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第13讲　电磁感应
热点一　楞次定律与法拉第电磁感应定律的应用
1.感应电流方向的判断方法
2.感应电动势大小的求法
情境图 研究对象 表达式
回路(不一定闭合) 三种形式 E=n E=nS E=nB
一段直导线(或等效直导线) E=Blv
绕一端转动的一段导体棒 E=Bl2ω
绕与B垂直的轴转动的导线框 从图示时刻计时 e=NωBScos ωt
3.通过回路截面的电荷量q=Δt=Δt=。q仅与n、ΔΦ和回路总电阻R总有关,与时间长短无关,与Φ是否均匀变化无关。
例1 (2025·广东广州模拟)图甲为某款“自发电”无线门铃按钮,其“发电”原理如图乙所示,按下门铃按钮过程磁体靠近螺线管,松开门铃按钮磁体远离螺线管回归原位置。下列说法正确的是(　　)
A.按下按钮过程,螺线管P端电势较高
B.松开按钮后,穿过螺线管的磁通量为零
C.按住按钮不动,螺线管中产生恒定的感应电动势
D.若按下和松开按钮的时间相同,螺线管产生大小相同的感应电动势
例2 (多选)(2025·黑、吉、辽、内蒙古卷,9)如图,“”形导线框置于磁感应强度大小为B、水平向右的匀强磁场中。线框相邻两边均为互相垂直,各边长均为l。线框绕b、e所在直线以角速度ω顺时针匀速转动。be与磁场方向垂直。t=0时,abef与水平面平行,则(　　)
A.t=0时,电流方向为abcdefa
B.t=0时,感应电动势为Bl2ω
C.t=时,感应电动势为0
D.t=0到t=过程中,感应电动势平均值为0
热点二　电磁感应中的电路和图像问题
例3 (2025·广东广州月考)一圆形金属线圈,面积为S1=0.06 m2,匝数n=100,阻值r=2 Ω,该线圈与阻值均为3 Ω的电阻R1、R2和电容为C=100 μF的电容器组成闭合回路,如图甲所示。在线圈中存在垂直于线圈平面的匀强磁场,其面积为S2=0.04 m2,设磁场垂直平面向里为正方向,磁感应强度B随时间t变化的关系如图乙所示,导线电阻不计。t=0时刻闭合开关S。
(1)求通过R1的电流大小和a、b两点间的电势差Uab;
(2)t=2 s时断开开关S,求断开开关S后通过R1的电荷量q。
电磁感应中电路问题的解题流程
例4 (2025·四川绵阳模拟)如图所示,匀强磁场垂直于倾斜的光滑平行金属导轨所在平面,导轨下端连接一个定值电阻,导轨电阻不计,一根金属棒以初速度v0紧贴着导轨向上运动,从出发到运动至最高过程中,用a、v、I、F分别表示金属棒的加速度、速度、电流和所受安培力的大小,t为运动时间,下列图像可能正确的是(　　)
解答电磁感应中图像问题的关键点和方法
(1)把握三个关键点
(2)掌握两个常用方法
①排除法:定性分析电磁感应过程中某个物理量的变化趋势或快慢,特别是分析物理量的方向(正、负),排除错误的选项。这种方法能快速解决问题,但不一定对所有问题都适用。
②函数关系法:根据题目所给的条件写出物理量之间的函数关系,再对图像作出判断,这种方法得到的结果准确、详细,但不够简捷。
热点三　电磁感应中的动力学和能量问题
1.电磁感应综合问题的解题思路
2.求解焦耳热Q的三种方法
(1)焦耳定律:Q=I2Rt,适用于电流恒定的情况。
(2)功能关系:Q=W克安(W克安为克服安培力做的功)。
(3)能量转化:Q=ΔE(其他能的减少量)。
例5 (多选)(2025·江西师大附中模拟)如图,匀强磁场Ⅰ、Ⅱ的边界P、Q、M水平,两磁场的方向相反,磁感应强度大小均为B,磁场Ⅰ的宽度为L,磁场Ⅱ的宽度大于L。边长为L、质量为m、电阻为R的正方形金属线框abcd自距磁场边界P上方L处自由下落,当ab边刚进磁场Ⅱ时线框的加速度为零;当ab边刚出磁场Ⅱ时,线框的加速度也为零。重力加速度大小为g,线框运动过程中,磁场始终与线框平面垂直,ab边始终水平,下列说法正确的是(　　)
A.当线框ab边刚进磁场Ⅱ时,线框的速度大小为
B.线框ab边通过磁场Ⅰ的过程中,通过线框截面的电荷量为
C.磁场Ⅱ的宽度为L+
D.线框通过磁场过程中,线框中产生的焦耳热为4mgL+
例6 (2025·河南郑州模拟)如图所示,两根等高光滑的半圆形圆弧轨道,半径为r,间距为L,轨道竖直固定且电阻不计。在轨道左端连一阻值为R1的电阻,整个装置处在竖直向上的匀强磁场中,磁感应强度大小为B,现有一根长度稍大于L、质量为m、接入电路电阻为R2的金属棒,从轨道的左端ab处开始(记为t=0时刻)在变力F的作用下以初速度v0沿圆弧轨道做匀速圆周运动至cd处,直径ad、bc水平,整个过程中金属棒与导轨接触良好,求此过程中:
(1)流过金属棒的电流随运动时间变化的关系式;
(2)通过电阻R1的电荷量q;
(3)作用力F做的功WF。
电磁感应中含电容器的电路问题
1.含“容”无外力,v0≠0
情境 质量为m、电阻为R的金属杆ab在水平光滑导轨上以速度v0开始运动,忽略导轨电阻
等效 电路 杆速度为v时,电流I=(UC为电容器两端电压,初始UC安培 力 F安=BIL=-
运动 过程 加速度a==-,杆做加速度逐渐减小的减速运动。当BLvmin=UCm时,I=0,此后杆做匀速直线运动
能量 角度 杆减少的动能转化为电容器的电场能和杆上的电阻产生的焦耳热
动量 角度 最终电容器两端的电压UCm=BLvmin,最终电容器的电荷量q=CUCm=CBLvmin,由动量定理可得-BL·Δt=mvmin-mv0,由于q=·Δt,联立解得vmin=
2.含“容”有恒定外力,v0=0
情境 质量为m、电阻为R的金属杆ab在水平光滑导轨上由静止开始运动,所受外力F恒定,忽略导轨电阻
运动 过程 电容器持续充电,F-ILB=ma,I=,ΔQ=CΔU=CBLΔv,a=,联立解得a=,a恒定,金属杆做匀加速直线运动
