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第10讲　磁场及带电粒子在磁场中的运动
热点一　磁场的基本性质、安培力
1.磁场的产生与叠加
2.安培力的分析与计算
方向 左手定则 电流间的作用力:同向电流相互吸引,异向电流相互排斥
大小 直导线 F=IlBsin θ,θ=0时F=0;θ=90°时F=IlB
导线为 曲线时
受力 分析 根据力的平衡条件或牛顿运动定律列方程
例1 (2025·山东枣庄高三期末)如图所示,abcd-a'b'c'd'为正方体,两条足够长的通电直导线L1、L2分别沿ab和a'd'放置,电流大小均为I,方向分别沿ab和a'd'。已知通电长直导线在空间某点产生的磁感应强度大小B与电流I的关系为B=k(k为常量,r为该点到直导线的距离)。若d点的磁感应强度大小B0,则平面aa'd'd中心P点处的磁感应强度大小为(　　)
A.B0 B.B0
C.B0 D.3B0
答案　C
解析　设正方形边长为L,根据安培定则可知,导线L1在d点产生的磁感应强度大小为B1=k,方向沿dd',同理,导线L2在d点产生的磁感应强度大小也为B1=k,方向沿cd,所以B0=B1=k;导线L1在P点产生的磁感应强度大小为B2=k=k,方向沿Pa',导线L2在P点产生的磁感应强度大小为B3=k=2k,方向沿cd,二者垂直,所以BP==k=B0,故C正确。
例2 (2025·辽宁朝阳阶段检测)如图所示,半径为R的圆形导体ABC单位长度的电阻为r,AC为圆的直径,弧BC对应的圆心角为60°。直径AC的上部有垂直纸面向里的匀强磁场,下部有垂直纸面向外的匀强磁场,两磁场的磁感应强度大小均为B。在A、B两点间接入恒定电压U,电流方向图中已标出,那么整个圆形导体所受安培力的大小为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　圆形导体分为三部分,分别为AB、BC、AC,电阻分别为R1=r,R2=r,R3=πRr,有效长度如图中所示,三部分所受安培力分别为
F1=·R·B=,F2=R·B=,F3=·2R·B=,由力的合成得合力F=
=,故A正确。
热点二　带电粒子在匀强磁场中的运动
带电粒子在有界匀强磁场中的运动情况分析
分类 示例 注意事项
直线 边界 粒子进出磁场具有对称性 图甲中,粒子在磁场中运动的时间t== 图乙中,粒子在磁场中运动的时间 t=T==,半径r= 图丙中,粒子在磁场中运动的时间t=T=,半径r= 图丁中,当带电粒子的运动轨迹等于圆周时,直径与边界相交的交点(如图b点)为带电粒子射出边界的最远点(距O点最远)
平行 边界 往往存在临界条件 图甲中,粒子在磁场中运动时间t1=,t2== 图乙中,粒子在磁场中运动时间t= 图丙中,粒子在磁场中运动时间t=T= 图丁中,粒子在磁场中运动时间t=T=
圆形 (或三角形) 有界磁场 沿径向射入的粒子,必沿径向射出 图甲中:(1)磁场半径和轨迹半径构成对角互补的四边形,即φ+θ=π。 (2)轨迹半径r、磁场半径R的关系为r=Rtan 图乙中,带电粒子从直径的一个端点射入磁场,从该直径的另一端点射出时,磁场区域面积最小 图丙中,当粒子的运动轨迹与内圆相切时,粒子有最大速度或磁场有最小磁感应强度 图丁中,当粒子的运动轨迹与AC边相切时,粒子不从AC边射出时有最大速度
例3 (多选)(2025·安徽蚌埠月考)如图所示,真空区域有边界为MN、PQ的匀强磁场,磁感应强度大小为B,方向垂直纸面向里,MN、PQ的间距为l。α粒子He)和氢核H)先后从A点沿着与MN夹角θ为30°的方向射入磁场中,都刚好没能从PQ边界射出磁场。不计粒子重力,α粒子在磁场中运动的时间和速度大小分别为t1和v1,氢核在磁场中运动的时间和速度大小分别为t2和v2,则(　　)
A.t1∶t2=1∶2,v1∶v2=2∶1
B.t1∶t2=2∶1,v1∶v2=1∶2
C.粒子在磁场中运动的半径为l
D.粒子在磁场中运动的半径为(4-2)l
答案　BD
解析　根据题意,两粒子都刚好没能从PQ
边界射出磁场,可知α粒子和氢核在磁场中的运动轨迹刚好与右边界相切,如图所示,由几何关系可得r+rcos 30°=l,解得粒子在磁场中的运动半径为r=(4-2)l,粒子在磁场中运动的时间为t=T=×∝,则有t1∶t2=∶=2∶1,由洛伦兹力提供向心力可得qvB=m,解得v=∝,则有v1∶v2=∶=1∶2,B、D正确。
例4 (多选)(2025·四川卷,10)如图所示,Ⅰ区有垂直于纸面向里的匀强磁场,其边界为正方形;Ⅱ区有垂直于纸面向外的匀强磁场,其外边界为圆形,内边界与Ⅰ区边界重合;正方形与圆形中心同为O点。Ⅰ区和Ⅱ区的磁感应强度大小比值为4∶1。一带正电的粒子从Ⅱ区外边界上a点沿正方形某一条边的中垂线方向进入磁场,一段时间后从a点离开。sin 37°=0.6。则带电粒子(　　)
