的匀变速直线运动,在竖直方向上有qE=ma
v0sin θ=at
解得t=。
(2)水平方向上,a、b均以v0cos θ做匀速直线运动,竖直方向上,规定向上为正方向,b以-v0sin θ为初速度,以-a为加速度做匀加速直线运动
竖直方向上,粒子a的位移
ya=v0sin θ·t-at2
粒子b的位移yb=-v0sin θ·t-at2
又H=ya-yb
联立解得H=。
11.(2025·黑龙江牡丹江联考)实验室的粒子分析装置由粒子发射源、加速电场、静电分析器、偏转电场四部分组成。如图所示,在平面直角坐标系xOy中,第二象限内有竖直向下的匀强电场,第一象限内有一静电分析器,分析器中存在电场线沿半径方向指向圆心O的均匀辐向电场。自A点沿与x轴夹角为α的方向发射一个初速度为v0、带正电的粒子,粒子会沿平行于x轴的方向从B点进入静电分析器,且恰好在分析器内做匀速圆周运动,运动轨迹处的电场强度大小为E0。若带电粒子质量为m,电荷量为q,不计粒子重力。求:
(1)OB间的距离;
(2)第二象限匀强电场的电场强度大小;
(3)粒子在静电分析器中运动的时间t。
答案　(1)　(2)tan2α
(3)
解析　(1)由题意,粒子到达B点的速度为vB=v0cos α,粒子在静电分析器中做匀速圆周运动,静电力提供向心力有qE0=m
解得OB=r=。
(2)粒子在第二象限中的运动可看成反向的类平抛运动,竖直方向上由运动学公式和牛顿第二定律有
(v0sin α)2=2ar,qE=ma
联立解得E=tan2α。
(3)粒子运动的周期为T=
粒子静电分析器中运动时间为t=T
联立解得t=。
培优高分练
12.(2025·安徽芜湖模拟预测)在竖直面内建立一个平面直角坐标系Oxy,水平向右为x轴正方向,竖直向上为y轴正方向。在x轴下方存在一段半径为R=4 m的光滑圆弧绝缘轨道OBA,轨道与原点O连接,圆心为O',OO'与水平方向的夹角θ=37°,A为轨道最低点,O'A平行于y轴,如图所示。竖直线CD刚好与圆弧轨道所在的圆相切, CD左侧的第一象限内存在沿x轴正方向、电场强度E0=200 V/m的匀强电场,第三、四象限存在一个竖直向上、电场强度大小E=150 V/m的匀强电场。现将一个质量为m=1 kg、电荷量为q=0.1 C的带正电小球(视为质点)放置在圆轨道内侧A点并给以vA=6 m/s水平向左的初速度,最终小球由O点抛出射入第一象限。已知重力加速度g=10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。求:
(1)小球经过O点时的速度大小;
(2)小球第二次与第一次经过x轴的时间间隔;
(3)小球第二次经过x轴的横坐标。
答案　(1)10 m/s　(2)1.6 s　(3)25.2 m
解析　(1)对带电小球,从A到0,根据动能定理得
(qE-mg)(R+Rsin θ)=m-m
解得小球经过O点的速度为vO=10 m/s。
(2)小球进入第一象限后将速度沿x轴和y轴方向分解,如图所示
x轴方向的速度为
vx=vOcos 53°=6 m/s
y轴方向的速度为
vy=vOsin 53°=8 m/s
小球再次回到x轴时的时间为
t=2=1.6 s。
(3)水平方向的加速度为
a2==20 m/s2
小球在第一象限电场中水平方向运动的距离为
x1=R+Rcos θ=7.2 m
设离开电场时的时间为t',则有
x1=vxt'+a2t'2
解得t'=0.6 s<1.6 s
故小球还未到x轴即离开电场,接下来小球在水平方向做匀速直线运动,则小球出电场后在水平方向运动的距离为
x2=(vx+a2t')(t-t')=18 m
则小球第二次经过x轴的横坐标
x=x1+x2=7.2 m+18 m=25.2 m。第9讲　电场及带电粒子在电场中的运动
热点一　电场的性质
例1 (多选)(2025·湖北卷,10)如图所示,在xOy平面内有一以O点为中心的正五边形,顶点到O点的距离为R,在正五边形的顶点上顺时针方向依次固定电荷量为q、2q、3q、4q、5q的正点电荷,且电荷量为3q的电荷在y轴正半轴上。静电力常量为k,则O点处的电场强度(　　)