典例1 (多选)如图所示,两电阻为零的光滑导轨水平放置在垂直纸面向里的匀强磁场中,磁感应强度大小为B,导轨间距最窄处为一狭缝(狭缝宽度不计),取狭缝所在处O点为坐标原点,狭缝右侧两导轨与x轴夹角均为θ,导轨左端通过单刀双掷开关S可以与电容器C(初始不带电)或电阻R相连,导轨上有一足够长且不计电阻的金属棒与x轴垂直,在外力F(大小未知)的作用下从O点开始以速度v向右匀速运动,若某时刻开关S接1,外力用F1表示,通过金属棒电流的大小用I1表示;若某时刻开关S接2,外力用F2表示,通过金属棒电流的大小用I2表示。关于外力、电流大小随时间变化的图像关系正确的是(　　)
典例2 (多选)(2025·山东青岛模拟)如图所示,两根相距为L的平行光滑金属导轨倾斜放置,处于垂直导轨平面向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中,两导轨顶端与电容器相连,质量为m、长度为L的金属杆垂直导轨放置,金属杆与导轨接触良好。开始时电容器不带电,金属杆被锁定在距倾斜导轨底端d处。已知两导轨倾角均为θ,电容器电容为C,重力加速度为g,不计一切电阻。现解除锁定,下列说法正确的是(　　)
A.金属杆下滑过程中做加速度减小的变加速直线运动
B.若增大电容器电容,金属杆下滑时间变短
C.金属杆下滑到导轨底端时电容器极板间电压U=BL
D.金属杆下滑到导轨底端时电容器储存的电能E=
1.(2025·河南卷,5)如图,一金属薄片在力F作用下自左向右从两磁极之间通过。当金属薄片中心运动到N极的正下方时,沿N极到S极的方向看,下列图中能够正确描述金属薄片内涡电流绕行方向的是(　　)
2.(2025·甘肃卷,6)闭合金属框放置在磁场中,金属框平面始终与磁感线垂直。如图,磁感应强度B随时间t按正弦规律变化。Φ为穿过金属框的磁通量,E为金属框中的感应电动势,下列说法正确的是(　　)
A.t在0~内,Φ和E均随时间增大
B.当t=与时,E大小相等,方向相同
C.当t=时,Φ最大,E为零
D.当t=时,Φ和E均为零
3.(2025·湖北卷,5)如图(a)所示,相距L的两足够长平行金属导轨放在同一水平面内,两长度均为L、电阻均为R的金属棒ab、cd垂直跨放在两导轨上,金属棒与导轨接触良好,导轨电阻忽略不计。导轨间存在与导轨平面垂直的磁场,其磁感应强度大小B随时间t变化的图像如图(b)所示,t=T时刻,B=0。t=0时刻,两棒相距x0,ab棒速度为零,cd棒速度方向水平向右,并与棒垂直,则0~T时间内流过回路的电荷量为(　　)
A. B.
C. D.
4.(多选)(2025·广东卷,9)如图是一种精确测量质量的装置原理示意图,竖直平面内,质量恒为M的称重框架由托盘和矩形线圈组成。线圈的一边始终处于垂直线圈平面的匀强磁场中,磁感应强度不变。测量分两个步骤,步骤①:托盘内放置待测物块,其质量用m表示,线圈中通大小为I的电流,使称重框架受力平衡;步骤②:线圈处于断开状态,取下物块,保持线圈不动,磁场以速率v匀速向下运动,测得线圈中感应电动势为E。利用上述测量结果可得出m的值,重力加速度为g。下列说法正确的有(　　)
A.线圈电阻为
B.I越大,表明m越大
C.v越大,则E越小
D.m=-M
5.(2025·四川卷,14)如图所示,长度均为s的两根光滑金属直导轨MN和PQ固定在水平绝缘桌面上,两者平行且相距l,M、P连线垂直于导轨,定滑轮位于N、Q连线中点正上方h处。MN和PQ单位长度的电阻均为r,M、P间连接一阻值为2sr的电阻。空间有垂直于桌面向下的匀强磁场,磁感应强度大小为B。过定滑轮的不可伸长绝缘轻绳拉动质量为m、电阻不计的金属杆沿导轨向右做匀速直线运动,速度大小为v。零时刻,金属杆位于M、P连线处。金属杆在导轨上时与导轨始终垂直且接触良好,重力加速度大小为g。求:
(1)金属杆在导轨上运动时,回路的感应电动势;
(2)金属杆在导轨上与M、P连线相距d时,回路的热功率;
(3)金属杆在导轨上保持速度大小v做匀速直线运动的最大路程。
基础保分练
1.(2025·陕、晋、青、宁卷,6)电磁压缩法是当前产生超强磁场的主要方法之一。其原理如图所示,在钢制线圈内同轴放置可压缩的铜环,其内已“注入”一个初级磁场,当钢制线圈与电容器组接通时,在极短时间内钢制线圈中的电流从零增加到几兆安培,铜环迅速向内压缩,使初级磁场的磁感线被“浓缩”,在直径为几毫米的铜环区域内磁感应强度可达几百特斯拉。此过程,铜环中的感应电流(　　)
A.与钢制线圈中的电流大小几乎相等且方向相同
B.与钢制线圈中的电流大小几乎相等且方向相反
C.远小于钢制线圈中的电流大小且方向相同
D.远小于钢制线圈中的电流大小且方向相反
2.电磁制动原理是通过线圈与磁场的作用使物体做减速运动。如图所示,某列车车底安装的电磁体产生磁场可视为匀强磁场,磁感应强度大小为B,方向竖直向下。同种材料制成的粗细均匀的闭合正方形线框abcd,边长为L1,MN长为L2(L2>L1),若当列车MN部分刚越过ab时,速度大小为v,则ab两端的电势差Uab等于(　　)
A.BL1v B.BL2v
C.-BL1v D.-BL2v
3.(2025·山东烟台一中月考)
如图所示,边长为1 m、电阻为0.04 Ω的刚性正方形线框abcd放在匀强磁场中,线框平面与磁场垂直。若线框固定不动,磁感应强度以=0.1 T/s均匀增大时,线框的发热功率为P;若磁感应强度恒为0.2 T,线框以某一角速度绕其中心轴OO'匀速转动时,线框的发热功率为2P,则ab边所受最大的安培力为(　　)
A. N B. N
C.1 N D. N
4.(2025·江苏连云港一模)如图所示,足够长水平导轨处于竖直向下的匀强磁场中,导体棒垂直于导轨静置。开关S闭合后,导体棒沿导轨无摩擦运动,不计导轨电阻。关于该棒的速度v、加速度a、通过的电流i及穿过回路中的磁通量Φ随时间t变化的图像,可能正确的是(　　)