A.在Ⅰ区的轨迹圆心不在O点
B.在Ⅰ区和Ⅱ区的轨迹半径之比为1∶2
C.在Ⅰ区和Ⅱ区的轨迹长度之比为127∶37
D.在Ⅰ区和Ⅱ区的运动时间之比为127∶148
答案　AD
解析　粒子的运动轨迹如图所示,
由图可知带电粒子在Ⅰ区的轨迹圆心不在O点,故A正确;由洛伦兹力提供向心力有qvB=m,可得r=,则粒子在Ⅰ区和Ⅱ区的轨迹半径之比为==,故B错误;粒子在磁场Ⅱ区每段圆弧对应的圆心角相等,设为α,由几何关系可知cos α==,可得α=37°,故粒子在Ⅰ区运动的时间为t1=T1=·,粒子在Ⅱ区运动的时间为t2=T2=·,则粒子在Ⅰ区和Ⅱ区的运动时间之比为=,故D正确;粒子在Ⅰ区和Ⅱ区的轨迹长度分别为l1=×2πr1=×2πr1,l2=×2πr2=×2πr2,则粒子在Ⅰ区和Ⅱ区的轨迹长度之比为=,故C错误。
例5 (2025·湖北武汉模拟)如图所示,在直角△MON区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场(未画出),磁感应强度大小为B,O点处的粒子源可向纸面内磁场区域各个方向发射带电粒子。已知带电粒子的质量为m,电荷量为+q,速率均为v=,ON长为d且∠ONM=30°,忽略粒子的重力及相互间的作用力。下列说法正确的是(　　)
A.自MN边射出的粒子在磁场中运动的最短时间为
B.自MN边射出的粒子在磁场中运动的最长时间为
C.MN边上有粒子到达区域的长度为
D.ON边上有粒子到达区域的长度为
答案　C
解析　洛伦兹力提供带电粒子做匀速圆周运动的向心力,则qvB=m,又v=,解得r=。
自MN边射出的粒子在磁场中运动的时间最短时,对应的弦最短,当OA垂直MN垂足为A点时,OA作为弦最短,轨迹圆弧所对应的圆心角为60°。自MN边射出的粒子在磁场中运动的时间最长时的运动轨迹与MN相切于B点,OB作为弦最长,轨迹圆弧所对应的圆心角为90°,如图所示。根据T=,解得T=,可得自MN边射出的粒子在磁场中运动的最短时间tmin=T=,自MN边射出的粒子在磁场中运动的最长时间tmax=T=,A、B错误;MN边上有粒子到达区域的长度为AB之间的距离,由几何关系可得AB=OO2=,C正确;ON边上有粒子到达区域的长度为OC之间的距离,由几何关系可得OC=2×cos 30°=d,D错误。
解决带电粒子在匀强磁场中运动的临界问题的关键
(1)运用动态思维,寻找临界点,确定临界状态,根据粒子的速度方向和磁场边界画好轨迹圆确定圆心,根据几何关系确定半径。
(2)粒子射出或不射出磁场的临界状态是粒子运动轨迹与磁场边界相切。
1.(2025·湖北卷,4)如图所示,在磁感应强度大小为B的匀强磁场中,放置一通电圆线圈,圆心为O点,线圈平面与磁场垂直。在圆线圈的轴线上有M和N两点,它们到O点的距离相等。已知M点的总磁感应强度大小为零,则N点的总磁感应强度大小为(　　)
A.0 B.B
C.2B D.3B
答案　A
解析　根据对称性可知,线圈在M、N两点产生的磁感应强度大小相等、方向相同,由于M点的总磁感应强度大小为零,所以匀强磁场的磁感应强度与线圈在M点产生的磁感应强度大小相等、方向相反,则线圈在N点产生的磁感应强度与匀强磁场的磁感应强度大小相等、方向相反,故N点的总磁感应强度大小为0,A正确。
2.(2025·福建卷,3)如图所示,空间中存在两根无限长直导线L1与L2,通有大小相等,方向相反的电流。导线周围存在M、O、N三点,M与O关于L1对称,O与N关于L2对称且OM=ON,初始时,M处的磁感应强度大小为B1,O点的磁感应强度大小为B2,现保持L1中电流不变,仅将L2撤去,N点的磁感应强度大小为(　　)
A.B2-B1 B.B1-B2
C.B2-B1 D.B1-B2
答案　A
解析　根据题意,作出L1、L2中电流的某种情况,如图所示,设L1在M点产生的磁感应强度大小为B1M,L2在M点产生的磁感应强度大小为B2M,L1在O点产生的磁感应强度大小为B1O,L2在O点产生的磁感应强度大小为B2O,则由安培定则可知L1和L2在M点产生的磁感应强度方向相反,L1和L2在O点产生的磁感应强度方向相同,则有B1M-B2M=B1,B1O+B2O=B2;由于L1、L2中电流大小相等,且OM=ON,M与O关于L1对称,N与O关于L2对称,有B1M=B1O=B2O,B2M=B1N,联立可得B2M=B1N=B2-B1,故保持L1中电流不变,仅将L2撤去,N点的磁感应强度大小为B1N=B2-B1,A正确。