A.方向沿x轴负方向
B.方向与x轴负方向成18°夹角斜向下
C.大小为(cos 54°+cos 18°)
D.大小为(2cos 54°+cos 18°)
电场强度的计算方法
(1)电场强度是矢量、计算时遵循平行四边形定则。
(2)计算电场强度常用的方法:公式法、平衡条件求解、叠加合成法、对称法、补偿法、等效法。
例2 (2025·浙江1月选考,4)三个点电荷的电场线和等势线如图所示,其中的d、e与e、f两点间的距离相等,则(　　)
A.a点电势高于b点电势
B.a、c两点的电场强度相同
C.d、f间电势差为d、e间电势差的两倍
D.从a到b与从f到b,电场力对电子做功相等
类题通法　电场强弱、电势高低、电势能大小的判断方法
物理量 判断方法
电场 强弱 ①根据电场线的疏密判断 ②根据公式E=k和电场强度叠加原理判断
电势 高低 ①根据电场线的方向判断 ②由UAB=判断 ③根据静电力做功(或电势能)判断
电势能 大小 ①根据Ep=qφ判断 ②根据ΔEp=-W电,由静电力做功判断 ③根据能量守恒定律判断
热点二　电场中的图像问题
电场中几种常见的图像
v-t 图像 当带电粒子只受静电力时,从v-t图像上能确定粒子运动的加速度方向、大小变化情况,进而可判定粒子运动中经过各点的电场强度方向、电场强度大小、电势高低及电势能的变化情况
φ-x 图像 (1)从φ-x图像中可以直接判断各点电势的高低,进而确定电场强度的方向及试探电荷电势能的变化 (2)φ-x图线切线的斜率大小表示沿x轴方向电场强度E的大小
E-x 图像 以电场强度沿x轴方向为例: (1)E>0表示电场强度沿x轴正方向,E<0表示电场强度沿x轴负方向 (2)图线与x轴围成的“面积”表示电势差,“面积”大小表示电势差大小,两点的电势高低需根据电场方向判定
Ep-x 图像 (1)图像的切线斜率大小表示静电力大小 (2)可用于判断电场强度、动能、加速度等随位移的变化情况
例3 (2025·江苏扬州高三期末)在x轴上有两个点电荷,其静电场的电势φ在x轴上分布如图所示。下列说法正确的是(　　)
A.x1处与x3处电场方向相同
B.x1处与x3处电场强度大小相等
C.质子在x1处的电势能大于在x2处的电势能
D.质子沿x轴从x1处移动到x3处,电场力先做负功后做正功
例4 (2025·山东日照一模)x轴上O、P两点分别固定点电荷甲、乙,电荷量的绝对值分别为q1、q2。一个带负电的试探电荷沿着x轴运动时,在O、P之间的电势能Ep随x变化关系如图所示,在P点右侧,运动到B点时电势能最大。已知OP=PB,A点为O、P之间的中点,C点为P、B之间的中点,试探电荷运动到A点时加速度大小为a。若试探电荷仅受静电力的作用,下列判断正确的是(　　)
A.点电荷甲带正电,点电荷乙带负电
B.两个点电荷的电荷量满足q1=2q2
C.P、B之间的电场方向沿着x轴负方向
D.试探电荷运动到C点时加速度大小为
热点三　电容器、带电粒子在电场中的运动
带电粒子在电场中的常见运动及分析方法
常见运动 受力特点 分析方法
变速直 线运动 合力F合≠0,且与初速度方向在同一条直线上 (1)用动力学观点分析: a=,E=,v2-=2ad,适用于匀强电场 (2)用功能观点分析: W=qU=mv2-m,匀强电场和非匀强电场都适用
带电粒子 在匀强电 场中的偏 转　　　 进入电场时v0⊥E,粒子做类平抛运动 运动的分解 偏转角:tan θ==== 侧移距离:y0==,y=y0+Ltan θ=tan θ
粒子斜射入电场,粒子做类斜抛运动 运动的分解 垂直于电场方向做匀速直线运动:x=v0tsin θ 沿电场方向做匀变速直线运动:y=v0tcos θ-t2
带电粒子在非匀强电场中运动 静电力在变化 动能定理、能量守恒定律
例5 (多选)(2025·山东潍坊高三期末)如图所示,M、N是水平放置的平行板电容器的两极板,下极板N接地,两极板与电源相连,电源两端电压恒定。开关S闭合,一油滴静止于P点。下列说法正确的是(　　)
A.油滴带正电