5.(多选)(2025·山东泰安模拟)如图所示,水平面上固定两条光滑金属平行轨道,轨道间距为0.4 m,轨道处于竖直向下的匀强磁场中,磁感应强度大小为25 T,其左端通过导线与电容为2×10-3 F的平行板电容器的极板A、B分别相连。将一质量为0.1 kg 且电阻不计的金属棒MN置于金属轨道上,并通过水平轻绳绕过光滑定滑轮与质量为0.2 kg的小物块相连。现将金属棒MN和小物块同时由静止释放,经2 s金属棒到达PP'处。整个过程中MN始终垂直于轨道且与轨道接触良好,电容器未被击穿,重力加速度大小取10 m/s2,导线、轨道电阻均不计。则金属棒MN从释放到运动至PP'的过程中,下列说法正确的是(　　)
A.金属棒MN的位移大小为8 m
B.金属棒MN的位移大小为 m
C.电容器储存的最大电能为6.4 J
D.电容器储存的最大电能为12.8 J
6.(多选)(2025·山东济南高三期末)如图甲所示,用材料和粗细均相同的金属导线制成的单匝矩形线框固定在水平绝缘桌面上,线框两长边中点MN所在直线一侧区域存在匀强磁场,t=0时磁场方向垂直于桌面向上,磁感应强度B随时间t变化的关系图像如图乙所示。已知线框长为2L,宽为L,单位长度电阻为r,则在0~2t0时间内,下列说法正确的是(　　)
A.俯视桌面,线框中感应电流的方向先为逆时针方向,后为顺时针方向
B.线框中感应电流的大小为
C.线框受到的安培力大小恒为
D.通过线框某横截面的电荷量为
提能增分练
7.(多选)(2025·湖南名校联合体摸底考)如图所示,足够长的光滑平行金属导轨间距为L,固定在竖直平面内,两根导轨上端用导线连接一个电容器,电容器的电容为C,导轨处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中,磁场方向与导轨平面垂直。现将质量为m、长度也为L的金属棒ab紧贴导轨由静止释放,金属棒沿着导轨下滑过程中始终保持水平且与导轨接触良好,已知重力加速度为g,金属导轨和金属棒电阻均不计,则当金属棒运动稳定后,有(　　)
A.金属棒做匀加速直线运动,加速度大小为
B.金属棒受到的安培力大小为
C.通过金属棒的电流大小为
D.电容器电荷量保持不变
8.(多选)(2025·江西南昌一模)在光滑绝缘的水平面上有两相互平行的边界MN、PQ,边界内有竖直向下的匀强磁场。紧靠MN有一材料相同、粗细均匀的正方形线框abcd,如图所示(俯视图)。已知线框边长为L,磁场宽度为2L。从t=0时刻起线框在水平向右外力作用下从图示位置由静止水平向右匀加速直线运动。则从线框ab边进磁场到cd边出磁场的过程中,以下关于线框中的磁通量Φ、ab边电压U、外力F和电功率P随位移x变化的规律图像正确的是(　　)
9.(多选)(2025·河南卷,9)手机拍照时手的抖动产生的微小加速度会影响拍照质量,光学防抖技术可以消除这种影响。如图,镜头仅通过左、下两侧的弹簧与手机框架相连,两个相同线圈c、d分别固定在镜头右、上两侧,c、d中的一部分处在相同的匀强磁场中,磁场方向垂直纸面向里。拍照时,手机可实时检测手机框架的微小加速度a的大小和方向,依次自动调节c、d中通入的电流Ic和Id的大小和方向(无抖动时Ic和Id均为零),使镜头处于零加速度状态。下列说法正确的是(　　)
A.若Ic沿顺时针方向,Id=0,则表明a的方向向右
B.若Id沿顺时针方向,Ic=0,则表明a的方向向下
C.若a的方向沿左偏上30°,则Ic沿顺时针方向,Id沿逆时针方向且Ic>Id
D.若a的方向沿右偏上30°,则Ic沿顺时针方向,Id沿顺时针方向且Ic>Id
10.如图所示,间距为L=1.0 m的两条平行光滑竖直金属导轨PQ、MN足够长,底部Q、N之间连有一阻值为R1=3 Ω的电阻,磁感应强度为B1=0.5 T的匀强磁场与导轨平面垂直,导轨的上端点P、M分别与横截面积为5×10-3m2的100匝线圈的两端连接,线圈的轴线与大小随时间均匀变化的匀强磁场B2平行,开关S闭合后,质量为m=1×10-2 kg、电阻值为R2=2 Ω的金属棒ab恰能保持静止。若断开开关后金属棒下落2 m时恰好达到最大速度,金属棒始终与导轨接触良好,其余部分电阻不计,g取10 m/s2。求:
(1)金属棒ab恰能保持静止时,匀强磁场B2的磁感应强度的变化率;
(2)金属棒ab下落时能达到的最大速度v的大小;
(3)金属棒ab从开始下落到恰好运动至最大速度的过程中,金属棒产生的焦耳热Q。
培优高分练
11.(2025·八省联考内蒙古卷,14)如图(a),两组平行金属导轨在同一水平面固定,间距分别为d和1.5d,分别连接电阻R1、R2,边长为d的正方形区域存在竖直向下的匀强磁场,磁感应强度B随时间t变化关系如图(b)所示。t=0时,在距磁场左边界d处,一长为1.5d的均匀导体棒在外力作用下,以恒定速度v0向右运动,直至通过磁场,棒至磁场左边界时与两组导轨同时接触。导体棒阻值为3R,R1、R2的阻值分别为2R、R,其他电阻不计,棒与导轨垂直且接触良好。求:
(1)0~时间内,R1中的电流方向及其消耗的电功率P;
(2)~时间内,棒受到的安培力F的大小和方向。第13讲　电磁感应
热点一　楞次定律与法拉第电磁感应定律的应用
1.感应电流方向的判断方法
2.感应电动势大小的求法
情境图 研究对象 表达式
回路(不一定闭合) 三种形式 E=n E=nS E=nB
一段直导线(或等效直导线) E=Blv
绕一端转动的一段导体棒 E=Bl2ω
绕与B垂直的轴转动的导线框 从图示时刻计时 e=NωBScos ωt
3.通过回路截面的电荷量q=Δt=Δt=。q仅与n、ΔΦ和回路总电阻R总有关,与时间长短无关,与Φ是否均匀变化无关。