3.(多选)(2025·甘肃卷,10)2025年5月1日,全球首个实现“聚变能发电演示”的紧凑型全超导托卡马克核聚变实验装置(BEST)在我国正式启动总装。如图是托卡马克环形容器中磁场截面的简化示意图,两个同心圆围成的环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B,内圆半径为R0。在内圆上A点有a、b、c三个粒子均在纸面内运动,并都恰好到达磁场外边界后返回。已知a、b、c带正电且比荷均为,a粒子的速度大小为va=,方向沿同心圆的径向;b和c粒子速度方向相反且与a粒子的速度方向垂直。不考虑带电粒子所受的重力和相互作用。下列说法正确的是(　　)
A.外圆半径等于2R0
B.a粒子返回A点所用的最短时间为
C.b、c粒子返回A点所用的最短时间之比为
D.c粒子的速度大小为va
答案　BD
解析　
由题意,作出a粒子运动轨迹图,如图甲所示。
a粒子恰好到达磁场外边界后返回,a粒子运动的圆周正好与磁场外边界相切,然后沿内圆直径做匀速直线运动,再在环形匀强磁场内做匀速圆周运动恰好回到A点,根据洛伦兹力提供向心力qvaB=m,由题意知a粒子的速度大小为va=,可得Ra=R0,设外圆半径等于R,由几何关系得R=R0+R0,故A错误;a粒子返回A点所用的最短时间为第一次回到A点的时间t,a粒子做匀速圆周运动的周期T==,根据对称性知a粒子在磁场中运动的时间t1=T=,a粒子在内圆中匀速直线运动的时间t2==,故a粒子返回A点所用的最短时间为tmin=t1+t2=,故B正确;作出b、c粒子运动轨迹图,如图乙、丙所示
因为b、c粒子返回A点都是运动一个圆周,根据b、c带正电且比荷均为,所以两粒子做圆周运动的周期T=相同,则所用的最短时间之比为1∶1,故C错误;对c粒子,由几何关系得2Rc=R0,根据洛伦兹力提供向心力,有qvcB=,联立解得vc=va,故D正确。
4.(2025·湖北卷,14)如图所示,两平行虚线MN、PQ间无磁场。MN左侧区域和PQ右侧区域内均有垂直于纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小分别为B和2B。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从MN左侧O点以大小为v0的初速度射出,方向平行于MN向上。已知O点到MN的距离为,粒子能回到O点,并在纸面内做周期性运动。不计重力,求:
(1)粒子在MN左侧区域中运动轨迹的半径;
(2)粒子在第一次和第二次经过PQ时位置的间距;
(3)粒子的运动周期。
答案　(1)　(2)　(3)+
解析　(1)粒子在MN左侧区域中运动时,由洛伦兹力提供向心力有qv0B=m
解得粒子在MN左侧区域中运动轨迹的半径
r1=。
(2)粒子在PQ右侧区域运动时,由洛伦兹力提供向心力有qv0·2B=m
则粒子在PQ右侧区域的运动轨迹的半径为
r2==r1
由于粒子能回到O点,则粒子的轨迹关于过O点MN的垂线对称,设粒子在MN左侧区域运动轨迹的圆心为O1,在PQ右侧区域运动轨迹的圆心为O2,作出粒子的运动轨迹如图所示
由几何关系可知cos θ==
则θ=60°
则粒子第一次和第二次经过PQ时位置的间距为
s=2r2sin 60°=。
(3)由qvB=m、T=得粒子在MN左侧区域、PQ右侧区域做匀速圆周运动的周期分别为
T1=、T2=
粒子在MN左侧区域、PQ右侧区域运动轨迹所对的圆心角分别为
θ1=360°-2θ=240°、θ2=2θ=120°
则一个周期内粒子在磁场区域运动的时间为
t1=T1+T2=
粒子一次在MN、PQ间匀速运动的距离为
x=(r1-r2)tan θ=
则一个周期内粒子在MN、PQ间运动的时间为
t2==
则粒子的运动周期为t=t1+t2=+。
基础保分练
1.(2025·山东淄博一模)如图所示,恒定电流I流过边长为2a的水平放置的正方形导线,O点为正方形的中心,P点位于O点正上方且OP=a,每条导线在P点的磁感应强度大小均为B,则P点的磁感应强度大小为(　　)
A.0 B.B
C.B D.2B
答案　D
解析　根据图中几何关系结合安培定则,可知两相互平行导线在P点产生的磁感应强度方向的夹角为90°,如图所示,则两相互平行导线在P点产生的合磁感应强度大小为B'=B,方向竖直向上,则正方形导线在P点产生的磁感应强度大小为BP=2B'=2B,故D正确。
2.(多选)(2025·江西九江十校模拟)如图所示,粗细均匀的金属线框固定在绝缘水平面上,其中MPN段为半径为r的半圆,P为半圆弧的中点,MQN 为等腰直角三角形,虚线MN左侧有垂直于水平面向下的匀强磁场Ⅰ,右侧有垂直于水平面向上的匀强磁场Ⅱ,两磁场的磁感应强度大小均为B,MN与半圆的直径重合,将P、 Q两端接入电路,从P点流入的电流大小为I,则下列判断正确的是(　　)
A.整个线框受到的安培力为0
B.PQ 上方线框受到的安培力方向平行于PQ向右
C.PQ 上方线框受到的安培力大小为IrB
D.MN左侧线框受到的安培力大于右侧线框受到的安培力
答案　AC