B.保持开关S闭合,仅将M板向上平移一小段距离,电容器的带电量减少
C.断开开关S,仅将N板向上平移一小段距离,则油滴电势能增加
D.断开开关S,仅将N板向上平移一小段距离,则油滴向上运动
例6 (2025·河南卷,13)流式细胞仪可对不同类型的细胞进行分类收集,其原理如图所示。仅含有一个A细胞或B细胞的小液滴从喷嘴喷出(另有一些液滴不含细胞),液滴质量均为m=2.0×10-10 kg。当液滴穿过激光束、充电环时被分类充电,使含A、B细胞的液滴分别带上正、负电荷,电荷量均为q=1.0×10-13 C。随后,液滴以v=2.0 m/s的速度竖直进入长度为l=2.0×10-2 m的电极板间,板间电场均匀、方向水平向右,电场强度大小为E=2.0×105 N/C。含细胞的液滴最终被分别收集在极板下方h=0.1 m处的A、B收集管中。不计重力、空气阻力以及带电液滴间的作用。求:
(1)含A细胞的液滴离开电场时偏转的距离;
(2)A、B细胞收集管的间距。
例7 (2025·河南名校联考)辉光放电质谱法,是利用辉光放电源作为离子源与质谱仪进行质谱测定的一种分析方法。辉光放电离子源是利用惰性气体在上千伏特电压下电离产生的离子撞击样品表面使之发生溅射,溅射产生的样品原子扩散至等离子中进一步离子化,进而被质谱分析器收集检测。溅射阈值是氩离子使被测样品产生溅射所需的最小动能。如图甲所示为辉光放电粒子源的简化示意图,两平行金属板A、B放在真空中,间距为d, B板接地,A板的电势φ随时间t变化情况如图乙所示。若在t=0时刻,一在B板附近的氩离子在电场作用下由静止开始运动,正好在第3个周期结束时到达A板,恰好使样品发生溅射。氩离子质量为m,电荷量为+q,重力不计,忽略运动过程中与其他粒子的碰撞。φ0、T为已知量。求:
(1)氩离子在0~内的位移大小;
(2)该样品的溅射阈值。
热点四　带电体在电场和重力场的叠加场中的运动
物体仅在重力场中的运动是最常见、最基本的运动,但是对处在匀强电场中的宏观物体而言,它的周围不仅有重力场,还有匀强电场,同时研究这两种场对物体运动的影响,问题就会变得复杂一些。此时,若能将重力场与电场合二为一,用一个全新的“复合场”(可形象称之为“等效重力场”)来代替,不仅能起到“柳暗花明”的效果,同时也是物理中的等效思维。
例8 (2025·安徽合肥模拟预测)如图所示,竖直面内有一半径为r的光滑圆形轨道,圆形轨道的最低点B处有一入口与水平地面连接,空间存在方向水平向左的匀强电场。一带电荷量为+q、质量为m的小物块从水平地面上的A点由静止释放,已知电场强度大小E=,小物块与水平地面间的动摩擦因数μ=0.25,重力加速度为g,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。
(1)求等效重力加速度g';
(2)若取B点电势为零,A、B间距离s=2r,求物块电势能的最小值及此时的动能;
(3)为使小物块进入轨道后始终不脱离轨道,求释放点A到B的距离s满足的条件。
带电体在等效重力场中做圆周运动的分析方法
(1)等效重力法
将重力与静电力进行合成,如图所示,则F合为等效重力场中的“重力”,g'=为等效重力场中的“等效重力加速度”,F合的方向等效为“重力”的方向,即在等效重力场中的竖直向下方向。
(2)等效最高点和最低点:在“等效重力场”中做圆周运动的小球,过圆心作合力的平行线,交于圆周上的两点即为等效最高点和最低点。
1.(2025·云南卷,4)某介电电泳实验使用非匀强电场,该电场的等势线分布如图所示。a、b、c、d四点分别位于电势为-2 V、-1 V、1 V、2 V的等势线上,则(　　)
A.a、b、c、d中a点电场强度最小
B.a、b、c、d中d点电场强度最大
C.一个电子从b点移动到c点电场力做功为2 eV
D.一个电子从a点移动到d点电势能增加了4 eV
2.(2025·黑、吉、辽、内蒙古卷,4)如图,某压力传感器中平行板电容器内的绝缘弹性结构是模仿犰狳设计的,逐渐增大施加于两极板压力F的过程中,F较小时弹性结构易被压缩,极板间距d容易减小;F较大时弹性结构闭合,d难以减小。将该电容器充电后断开电源,极板间电势差U与F的关系曲线可能正确的是(　　)