例1 (2025·广东广州模拟)图甲为某款“自发电”无线门铃按钮,其“发电”原理如图乙所示,按下门铃按钮过程磁体靠近螺线管,松开门铃按钮磁体远离螺线管回归原位置。下列说法正确的是(　　)
A.按下按钮过程,螺线管P端电势较高
B.松开按钮后,穿过螺线管的磁通量为零
C.按住按钮不动,螺线管中产生恒定的感应电动势
D.若按下和松开按钮的时间相同,螺线管产生大小相同的感应电动势
答案　D
解析　按下按钮过程,通过螺线管的磁通量向左增大,根据楞次定律的增反减同,结合安培定则,可知电流从Q端流出,则螺线管Q端电势较高,故A错误;松开按钮后,穿过螺线管的磁通量变小,但不为零,故B错误;按住按钮不动,穿过螺线管的磁通量不变,螺线管不会产生感应电动势,故C错误;按下和松开按钮过程,若按下和松开按钮的时间相同,螺线管中磁通量的变化率相同,螺线管产生的感应电动势大小相同,故D正确。
例2 (多选)(2025·黑、吉、辽、内蒙古卷,9)如图,“”形导线框置于磁感应强度大小为B、水平向右的匀强磁场中。线框相邻两边均为互相垂直,各边长均为l。线框绕b、e所在直线以角速度ω顺时针匀速转动。be与磁场方向垂直。t=0时,abef与水平面平行,则(　　)
A.t=0时,电流方向为abcdefa
B.t=0时,感应电动势为Bl2ω
C.t=时,感应电动势为0
D.t=0到t=过程中,感应电动势平均值为0
答案　AB
解析　t=0时,线框中能切割磁感线的边只有af边,由右手定则可知af边的电流方向为f到a,则线框中的电流方向为abcdefa,A正确;t=0时,af边的速度方向与磁场方向垂直,速度大小为v=ωl,感应电动势的大小为E=Blv,解得E=Bl2ω,B正确;线框的转动周期为T=,则t=时,线框转动了180°,此时线框中能切割磁感线的边仍只有af边,且af边的速度方向与磁场方向垂直,所以线框中产生的感应电动势的大小仍为Bl2ω,C错误;从t=0到t=过程中,穿过线框abef的磁通量变化量为零,穿过线框bcde的磁通量的变化量ΔΦ=2BS=2Bl2,由法拉第电磁感应定律知感应电动势平均值为==,D错误。
热点二　电磁感应中的电路和图像问题
例3 (2025·广东广州月考)一圆形金属线圈,面积为S1=0.06 m2,匝数n=100,阻值r=2 Ω,该线圈与阻值均为3 Ω的电阻R1、R2和电容为C=100 μF的电容器组成闭合回路,如图甲所示。在线圈中存在垂直于线圈平面的匀强磁场,其面积为S2=0.04 m2,设磁场垂直平面向里为正方向,磁感应强度B随时间t变化的关系如图乙所示,导线电阻不计。t=0时刻闭合开关S。
(1)求通过R1的电流大小和a、b两点间的电势差Uab;
(2)t=2 s时断开开关S,求断开开关S后通过R1的电荷量q。
答案　(1)0.3 A　-1.8 V　(2)9×10-5 C
解析　(1)设线圈产生的感应电动势为E,根据法拉第电磁感应定律有E=nS2
代入数据解得E=2.4 V
根据楞次定律,可知通过线圈的电流方向为从a到b。则a、b两端的电势差Uab<0,根据闭合电路欧姆定律有I=
由串联分压得Uba=I(R1+R2)
解得I=0.3 A,Uab=-Uba=-1.8 V。
(2)电容器C与电阻R1并联,S闭合时,电阻R1两端的电压为
U1=IR1=0.9 V
则电容器C所带的电荷量Q=CU1=9×10-5 C
断开开关S后通过R1的电荷量
q=Q=9×10-5 C。
电磁感应中电路问题的解题流程
例4 (2025·四川绵阳模拟)如图所示,匀强磁场垂直于倾斜的光滑平行金属导轨所在平面,导轨下端连接一个定值电阻,导轨电阻不计,一根金属棒以初速度v0紧贴着导轨向上运动,从出发到运动至最高过程中,用a、v、I、F分别表示金属棒的加速度、速度、电流和所受安培力的大小,t为运动时间,下列图像可能正确的是(　　)
答案　B
解析　设导轨的宽度为L,回路总电阻为R,金属棒冲上斜轨道,受到的安培力平行导轨平面向下,且F=BIL,I=,联立可得F=,对金属棒根据牛顿第二定律有mgsin θ+=ma,由于a与v反向,可知金属棒在运动到最高点的过程中,在轨道上做加速度逐渐减小的减速运动,由于v随时间不是线性变化,所以,F随时间不是均匀减小的,故A、D错误,B正确;由于金属棒做加速度逐渐减小的减速运动,根据I==,可知金属棒中的感应电流随时间是减小的,故C错误。
解答电磁感应中图像问题的关键点和方法
(1)把握三个关键点
(2)掌握两个常用方法
①排除法:定性分析电磁感应过程中某个物理量的变化趋势或快慢,特别是分析物理量的方向(正、负),排除错误的选项。这种方法能快速解决问题,但不一定对所有问题都适用。
②函数关系法:根据题目所给的条件写出物理量之间的函数关系,再对图像作出判断,这种方法得到的结果准确、详细,但不够简捷。
热点三　电磁感应中的动力学和能量问题
1.电磁感应综合问题的解题思路
2.求解焦耳热Q的三种方法
(1)焦耳定律:Q=I2Rt,适用于电流恒定的情况。
(2)功能关系:Q=W克安(W克安为克服安培力做的功)。
(3)能量转化:Q=ΔE(其他能的减少量)。
例5 (多选)(2025·江西师大附中模拟)如图,匀强磁场Ⅰ、Ⅱ的边界P、Q、M水平,两磁场的方向相反,磁感应强度大小均为B,磁场Ⅰ的宽度为L,磁场Ⅱ的宽度大于L。边长为L、质量为m、电阻为R的正方形金属线框abcd自距磁场边界P上方L处自由下落,当ab边刚进磁场Ⅱ时线框的加速度为零;当ab边刚出磁场Ⅱ时,线框的加速度也为零。重力加速度大小为g,线框运动过程中,磁场始终与线框平面垂直,ab边始终水平,下列说法正确的是(　　)
A.当线框ab边刚进磁场Ⅱ时,线框的速度大小为
B.线框ab边通过磁场Ⅰ的过程中,通过线框截面的电荷量为
C.磁场Ⅱ的宽度为L+
D.线框通过磁场过程中,线框中产生的焦耳热为4mgL+
答案　BC