解析　线框的上半部分的电流是顺时针,下半部分的电流是逆时针,把线框分成右上、左上、左下、右下四部分,根据左手定则可得这四部分的受力如图所示,因为四部分的有效长度都为r,且线框中的电流相同,四部分所受的安培力大小相等,且F1与F3方向相反,F2与F4方向相反,则线框所受安培力的合力为0,故A正确;安培力大小为F1=F2=×rB=IrB,PQ上方线框受到的安培力大小为F=F1=F2=IrB,方向平行于 PQ向左,故B错误,C正确;MN左右两侧线框受到的安培力等大反向,故D错误。
3.(2025·山西高三月考)如图所示,在正方形虚线框MNPQ内存在着垂直于纸面向里的匀强磁场。a、b两个带电粒子以相同速度从PQ边上的中点垂直于PQ边射入磁场,速度方向均平行于纸面,最终a、b分别从MQ的中点、N点离开磁场。不计粒子重力及粒子间相互作用力。a、b两个粒子的比荷之比为(　　)
A.8∶5 B.5∶8
C.5∶2 D.2∶5
答案　C
解析　设正方形磁场边界的边长为L,由几何关系可知ra=,=+L2,解得rb=L,可得=,根据洛伦兹力提供向心力qvB=m,可得=,则a、b两个粒子的比荷之比为5∶2,故C正确。
4.如图为磁约束装置的简化示意图,内半径为R、外半径为3R的环状区域内存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场,有一粒子源在外边界P处,粒子沿半径方向以初速度v射入磁场,内圆周上有磁场,为使粒子不射入内圆区域,初速度v大小应满足的条件为(　　)
A.v≤ B.v≤
C.v≤ D.v≤
答案　D
解析　粒子不射入内圆区域的临界轨迹如图,根据勾股定理有(R+r)2=r2+(3R)2,解得r=4R,又r=,解得vmax=,为使粒子不射入内圆区域,初速度v大小应满足的条件为v≤,故D正确。
5.(2024·广西卷,5)Oxy坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示,磁感应强度大小为B,方向垂直纸面向里。质量为m、电荷量为+q的粒子,以初速度v从O点沿x轴正向开始运动,粒子过y轴时速度与y轴正向夹角为45°,交点为P。不计粒子重力,则P点至O点的距离为(　　)
A. B.
C.(1+) D.
答案　C
解析　粒子运动轨迹如图所示,在磁场中,根据洛伦兹力提供向心力,有qvB=m,可得粒子做圆周运动的半径r=,根据几何关系可得P点至O点的距离LPO=r+=(1+),故C正确。
6.固定的光滑刚性绝缘正三角形框内存在着垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B,长为L的CD边上一点P开有一个小孔,且CP=L,如图所示。质量为m、电荷量为q的带正电粒子以某一初速度从P点沿纸面垂直于CD边射入磁场后,与正三角形的每条边都发生多次碰撞,再从P点垂直于CD边离开磁场。粒子在每次碰撞前、后瞬间速度大小相等,方向相反,电荷量不变,不计重力,则粒子初速度的最大值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　粒子与每一边的碰撞次数至少为2次才能从P点出来,则与每边碰撞2次的情况下粒子的半径最大,又在同一匀强磁场中,对同一种粒子,粒子速度与半径成正比,则此情况下粒子的速度最大。粒子初速度最大时运动轨迹如图所示,由几何关系可知r=L,根据qvB=m,可得v=,A正确。
提能增分练
7.(多选)(2025·广东广州高三下开学考)如图,在光滑绝缘的水平面xOy区域内存在竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。质量为m、电荷量为q的带负电小球1从点O以速度v0(大小未知)沿x轴正方向进入磁场区域后,与静止在点P(a,a)、质量为的中性小球2发生弹性正碰,且有一半电荷量转移到小球2,两小球均可看作质点,不计碰撞后小球间的相互作用,则(　　)
A.v0=
B.碰后,小球2的速度为小球1速度的3倍
C.碰后,小球1在磁场中的运动半径较大
D.碰后,小球2在磁场中的运动半径较大
答案　AB
解析　由洛伦兹力提供向心力可得qv0B=m,由题意知r=a,解得v0=,故A正确;因为球1与球2发生弹性正碰,所以碰撞过程,球1、球2组成的系统动量守恒,且动能无损失,以碰前球1的速度方向为正方向,可得mv0=mv'+v″,m=mv'2+×v″2,联立可得v'=,v″=v0,则碰后,小球2的速度为小球1速度的3倍,故B正确;由洛伦兹力提供向心力可得qvB=m,解得r=,因为碰后,小球1有一半电荷量转移到小球2,则碰后小球1、2电荷量相等,可得r1==,r2==,则碰后,小球1、2在磁场中的运动半径一样大,故C、D错误。