3.(多选)(2025·湖南卷,8)一匀强电场的方向平行于xOy平面,平面内A点和B点的位置如图所示。电荷量为+q、-q和+2q的三个试探电荷先后分别置于O点、A点和B点时,电势能均为Ep(Ep>0)。下列说法正确的是(　　)
A.OA中点的电势为零
B.电场的方向与x轴正方向成60°角
C.电场强度的大小为
D.电场强度的大小为
4.(2025·甘肃卷,7)离子注入机是研究材料辐照效应的重要设备,其工作原理如图甲所示。从离子源S释放的正离子(初速度视为零)经电压为U1的电场加速后,沿OO'方向射入电压为U2的电场(OO'为平行于两极板的中轴线)。极板长度为l、间距为d,U2-t关系如图乙所示。长度为a的样品垂直放置在距U2极板L处,样品中心位于O'点。假设单个离子在通过U2区域的极短时间内,电压U2可视为不变,当U2=±Um时,离子恰好从两极板的边缘射出。不计重力及离子之间的相互作用。下列说法正确的是(　　)
A.U2的最大值Um=U1
B.当U2=±Um且L=时,离子恰好能打到样品边缘
C.若其他条件不变,要增大样品的辐照范围,需增大U1
D.在t1和t2时刻射入U2的离子,有可能分别打在A点和B点
5.(2025·广西卷,14)在真空中,一个电荷量为-q、质量为m的试探电荷绕电荷量为+Q的点电荷做椭圆轨道运动,如图甲,O'为椭圆中心,O'A为半长轴,长度为a,O'B为半短轴,点电荷处于椭圆的焦点F处,焦距为c。图乙是v2-的关系图,其中v为该试探电荷运动速率,r为该试探电荷到点电荷的距离。距离点电荷r处的电势φ=,其中k为静电力常量。重力和万有引力忽略不计。
(1)求B点的电势;
(2)求该试探电荷从A点运动到B点电场力所做的功;
(3)通过推理论证该试探电荷在运动过程中动能和电势能之和是否守恒。若不守恒,说明理由;若守恒,求出该试探电荷在运动过程中动能和电势能之和。
基础保分练
1.(2025·广西卷,4)用带电玻璃棒接触验电器的金属球,移走玻璃棒,验电器内的两片金属箔张开,稳定后如图。图中a、b、c、d四点电场强度最强的是(　　)
A.a点 B.b点
C.c点 D.d点
2.(2025·河南卷,4)如图,在与纸面平行的匀强电场中有a、b、c三点,其电势分别为6 V、4 V、2 V;a、b、c分别位于纸面内一等边三角形的顶点上。下列图中箭头表示a点电场的方向,则正确的是(　　)
3.(2025·湖南长沙一模)边长为d的正六边形,每个顶点上均固定一个电荷量为q的点电荷,各电荷电性如图所示,规定无穷远处电势为零,静电力常量为k,关于正六边形的中心O点的电场强度及电势,下列说法正确的是(　　)
A.O点的电场强度大小为
B.O点的电场强度大小为
C.O点的电势小于零
D.O点的电势等于零
4.(2025·湖南卷,5)如图,两带电小球的质量均为m,小球A用一端固定在墙上的绝缘轻绳连接,小球B用固定的绝缘轻杆连接。A球静止时,轻绳与竖直方向的夹角为60°,两球连线与轻绳的夹角为30°,整个系统在同一竖直平面内,重力加速度大小为g。下列说法正确的是(　　)
A.A球静止时,轻绳上拉力为2mg
B.A球静止时,A球与B球间的库仑力为2mg
C.若将轻绳剪断,则剪断瞬间A球加速度大小为g
D.若将轻绳剪断,则剪断瞬间轻杆对B球的作用力变小
5.(多选)(2025·河南郑州模拟预测)如图所示,在两个点电荷q1、q2形成的电场中,一带电粒子仅在静电力的作用下,以一定的初速度从A点运动到B点,运动轨迹如图中实线所示,虚线为电场线。下列说法正确的是(　　)
A.该粒子带正电
B.q1的电荷量大于q2的电荷量
C.A点的电场强度大于B点的电场强度
D.该粒子从A到B动能先增加后减少
6.(多选)(2025·广东湛江高三期末)如图,正方体ABCD-MHKN处于真空中,顶点A和K分别有等量正电荷和负电荷,空间中的电场只由这两个电荷产生,取无穷远处为零势能点,下列说法正确的是(　　)
A.B点电势与D点电势相同
B.M点电势与N点电势相同