解析　设线框ab边刚进磁场Ⅱ时速度为v1,根据题意可得2BL=mg,解得v1=,故A错误;线框ab边通过磁场Ⅰ的过程中,通过线框截面的电荷量q==,故B正确;设线框ab边刚出磁场Ⅱ时,线框的速度大小为v2,则=mg,解得v2=,设磁场Ⅱ的宽度为d,则d=L+=L+,故C正确;线框通过磁场过程中,根据能量守恒定律知mg(3L+d)=Q+m,解得Q=4mgL-,故D错误。
例6 (2025·河南郑州模拟)如图所示,两根等高光滑的半圆形圆弧轨道,半径为r,间距为L,轨道竖直固定且电阻不计。在轨道左端连一阻值为R1的电阻,整个装置处在竖直向上的匀强磁场中,磁感应强度大小为B,现有一根长度稍大于L、质量为m、接入电路电阻为R2的金属棒,从轨道的左端ab处开始(记为t=0时刻)在变力F的作用下以初速度v0沿圆弧轨道做匀速圆周运动至cd处,直径ad、bc水平,整个过程中金属棒与导轨接触良好,求此过程中:
(1)流过金属棒的电流随运动时间变化的关系式;
(2)通过电阻R1的电荷量q;
(3)作用力F做的功WF。
答案　(1)i=sin　(2)
(3)
解析　(1)设t时刻金属棒与圆心的连线和水平方向的夹角为θ,则θ=
产生的感应电动势e=BLv0sin θ
根据闭合电路欧姆定律可得i=
联立以上各式解得i=sin 。
(2)设整个过程中所用时间为t',则通过金属棒的电荷量q=t'
由法拉第电磁感应定律有==
由闭合电路欧姆定律有=(R1+R2)
解得q=。
(3)金属棒在整个运动过程中,根据功能关系可知
WF-Q=mv2-m
该过程中整个电路产生的焦耳热
Q=(R1+R2)t',Im=
由于金属棒做匀速圆周运动,有
v=v0,πr=v0t'
联立以上各式解得WF=。
电磁感应中含电容器的电路问题
1.含“容”无外力,v0≠0
情境 质量为m、电阻为R的金属杆ab在水平光滑导轨上以速度v0开始运动,忽略导轨电阻
等效 电路 杆速度为v时,电流I=(UC为电容器两端电压,初始UC安培 力 F安=BIL=-
运动 过程 加速度a==-,杆做加速度逐渐减小的减速运动。当BLvmin=UCm时,I=0,此后杆做匀速直线运动
能量 角度 杆减少的动能转化为电容器的电场能和杆上的电阻产生的焦耳热
动量 角度 最终电容器两端的电压UCm=BLvmin,最终电容器的电荷量q=CUCm=CBLvmin,由动量定理可得-BL·Δt=mvmin-mv0,由于q=·Δt,联立解得vmin=
2.含“容”有恒定外力,v0=0
情境 质量为m、电阻为R的金属杆ab在水平光滑导轨上由静止开始运动,所受外力F恒定,忽略导轨电阻
运动 过程 电容器持续充电,F-ILB=ma,I=,ΔQ=CΔU=CBLΔv,a=,联立解得a=,a恒定,金属杆做匀加速直线运动
典例1 (多选)如图所示,两电阻为零的光滑导轨水平放置在垂直纸面向里的匀强磁场中,磁感应强度大小为B,导轨间距最窄处为一狭缝(狭缝宽度不计),取狭缝所在处O点为坐标原点,狭缝右侧两导轨与x轴夹角均为θ,导轨左端通过单刀双掷开关S可以与电容器C(初始不带电)或电阻R相连,导轨上有一足够长且不计电阻的金属棒与x轴垂直,在外力F(大小未知)的作用下从O点开始以速度v向右匀速运动,若某时刻开关S接1,外力用F1表示,通过金属棒电流的大小用I1表示;若某时刻开关S接2,外力用F2表示,通过金属棒电流的大小用I2表示。关于外力、电流大小随时间变化的图像关系正确的是(　　)
答案　AD
解析　由题知金属棒匀速切割磁感线,根据几何关系可知切割长度为L=2xtan θ,x=vt,则产生的感应电动势为E=2Bv2ttan θ,当开关S接1时,通过金属棒的电流为I1==t,由平衡条件可得F1=I1LB=t2,则I1-t图像为一条倾斜的直线,F1-t图像为一条抛物线,又由于具有初速度,则开始计时时I1、F1均不为零,图像不过原点,A正确,B错误;当开关S接2时,通过金属棒的电流为I2===2BCv2tan θ,则可得F2=I2LB=4B2Cv3ttan2θ,则I2-t图像为一条平行于t轴的直线,F2-t图像为一条倾斜的直线,又由于具有初速度,则开始计时时I2、F2均不为零,图像不过原点,D正确,C错误。
典例2 (多选)(2025·山东青岛模拟)如图所示,两根相距为L的平行光滑金属导轨倾斜放置,处于垂直导轨平面向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中,两导轨顶端与电容器相连,质量为m、长度为L的金属杆垂直导轨放置,金属杆与导轨接触良好。开始时电容器不带电,金属杆被锁定在距倾斜导轨底端d处。已知两导轨倾角均为θ,电容器电容为C,重力加速度为g,不计一切电阻。现解除锁定,下列说法正确的是(　　)
A.金属杆下滑过程中做加速度减小的变加速直线运动
B.若增大电容器电容,金属杆下滑时间变短
C.金属杆下滑到导轨底端时电容器极板间电压U=BL
D.金属杆下滑到导轨底端时电容器储存的电能E=
答案　CD
解析　t时刻电容器两端的电压为U=E=BLv,金属杆沿导轨下滑时,根据牛顿第二定律有mgsin θ-F=ma,又金属杆所受的安培力为F=ILB,电路中电流为I====CBLa,联立以上三式得a=,式中各量均不变,说明加速度不变,可知金属杆做匀加速直线运动,故A错误;若增大电容器电容,加速度减小,则根据d=at2,可知金属杆下滑时间变长,故B错误;金属杆下滑到导轨底端时的速度满足v2=2ad,电容器极板间电压U=BLv=BL,故C正确;金属杆下滑到导轨底端时电容器储存的电能E=mgdsin θ-mv2=,故D正确。
1.(2025·河南卷,5)如图,一金属薄片在力F作用下自左向右从两磁极之间通过。当金属薄片中心运动到N极的正下方时,沿N极到S极的方向看,下列图中能够正确描述金属薄片内涡电流绕行方向的是(　　)
答案　C