8.(多选)(2025·安徽蚌埠高三期末)利用图示装置可以选择一定速度的带电粒子。图中半圆为绝缘筒壁的横截面,直径PM的长为2R,弧线PN是覆盖在筒壁上的吸附层(可吸收打在其上的粒子),其长度L可调节,整个装置处于垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场中。一群质量为m、电荷量为q的粒子以不同速率从P沿PM方向进入磁场,粒子与PN以外的筒壁发生若干次碰撞后恰可从M点射出。若碰撞过程遵循反射定律,没有动能损失,且电荷量保持不变,不计粒子的重力,关于从M点射出的粒子,下列说法正确的是(　　)
A.粒子一定带负电
B.若L=0.4πR,则粒子的速率为
C.若L=0.3πR,则粒子在磁场中运动的时间为
D.若L=0.3πR,则粒子速率的最小值为
答案　BD
解析　带电粒子进入磁场后,运动轨迹为向上偏转,即带电粒子进入磁场时所受洛伦兹力方向为竖直向上,由左手定则可知,带电粒子一定带正电,A错误;若L=0.4πR,粒子恰可从M点射出,则粒子在磁场中的运动轨迹如图甲所示,由几何关系知粒子的运动半径为r=R,由洛伦兹力提供向心力可得qvB=m,解得粒子的速率为v=,B正确;若L=0.3πR,粒子恰可从M点射出,则粒子在磁场中的运动轨迹可能为图甲,此时粒子在磁场中的运动周期为T==,故粒子在磁场中运动的时间为t==,C错误;若L=0.3πR,由qvB=m,解得粒子运动的半径r=,粒子速率最小时,粒子的运动半径最小,此时粒子的运动轨迹如图乙所示,
由几何关系可知rmin=R,解得粒子速率的最小值为vmin=,D正确。
9.(2025·四川攀枝花模拟)如图所示,相距为d且足够长的两平行挡板MN、PQ之间有垂直纸面向外的匀强磁场,磁感应强度的大小为B。位于PQ上A点的粒子源可源源不断的向纸面内各个方向发射速度大小相同、质量为m、电荷量为q的带负电粒子,其中沿与PQ成60°角斜向右上方射入两板间的粒子恰好不与MN板碰撞,不计粒子重力,求:
(1)粒子的初速度大小v0;
(2)MN板上能被粒子击中的长度范围L。
答案　(1)　(2)d
解析　(1)与PQ成60°角斜射入的粒子恰好不与MN板碰撞的运动轨迹如图甲所示
由几何关系可得r+rcos 60°=d
洛伦兹力提供向心力有
qv0B=m
联立可得r=d,v0=。
(2)粒子击中MN板时临界轨迹如图乙所示
由几何关系有(d-r)2+=r2,x2=rsin 60°
故MN板上能被粒子击中的长度范围为
L=x1+x2
联立可得L=d。
10.如图所示,正方形区域abcd内(含边界)有垂直纸面向里的匀强磁场,ab=l,Oa=0.4l,大量带正电的粒子从O点沿与ab边成37°角的方向以不同的初速度v0射入磁场,不计粒子重力和粒子间的相互作用,已知带电粒子的质量为m、电荷量为q,磁场的磁感应强度大小为B,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。
(1)求带电粒子在磁场中运动的最长时间;
(2)若带电粒子从ad边离开磁场,求v0的取值范围。
答案　(1)　(2)≤v0<
解析　(1)粒子从ab边离开磁场时,在磁场中运动的时间最长,如图甲所示,
有qv0B=,
又T=,解得T=
又由几何关系得θ=74°,则粒子在磁场中运动的最长时间
t=T=。
(2)当粒子轨迹与ad边相切时,如图乙所示,设此时初速度为v01,轨道半径为R1,
由几何关系可得R1+R1sin 37°=0.4l
又qv01B=,解得v01=
当粒子运动轨迹与cd边相切时,如图丙所示,设此时初速度为v02,轨道半径为R2
由几何关系可得R2+R2cos 37°=l
又qv02B=,解得v02=
综上可得≤v0<。
培优高分练
11.一种圆柱形粒子探测装置的横截面如图所示,内圆区域内有垂直纸面向里的匀强磁场,外圆是探测器,AB和PM分别为内圆的两条相互垂直的直径,两个粒子先后从P点沿PM射入磁场。粒子1经磁场偏转后打在探测器上的Q点,粒子2经磁场偏转后从磁场边界C点离开,最后打在探测器上的N 点,PC圆弧恰好为内圆周长的三分之一,粒子2在磁场中运动的时间为t。装置内部为真空状态,忽略粒子所受重力及粒子间相互作用力。求:
(1)粒子1在P点的受力方向和电性;
(2)若两粒子的入射速率相等,比较粒子1与粒子2的比荷大小;
(3)改变粒子2入射方向,速率变为原来的,则粒子2在磁场中运动的最长时间。
答案　(1)向下　带负电　(2)粒子1的比荷大于粒子2的比荷　(3)t
解析　(1)粒子1向下偏转,受力向下,由左手定则可知,粒子1带负电。
(2)根据洛伦兹力提供粒子在磁场中做圆周运动所需的向心力,有qvB=m
可得=
由题图可知粒子1运动的半径小于粒子2运动的半径,若两粒子的入射速度相同,则粒子1的比荷大于粒子2的比荷。
(3)PC圆弧恰好为内圆周长的三分之一,则粒子2在磁场中轨迹所对应的圆心角为