C.M点电场强度与C点电场强度相同
D.N点电场强度小于B点电场强度
7.(2025·江苏南通一模)如图所示,足够大的金属板A、B平行放置,在两板间放置一不带电的金属球壳,O为球心,a、b为球壳外表面上的两点。闭合开关S,稳定后(　　)
A.a点的电势比b点的高
B.a点的电场强度比O点的大
C.向右移动滑片P,a点的电势降低
D.断开开关S,a点的电场强度减小
8.(2025·八省联考河南卷,6)某电场的电势φ随位置x的变化关系如图所示,O点为坐标原点,a、b、c、d为x轴上的四个点。一带正电粒子从d点由静止释放,在电场力作用下沿x轴运动,不计重力,则粒子(　　)
A.将在a、d之间做周期性运动
B.在d点的电势能大于在a点的电势能
C.在b点与c点所受电场力方向相同
D.将沿x轴负方向运动,可以到达O点
提能增分练
9.(多选)(2025·四川成都石室中学模拟)如图所示为某静电除尘装置的简化原理图,已知板间距为d,板长为L,两块平行带电极板间为除尘空间。质量为m、电荷量为-q的带电尘埃分布均匀,均以沿板方向的速率v射入除尘空间,当其碰到下极板时,所带电荷立即被中和,同时尘埃被收集。调整两极板间的电压可以改变除尘率η(相同时间内被收集尘埃的数量与进入除尘空间尘埃的数量之百分比)。当两极板间电压为U0时,η恰好为100%。不计空气阻力、尘埃的重力及尘埃之间的相互作用,忽略边缘效应。下列说法正确的是(　　)
A.两极板间电压为U0时,其中有尘埃在静电除尘装置中运动的动量变化量为
B.两极板间电压为U0时,除尘率可达50%
C.若极板间电压小于U0并保持除尘率100%,需要减小尘埃的速率v
D.仅减少尘埃的比荷,除尘率将增大
10.(2025·江苏卷,13)如图所示,在电场强度为E、方向竖直向下的匀强电场中,两个相同的带正电粒子a、b同时从O点以初速度v0射出,速度方向与水平方向夹角均为θ。已知粒子的质量为m,电荷量为q,不计重力及粒子间相互作用。求:
(1)a运动到最高点的时间t;
(2)a到达最高点时,a、b间的距离H。
11.(2025·黑龙江牡丹江联考)实验室的粒子分析装置由粒子发射源、加速电场、静电分析器、偏转电场四部分组成。如图所示,在平面直角坐标系xOy中,第二象限内有竖直向下的匀强电场,第一象限内有一静电分析器,分析器中存在电场线沿半径方向指向圆心O的均匀辐向电场。自A点沿与x轴夹角为α的方向发射一个初速度为v0、带正电的粒子,粒子会沿平行于x轴的方向从B点进入静电分析器,且恰好在分析器内做匀速圆周运动,运动轨迹处的电场强度大小为E0。若带电粒子质量为m,电荷量为q,不计粒子重力。求:
(1)OB间的距离;
(2)第二象限匀强电场的电场强度大小;
(3)粒子在静电分析器中运动的时间t。
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12.(2025·安徽芜湖模拟预测)在竖直面内建立一个平面直角坐标系Oxy,水平向右为x轴正方向,竖直向上为y轴正方向。在x轴下方存在一段半径为R=4 m的光滑圆弧绝缘轨道OBA,轨道与原点O连接,圆心为O',OO'与水平方向的夹角θ=37°,A为轨道最低点,O'A平行于y轴,如图所示。竖直线CD刚好与圆弧轨道所在的圆相切, CD左侧的第一象限内存在沿x轴正方向、电场强度E0=200 V/m的匀强电场,第三、四象限存在一个竖直向上、电场强度大小E=150 V/m的匀强电场。现将一个质量为m=1 kg、电荷量为q=0.1 C的带正电小球(视为质点)放置在圆轨道内侧A点并给以vA=6 m/s水平向左的初速度,最终小球由O点抛出射入第一象限。已知重力加速度g=10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。求:
(1)小球经过O点时的速度大小;
(2)小球第二次与第一次经过x轴的时间间隔;
(3)小球第二次经过x轴的横坐标。

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