解析　根据题图可知,沿N极到S极的方向看,当金属薄片中心向右运动到N极的正下方时,通过薄片右半边的磁通量在减小,通过薄片左半边的磁通量在增多,由楞次定律可知,右侧涡流产生的磁场方向与原磁场方向相同,左侧涡流产生的磁场方向与原磁场方向相反,所以由安培定则可知,右侧涡电流沿顺时针方向,左侧涡流沿逆时针方向,C正确。
2.(2025·甘肃卷,6)闭合金属框放置在磁场中,金属框平面始终与磁感线垂直。如图,磁感应强度B随时间t按正弦规律变化。Φ为穿过金属框的磁通量,E为金属框中的感应电动势,下列说法正确的是(　　)
A.t在0~内,Φ和E均随时间增大
B.当t=与时,E大小相等,方向相同
C.当t=时,Φ最大,E为零
D.当t=时,Φ和E均为零
答案　C
解析　在0~时间内,磁感应强度B增大,根据Φ=BS知磁通量Φ增加,但是B-t图像的斜率减小,根据法拉第电磁感应定律E=S可知,感应电动势E逐渐减小,故A错误;当t=和t=时,因B-t图像的斜率大小相等,符号相反,可知感应电动势E大小相等,方向相反,故B错误;t=时,B最大,则磁通量Φ最大,但是B的变化率为零,则感应电动势E为零,故C正确;t=时,B为零,则磁通量Φ为零,但是B的变化率最大,则感应电动势E最大,故D错误。
3.(2025·湖北卷,5)如图(a)所示,相距L的两足够长平行金属导轨放在同一水平面内,两长度均为L、电阻均为R的金属棒ab、cd垂直跨放在两导轨上,金属棒与导轨接触良好,导轨电阻忽略不计。导轨间存在与导轨平面垂直的磁场,其磁感应强度大小B随时间t变化的图像如图(b)所示,t=T时刻,B=0。t=0时刻,两棒相距x0,ab棒速度为零,cd棒速度方向水平向右,并与棒垂直,则0~T时间内流过回路的电荷量为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　由==和q=Δt得0~T时间内流过回路的电荷量为q===,B正确。
4.(多选)(2025·广东卷,9)如图是一种精确测量质量的装置原理示意图,竖直平面内,质量恒为M的称重框架由托盘和矩形线圈组成。线圈的一边始终处于垂直线圈平面的匀强磁场中,磁感应强度不变。测量分两个步骤,步骤①:托盘内放置待测物块,其质量用m表示,线圈中通大小为I的电流,使称重框架受力平衡;步骤②:线圈处于断开状态,取下物块,保持线圈不动,磁场以速率v匀速向下运动,测得线圈中感应电动势为E。利用上述测量结果可得出m的值,重力加速度为g。下列说法正确的有(　　)
A.线圈电阻为
B.I越大,表明m越大
C.v越大,则E越小
D.m=-M
答案　BD
解析　设线圈下边长为l,磁场的磁感应强度大小为B
5.(2025·四川卷,14)如图所示,长度均为s的两根光滑金属直导轨MN和PQ固定在水平绝缘桌面上,两者平行且相距l,M、P连线垂直于导轨,定滑轮位于N、Q连线中点正上方h处。MN和PQ单位长度的电阻均为r,M、P间连接一阻值为2sr的电阻。空间有垂直于桌面向下的匀强磁场,磁感应强度大小为B。过定滑轮的不可伸长绝缘轻绳拉动质量为m、电阻不计的金属杆沿导轨向右做匀速直线运动,速度大小为v。零时刻,金属杆位于M、P连线处。金属杆在导轨上时与导轨始终垂直且接触良好,重力加速度大小为g。求:
(1)金属杆在导轨上运动时,回路的感应电动势;
(2)金属杆在导轨上与M、P连线相距d时,回路的热功率;
(3)金属杆在导轨上保持速度大小v做匀速直线运动的最大路程。
答案　(1)Blv　(2)　(3)
解析　(1)金属杆在导轨上运动时,切割磁感线,产生的感应电动势E=Blv。
(2)金属杆运动距离d时,电路中的总电阻为
R=2dr+2sr
回路的热功率P==。
(3)设金属杆保持速度大小v做匀速直线运动的最大路程为x时,金属杆刚好将要脱离导轨,此时绳子拉力为T,与水平方向的夹角为θ,对金属杆,根据平衡条件可得
F安=Tcos θ,mg=Tsin θ
安培力大小F安=IlB
闭合回路的感应电流I=
回路中的总电阻R'=2sr+2xr
则I=
联立得tan θ==
根据几何关系有tan θ=
联立解得x=。
基础保分练
1.(2025·陕、晋、青、宁卷,6)电磁压缩法是当前产生超强磁场的主要方法之一。其原理如图所示,在钢制线圈内同轴放置可压缩的铜环,其内已“注入”一个初级磁场,当钢制线圈与电容器组接通时,在极短时间内钢制线圈中的电流从零增加到几兆安培,铜环迅速向内压缩,使初级磁场的磁感线被“浓缩”,在直径为几毫米的铜环区域内磁感应强度可达几百特斯拉。此过程,铜环中的感应电流(　　)
A.与钢制线圈中的电流大小几乎相等且方向相同
B.与钢制线圈中的电流大小几乎相等且方向相反
C.远小于钢制线圈中的电流大小且方向相同
D.远小于钢制线圈中的电流大小且方向相反
答案　D
解析　当钢制线圈中电流从零增加时,电流产生的磁场增强,穿过铜环中的磁通量增加,由楞次定律可知,铜环中感应电流产生的磁场与钢制线圈中电流产生的磁场方向相反,即铜环中感应电流的方向与钢制线圈中电流方向相反,压缩前后,穿过铜环的磁通量几乎不变,根据法拉第电磁感应定律E=n知,铜环中产生的感应电动势很小,所以铜环中的感应电流远小于钢制线圈中的电流大小,故D正确。
2.电磁制动原理是通过线圈与磁场的作用使物体做减速运动。如图所示,某列车车底安装的电磁体产生磁场可视为匀强磁场,磁感应强度大小为B,方向竖直向下。同种材料制成的粗细均匀的闭合正方形线框abcd,边长为L1,MN长为L2(L2>L1),若当列车MN部分刚越过ab时,速度大小为v,则ab两端的电势差Uab等于(　　)
A.BL1v B.BL2v
C.-BL1v D.-BL2v
答案　C