α=180°-=60°
设内圆半径为 R,根据几何关系,粒子2在磁场中运动半径为r1==R
粒子2速率变为原来的,
此时粒子2在磁场中运动半径为r2=r1=2R
根据几何关系,当粒子2的轨迹对
应的弦为直径PM时,粒子2在磁场中运动的时间最长,此时的圆心角为β=60°,如图所示
速度改变后,粒子2在磁场中运动的最长时间为t2=T=T=t。第10讲　磁场及带电粒子在磁场中的运动
热点一　磁场的基本性质、安培力
1.磁场的产生与叠加
2.安培力的分析与计算
方向 左手定则 电流间的作用力:同向电流相互吸引,异向电流相互排斥
大小 直导线 F=IlBsin θ,θ=0时F=0;θ=90°时F=IlB
导线为 曲线时
受力 分析 根据力的平衡条件或牛顿运动定律列方程
例1 (2025·山东枣庄高三期末)如图所示,abcd-a'b'c'd'为正方体,两条足够长的通电直导线L1、L2分别沿ab和a'd'放置,电流大小均为I,方向分别沿ab和a'd'。已知通电长直导线在空间某点产生的磁感应强度大小B与电流I的关系为B=k(k为常量,r为该点到直导线的距离)。若d点的磁感应强度大小B0,则平面aa'd'd中心P点处的磁感应强度大小为(　　)
A.B0 B.B0
C.B0 D.3B0
例2 (2025·辽宁朝阳阶段检测)如图所示,半径为R的圆形导体ABC单位长度的电阻为r,AC为圆的直径,弧BC对应的圆心角为60°。直径AC的上部有垂直纸面向里的匀强磁场,下部有垂直纸面向外的匀强磁场,两磁场的磁感应强度大小均为B。在A、B两点间接入恒定电压U,电流方向图中已标出,那么整个圆形导体所受安培力的大小为(　　)
A. B.
C. D.
热点二　带电粒子在匀强磁场中的运动
带电粒子在有界匀强磁场中的运动情况分析
分类 示例 注意事项
直线 边界 粒子进出磁场具有对称性 图甲中,粒子在磁场中运动的时间t== 图乙中,粒子在磁场中运动的时间 t=T==,半径r= 图丙中,粒子在磁场中运动的时间t=T=,半径r= 图丁中,当带电粒子的运动轨迹等于圆周时,直径与边界相交的交点(如图b点)为带电粒子射出边界的最远点(距O点最远)
平行 边界 往往存在临界条件 图甲中,粒子在磁场中运动时间t1=,t2== 图乙中,粒子在磁场中运动时间t= 图丙中,粒子在磁场中运动时间t=T= 图丁中,粒子在磁场中运动时间t=T=
圆形 (或三角形) 有界磁场 沿径向射入的粒子,必沿径向射出 图甲中:(1)磁场半径和轨迹半径构成对角互补的四边形,即φ+θ=π。 (2)轨迹半径r、磁场半径R的关系为r=Rtan 图乙中,带电粒子从直径的一个端点射入磁场,从该直径的另一端点射出时,磁场区域面积最小 图丙中,当粒子的运动轨迹与内圆相切时,粒子有最大速度或磁场有最小磁感应强度 图丁中,当粒子的运动轨迹与AC边相切时,粒子不从AC边射出时有最大速度
例3 (多选)(2025·安徽蚌埠月考)如图所示,真空区域有边界为MN、PQ的匀强磁场,磁感应强度大小为B,方向垂直纸面向里,MN、PQ的间距为l。α粒子He)和氢核H)先后从A点沿着与MN夹角θ为30°的方向射入磁场中,都刚好没能从PQ边界射出磁场。不计粒子重力,α粒子在磁场中运动的时间和速度大小分别为t1和v1,氢核在磁场中运动的时间和速度大小分别为t2和v2,则(　　)
A.t1∶t2=1∶2,v1∶v2=2∶1
B.t1∶t2=2∶1,v1∶v2=1∶2
C.粒子在磁场中运动的半径为l
D.粒子在磁场中运动的半径为(4-2)l
例4 (多选)(2025·四川卷,10)如图所示,Ⅰ区有垂直于纸面向里的匀强磁场,其边界为正方形;Ⅱ区有垂直于纸面向外的匀强磁场,其外边界为圆形,内边界与Ⅰ区边界重合;正方形与圆形中心同为O点。Ⅰ区和Ⅱ区的磁感应强度大小比值为4∶1。一带正电的粒子从Ⅱ区外边界上a点沿正方形某一条边的中垂线方向进入磁场,一段时间后从a点离开。sin 37°=0.6。则带电粒子(　　)
A.在Ⅰ区的轨迹圆心不在O点
B.在Ⅰ区和Ⅱ区的轨迹半径之比为1∶2
C.在Ⅰ区和Ⅱ区的轨迹长度之比为127∶37
D.在Ⅰ区和Ⅱ区的运动时间之比为127∶148
例5 (2025·湖北武汉模拟)如图所示,在直角△MON区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场(未画出),磁感应强度大小为B,O点处的粒子源可向纸面内磁场区域各个方向发射带电粒子。已知带电粒子的质量为m,电荷量为+q,速率均为v=,ON长为d且∠ONM=30°,忽略粒子的重力及相互间的作用力。下列说法正确的是(　　)
A.自MN边射出的粒子在磁场中运动的最短时间为
B.自MN边射出的粒子在磁场中运动的最长时间为
C.MN边上有粒子到达区域的长度为
D.ON边上有粒子到达区域的长度为