解析　若当列车MN部分刚越过ab时,由楞次定律知,正方形线框abcd产生的感应电流方向为abcda。ab相当于电源,电源内部电流从负极指向正极,a点电势低于b点电势。线框中产生的感应电动势E=BL1v,ab两端的电势差Uab=-E=-BL1v,故C正确。
3.(2025·山东烟台一中月考)
如图所示,边长为1 m、电阻为0.04 Ω的刚性正方形线框abcd放在匀强磁场中,线框平面与磁场垂直。若线框固定不动,磁感应强度以=0.1 T/s均匀增大时,线框的发热功率为P;若磁感应强度恒为0.2 T,线框以某一角速度绕其中心轴OO'匀速转动时,线框的发热功率为2P,则ab边所受最大的安培力为(　　)
A. N B. N
C.1 N D. N
答案　C
解析　
4.(2025·江苏连云港一模)如图所示,足够长水平导轨处于竖直向下的匀强磁场中,导体棒垂直于导轨静置。开关S闭合后,导体棒沿导轨无摩擦运动,不计导轨电阻。关于该棒的速度v、加速度a、通过的电流i及穿过回路中的磁通量Φ随时间t变化的图像,可能正确的是(　　)
答案　B
解析　开关S闭合后,导体棒在安培力的作用下向右运动,当导体棒的速度为v时,电路的电动势为E合=E-BLv,回路的感应电流为i=,根据牛顿第二定律,有F=BiL=ma,导体棒的加速度大小为a=,由此可知随着速度的增大,导体棒的加速度逐渐减小,v-t图线的斜率越来越小,感应电流也越来越小,且非线性变化,i-t图线斜率变化,当导体棒的加速度为零时,速度达到最大,此后做匀速直线运动,此后回路电流为零,B正确,A、C错误;由法拉第电磁感应定律有E==BLv,开关S闭合后,导体棒做加速度越来越小的加速运动,将越来越大,即Φ-t图线的斜率将越来越大,D错误。
5.(多选)(2025·山东泰安模拟)如图所示,水平面上固定两条光滑金属平行轨道,轨道间距为0.4 m,轨道处于竖直向下的匀强磁场中,磁感应强度大小为25 T,其左端通过导线与电容为2×10-3 F的平行板电容器的极板A、B分别相连。将一质量为0.1 kg 且电阻不计的金属棒MN置于金属轨道上,并通过水平轻绳绕过光滑定滑轮与质量为0.2 kg的小物块相连。现将金属棒MN和小物块同时由静止释放,经2 s金属棒到达PP'处。整个过程中MN始终垂直于轨道且与轨道接触良好,电容器未被击穿,重力加速度大小取10 m/s2,导线、轨道电阻均不计。则金属棒MN从释放到运动至PP'的过程中,下列说法正确的是(　　)
A.金属棒MN的位移大小为8 m
B.金属棒MN的位移大小为 m
C.电容器储存的最大电能为6.4 J
D.电容器储存的最大电能为12.8 J
答案　AC
解析　设金属棒的质量为m,小物块的质量为M,轨道间距为L,以小物块和金属棒为整体,根据牛顿第二定律可得Mg-ILB=(M+m)a,I====CBLa,联立解得a=4 m/s2,所以金属棒的位移为x=at2=×4×22 m=8 m,故A正确,B错误;根据功能关系可知Mgx=E+(M+m)v2,v=at,解得E=6.4 J,故C正确,D错误。
6.(多选)(2025·山东济南高三期末)如图甲所示,用材料和粗细均相同的金属导线制成的单匝矩形线框固定在水平绝缘桌面上,线框两长边中点MN所在直线一侧区域存在匀强磁场,t=0时磁场方向垂直于桌面向上,磁感应强度B随时间t变化的关系图像如图乙所示。已知线框长为2L,宽为L,单位长度电阻为r,则在0~2t0时间内,下列说法正确的是(　　)
A.俯视桌面,线框中感应电流的方向先为逆时针方向,后为顺时针方向
B.线框中感应电流的大小为
C.线框受到的安培力大小恒为
D.通过线框某横截面的电荷量为
答案　BD
解析　由题图乙可知磁场先垂直桌面向上减小,后垂直于桌面向下增大,穿过线框的磁通量先向上减小,后向下增大,由楞次定律定律可知,俯视桌面,线框中产生感应电流的方向始终为逆时针方向,故A错误;线框中感应电动势E=·L2=,感应电流I===,故B正确;线框左右两边受到的安培力大小相等,方向相反,故整个线框受到的安培力大小等于线框下边所受的安培力,因为电流恒定不变,磁感应强度大小在变化,则安培力为变力,故C错误;通过线框某横截面的电荷量q=Δt=Δt=Δt===,故D正确。
提能增分练
7.(多选)(2025·湖南名校联合体摸底考)如图所示,足够长的光滑平行金属导轨间距为L,固定在竖直平面内,两根导轨上端用导线连接一个电容器,电容器的电容为C,导轨处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中,磁场方向与导轨平面垂直。现将质量为m、长度也为L的金属棒ab紧贴导轨由静止释放,金属棒沿着导轨下滑过程中始终保持水平且与导轨接触良好,已知重力加速度为g,金属导轨和金属棒电阻均不计,则当金属棒运动稳定后,有(　　)
A.金属棒做匀加速直线运动,加速度大小为
B.金属棒受到的安培力大小为
C.通过金属棒的电流大小为
D.电容器电荷量保持不变
答案　AC
解析　金属棒ab受到的安培力大小FA=BIL=BL,Q=CU=CBLv,所以==CBLa,联立解得FA=CB2L2a,以金属棒ab为研究对象,根据牛顿第二定律有mg-FA=ma,解得a=,可知加速度恒定不变,所以金属棒ab做匀加速直线运动,A正确;安培力大小FA=CB2L2a=,B错误;安培力的大小FA=BIL,联立解得I=,C正确;经过时间t电容器电荷量Q=CU=CBLv=CBLat=,Q随时间逐渐增大,D错误。
8.(多选)(2025·江西南昌一模)在光滑绝缘的水平面上有两相互平行的边界MN、PQ,边界内有竖直向下的匀强磁场。紧靠MN有一材料相同、粗细均匀的正方形线框abcd,如图所示(俯视图)。已知线框边长为L,磁场宽度为2L。从t=0时刻起线框在水平向右外力作用下从图示位置由静止水平向右匀加速直线运动。则从线框ab边进磁场到cd边出磁场的过程中,以下关于线框中的磁通量Φ、ab边电压U、外力F和电功率P随位移x变化的规律图像正确的是(　　)
答案　AD
解析　由磁通量Φ=BS可知,线框向前运动0~L内,Φ=BLx,Φ随x均匀增大;L~2L,Φ=BL2不变;2L~3L内,Φ=BL(3L-x),Φ随x均匀减小,故A正确;根据法拉第电磁感应定律结合欧姆定律,0~L内,U=E=BLv=BL·,完全进入磁场的瞬间U=E'=BL,完全进入磁场后在磁场中加速运动,此时U=E'=BL,线框的ab边出磁场的瞬间U=E'=BL·,线框完全出磁场后不切割磁感线,此时Uab=0,故B错误;0~L,线圈的ab边开始进入磁场,所受到的外力F=BL+ma=+ma,可知F与x不是线性关系,故C错误;0~L,电功率P===,L~2L,线框完全进入磁场,I=0,电功率为0,2L~3L,ab边离开磁场,电功率P'===,故D正确。
9.(多选)(2025·河南卷,9)手机拍照时手的抖动产生的微小加速度会影响拍照质量,光学防抖技术可以消除这种影响。如图,镜头仅通过左、下两侧的弹簧与手机框架相连,两个相同线圈c、d分别固定在镜头右、上两侧,c、d中的一部分处在相同的匀强磁场中,磁场方向垂直纸面向里。拍照时,手机可实时检测手机框架的微小加速度a的大小和方向,依次自动调节c、d中通入的电流Ic和Id的大小和方向(无抖动时Ic和Id均为零),使镜头处于零加速度状态。下列说法正确的是(　　)
A.若Ic沿顺时针方向,Id=0,则表明a的方向向右
B.若Id沿顺时针方向,Ic=0,则表明a的方向向下
C.若a的方向沿左偏上30°,则Ic沿顺时针方向,Id沿逆时针方向且Ic>Id
D.若a的方向沿右偏上30°,则Ic沿顺时针方向,Id沿顺时针方向且Ic>Id
答案　BC
解析　拍照时,镜头处于零加速度状态,由牛顿第二定律可知,两线圈所受安培力的合力对应的加速度与手机框架的微小加速度大小相等、方向相反。若Ic沿顺时针方向,Id=0,则由左手定则可知线圈c所受安培力方向水平向右,线圈d所受安培力为0,两线圈所受安培力的合力水平向右,则表明a的方向向左,A错误;若Id沿顺时针方向,Ic=0,则由左手定则可知线圈d所受安培力方向竖直向上,线圈c所受安培力为0,则表明a的方向向下,B正确;若a的方向沿左偏上30°,可分解为水平向左的分加速度ax=acos 30°=a,竖直向上的分加速度ay=asin 30°=a,则安培力的大小Fc=IclB=max,Fd=IdlB=may,可知线圈c受到水平向右的安培力大于线圈d受到竖直向下的安培力,则有Ic>Id,根据左手定则可知Ic沿顺时针方向,Id沿逆时针方向,C正确;同理,若a的方向沿右偏上30°,有Ic>Id,Ic沿逆时针方向,Id沿逆时针方向,D错误。
10.如图所示,间距为L=1.0 m的两条平行光滑竖直金属导轨PQ、MN足够长,底部Q、N之间连有一阻值为R1=3 Ω的电阻,磁感应强度为B1=0.5 T的匀强磁场与导轨平面垂直,导轨的上端点P、M分别与横截面积为5×10-3m2的100匝线圈的两端连接,线圈的轴线与大小随时间均匀变化的匀强磁场B2平行,开关S闭合后,质量为m=1×10-2 kg、电阻值为R2=2 Ω的金属棒ab恰能保持静止。若断开开关后金属棒下落2 m时恰好达到最大速度,金属棒始终与导轨接触良好,其余部分电阻不计,g取10 m/s2。求:
(1)金属棒ab恰能保持静止时,匀强磁场B2的磁感应强度的变化率;
(2)金属棒ab下落时能达到的最大速度v的大小;
(3)金属棒ab从开始下落到恰好运动至最大速度的过程中,金属棒产生的焦耳热Q。
答案　(1)0.8 T/s　(2)2 m/s　(3)0.072 J
解析　(1)金属棒保持静止,根据平衡条件得
mg=I1LB1,解得I1=0.2 A
则线圈产生的感应电动势为E1=I1R2=0.4 V
由法拉第电磁感应定律可知E1=n=nS
解得=0.8 T/s。
(2)断开开关S后,金属棒向下做加速度逐渐减小的加速运动,当加速度为0(即合力为0)时速度最大,此时恰能匀速下降,根据平衡条件得
mg=I2LB1
此时金属棒中产生的感应电动势为E2=B1Lv
根据闭合电路欧姆定律得I2=
联立解得金属棒的最大速度为v=2 m/s。
(3)金属棒从开始下落到达到最大速度的过程中,根据动能定理得mgh-W克安=mv2-0
金属棒产生的焦耳热Q=W克安=0.072 J。
培优高分练
11.(2025·八省联考内蒙古卷,14)如图(a),两组平行金属导轨在同一水平面固定,间距分别为d和1.5d,分别连接电阻R1、R2,边长为d的正方形区域存在竖直向下的匀强磁场,磁感应强度B随时间t变化关系如图(b)所示。t=0时,在距磁场左边界d处,一长为1.5d的均匀导体棒在外力作用下,以恒定速度v0向右运动,直至通过磁场,棒至磁场左边界时与两组导轨同时接触。导体棒阻值为3R,R1、R2的阻值分别为2R、R,其他电阻不计,棒与导轨垂直且接触良好。求:
(1)0~时间内,R1中的电流方向及其消耗的电功率P;
(2)~时间内,棒受到的安培力F的大小和方向。
答案　(1)N到M　
(2)　水平向左
解析　(1)由题图(b)可知,在0~时间内,磁感应强度均匀增大,根据楞次定律和安培定则可知R1中的电流方向为N到M;根据法拉第电磁感应定律有
E===
导体棒在MN之间的电阻为2R,所以感应电流为
I总==
R1消耗的电功率为
P=·2R=·2R=。
(2)在~时间内,根据左手定则可知棒受到的安培力方向水平向左
分析电路可知MN之间的部分导体棒相当于电源;MN之外的部分和R2串联然后再和R1并联,并联电路的总电阻为
R并==R
回路中的总电阻为R总=2R+R=3R
根据E'=B0dv0
F安=B0Id,I=
联立解得F安==。

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