解决带电粒子在匀强磁场中运动的临界问题的关键
(1)运用动态思维,寻找临界点,确定临界状态,根据粒子的速度方向和磁场边界画好轨迹圆确定圆心,根据几何关系确定半径。
(2)粒子射出或不射出磁场的临界状态是粒子运动轨迹与磁场边界相切。
1.(2025·湖北卷,4)如图所示,在磁感应强度大小为B的匀强磁场中,放置一通电圆线圈,圆心为O点,线圈平面与磁场垂直。在圆线圈的轴线上有M和N两点,它们到O点的距离相等。已知M点的总磁感应强度大小为零,则N点的总磁感应强度大小为(　　)
A.0 B.B
C.2B D.3B
2.(2025·福建卷,3)如图所示,空间中存在两根无限长直导线L1与L2,通有大小相等,方向相反的电流。导线周围存在M、O、N三点,M与O关于L1对称,O与N关于L2对称且OM=ON,初始时,M处的磁感应强度大小为B1,O点的磁感应强度大小为B2,现保持L1中电流不变,仅将L2撤去,N点的磁感应强度大小为(　　)
A.B2-B1 B.B1-B2
C.B2-B1 D.B1-B2
3.(多选)(2025·甘肃卷,10)2025年5月1日,全球首个实现“聚变能发电演示”的紧凑型全超导托卡马克核聚变实验装置(BEST)在我国正式启动总装。如图是托卡马克环形容器中磁场截面的简化示意图,两个同心圆围成的环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B,内圆半径为R0。在内圆上A点有a、b、c三个粒子均在纸面内运动,并都恰好到达磁场外边界后返回。已知a、b、c带正电且比荷均为,a粒子的速度大小为va=,方向沿同心圆的径向;b和c粒子速度方向相反且与a粒子的速度方向垂直。不考虑带电粒子所受的重力和相互作用。下列说法正确的是(　　)
A.外圆半径等于2R0
B.a粒子返回A点所用的最短时间为
C.b、c粒子返回A点所用的最短时间之比为
D.c粒子的速度大小为va
4.(2025·湖北卷,14)如图所示,两平行虚线MN、PQ间无磁场。MN左侧区域和PQ右侧区域内均有垂直于纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小分别为B和2B。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从MN左侧O点以大小为v0的初速度射出,方向平行于MN向上。已知O点到MN的距离为,粒子能回到O点,并在纸面内做周期性运动。不计重力,求:
(1)粒子在MN左侧区域中运动轨迹的半径;
(2)粒子在第一次和第二次经过PQ时位置的间距;
(3)粒子的运动周期。
基础保分练
1.(2025·山东淄博一模)如图所示,恒定电流I流过边长为2a的水平放置的正方形导线,O点为正方形的中心,P点位于O点正上方且OP=a,每条导线在P点的磁感应强度大小均为B,则P点的磁感应强度大小为(　　)
A.0 B.B
C.B D.2B
2.(多选)(2025·江西九江十校模拟)如图所示,粗细均匀的金属线框固定在绝缘水平面上,其中MPN段为半径为r的半圆,P为半圆弧的中点,MQN 为等腰直角三角形,虚线MN左侧有垂直于水平面向下的匀强磁场Ⅰ,右侧有垂直于水平面向上的匀强磁场Ⅱ,两磁场的磁感应强度大小均为B,MN与半圆的直径重合,将P、 Q两端接入电路,从P点流入的电流大小为I,则下列判断正确的是(　　)
A.整个线框受到的安培力为0
B.PQ 上方线框受到的安培力方向平行于PQ向右
C.PQ 上方线框受到的安培力大小为IrB
D.MN左侧线框受到的安培力大于右侧线框受到的安培力
3.(2025·山西高三月考)如图所示,在正方形虚线框MNPQ内存在着垂直于纸面向里的匀强磁场。a、b两个带电粒子以相同速度从PQ边上的中点垂直于PQ边射入磁场,速度方向均平行于纸面,最终a、b分别从MQ的中点、N点离开磁场。不计粒子重力及粒子间相互作用力。a、b两个粒子的比荷之比为(　　)
A.8∶5 B.5∶8
C.5∶2 D.2∶5
4.如图为磁约束装置的简化示意图,内半径为R、外半径为3R的环状区域内存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场,有一粒子源在外边界P处,粒子沿半径方向以初速度v射入磁场,内圆周上有磁场,为使粒子不射入内圆区域,初速度v大小应满足的条件为(　　)
A.v≤ B.v≤
C.v≤ D.v≤
5.(2024·广西卷,5)Oxy坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示,磁感应强度大小为B,方向垂直纸面向里。质量为m、电荷量为+q的粒子,以初速度v从O点沿x轴正向开始运动,粒子过y轴时速度与y轴正向夹角为45°,交点为P。不计粒子重力,则P点至O点的距离为(　　)
A. B.
C.(1+) D.
6.固定的光滑刚性绝缘正三角形框内存在着垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B,长为L的CD边上一点P开有一个小孔,且CP=L,如图所示。质量为m、电荷量为q的带正电粒子以某一初速度从P点沿纸面垂直于CD边射入磁场后,与正三角形的每条边都发生多次碰撞,再从P点垂直于CD边离开磁场。粒子在每次碰撞前、后瞬间速度大小相等,方向相反,电荷量不变,不计重力,则粒子初速度的最大值为(　　)
A. B.
C. D.
提能增分练
7.(多选)(2025·广东广州高三下开学考)如图,在光滑绝缘的水平面xOy区域内存在竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。质量为m、电荷量为q的带负电小球1从点O以速度v0(大小未知)沿x轴正方向进入磁场区域后,与静止在点P(a,a)、质量为的中性小球2发生弹性正碰,且有一半电荷量转移到小球2,两小球均可看作质点,不计碰撞后小球间的相互作用,则(　　)
A.v0=
B.碰后,小球2的速度为小球1速度的3倍
C.碰后,小球1在磁场中的运动半径较大
D.碰后,小球2在磁场中的运动半径较大
8.(多选)(2025·安徽蚌埠高三期末)利用图示装置可以选择一定速度的带电粒子。图中半圆为绝缘筒壁的横截面,直径PM的长为2R,弧线PN是覆盖在筒壁上的吸附层(可吸收打在其上的粒子),其长度L可调节,整个装置处于垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场中。一群质量为m、电荷量为q的粒子以不同速率从P沿PM方向进入磁场,粒子与PN以外的筒壁发生若干次碰撞后恰可从M点射出。若碰撞过程遵循反射定律,没有动能损失,且电荷量保持不变,不计粒子的重力,关于从M点射出的粒子,下列说法正确的是(　　)
A.粒子一定带负电
B.若L=0.4πR,则粒子的速率为
C.若L=0.3πR,则粒子在磁场中运动的时间为
D.若L=0.3πR,则粒子速率的最小值为
9.(2025·四川攀枝花模拟)如图所示,相距为d且足够长的两平行挡板MN、PQ之间有垂直纸面向外的匀强磁场,磁感应强度的大小为B。位于PQ上A点的粒子源可源源不断的向纸面内各个方向发射速度大小相同、质量为m、电荷量为q的带负电粒子,其中沿与PQ成60°角斜向右上方射入两板间的粒子恰好不与MN板碰撞,不计粒子重力,求:
(1)粒子的初速度大小v0;
(2)MN板上能被粒子击中的长度范围L。
10.如图所示,正方形区域abcd内(含边界)有垂直纸面向里的匀强磁场,ab=l,Oa=0.4l,大量带正电的粒子从O点沿与ab边成37°角的方向以不同的初速度v0射入磁场,不计粒子重力和粒子间的相互作用,已知带电粒子的质量为m、电荷量为q,磁场的磁感应强度大小为B,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。
(1)求带电粒子在磁场中运动的最长时间;
(2)若带电粒子从ad边离开磁场,求v0的取值范围。
培优高分练
11.一种圆柱形粒子探测装置的横截面如图所示,内圆区域内有垂直纸面向里的匀强磁场,外圆是探测器,AB和PM分别为内圆的两条相互垂直的直径,两个粒子先后从P点沿PM射入磁场。粒子1经磁场偏转后打在探测器上的Q点,粒子2经磁场偏转后从磁场边界C点离开,最后打在探测器上的N 点,PC圆弧恰好为内圆周长的三分之一,粒子2在磁场中运动的时间为t。装置内部为真空状态,忽略粒子所受重力及粒子间相互作用力。求:
(1)粒子1在P点的受力方向和电性;
(2)若两粒子的入射速率相等,比较粒子1与粒子2的比荷大小;
(3)改变粒子2入射方向,速率变为原来的,则粒子2在磁场中运动的最长时间。

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