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人民教育出版社A版 选修 第三册 第六章计数原理
= C an +C an—1b+...+C an—kbk +...+C bn (n∈N* )
1
n
n
n
k
n
1
n
0
(a+b)n
第0行
第1行
第2行
第3行
第4行
第5行
第6行
杨辉三角（1261年）
. . .
. . .
杨辉是中国南宋末年数学家、教育家。 “杨辉三角 ”出现在杨辉1261年所著 的《详解九章算法》一书中，且我国 北宋数学家贾宪（约公元11世纪） 已 经用过它，这表明我国发现这个表不 晚于11世纪.在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡首先发现的，他们 把这个表叫做帕斯卡三角。杨辉三角 的发现要比欧洲早500年左右.
杨辉
杨辉三角（1261年）
推理和论证
归纳和猜想
探究方法
观察和实验
请同学们仔细观察杨辉三角的结构，画一画，连一连，算一算,你有什么发现？
1 （1）从横行来看，每一行有什么数字规律？
（2）从相邻两行来看，有什么发现？
(3)从上至下斜行来看，有什么发现？
（4）计算每行的和，有什么发现？
'
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
. . .
第n-1行 1 C —1 C —1 ... C —— C —1 ... C —— 1
第n行 1 C1 C2 ...Cr-1 Cr Cr+1 ...Cn-1 1
n n n n n n
1
2
n
n
n
r
1
1
n
r
n
2
n
1
第0行 第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 第6行 1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
C: C C: C:
C: C: C: C: C:
. . .
C: C
. . .
1
每一横行 第0行
第1行第2行第3行第4行第5行第6行
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
对称性： C" =C"
1 5 10 10 5 1
C: C: C: C: C: C:
1 6 15 20 15 6 1
1
. . .
第n-1行 1 C —1 C —1 ... C —— C —1 ... C ——12 1
第n行 1 C C ... C —1 C C +1 ... C —1
递归性： C = C —1 +C —— 如何证明？
1
1
n
r
n
r
n
r
n
n
n
r
n
r
n
r
n
2
n
1
n
n
n
r
1
1
n
r
n
2
n
1
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
C; C; C;
\/
c: C C; c;
/
C: C; C: C C;
C: C: C: C: C: C: C:
相邻两行 第0行
第1行第2行第3行第4行第5行第6行
c' 1
. . .
1
1
1 + 1 =
1 +2 + 1 = 1 + 3 + 3 + 1 =
1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 1 + 5 + 10+ 10 + 5 + 1 =
1 6 15 20 15 6 1
··· ···
C0 + C2 + … = C1 + C3 + …
n n n n
12 + 2+ 12 12 + 32 +32 + 12 + 42 +62 +42 1 5 10 10 1 6 15 20 15
=
1 =
+1 =
5 1
6 1
第0行
第1行第2行第3行第4行第5行第6行
求和
1
2
4
8
16
32
求和
1 2 6 20 70
1
12 +12 =
C
C
C
C
8
4
6
3
4
2
2
1
每行的和
2
2
1．第一斜行的数字始终是1.
2．第二斜行是正整数列.
3．第三斜行是三角形数数列
每一斜行
第0行 1
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1
第7行 1 7 21 35 35 21 7 1
第8行 1 8 28 56 70 56 28 8 1
思考：斜线上各行数字之和有什么规律
斐波那契数列
各斜行的和
5
8
34
21
13
3
2
1
1
· · ·
自腰上的某个
腰的一条线上的连续
的和等于最后一个数斜右下方的那个数
+Cr +Cr +...+Cr = Cr+1
1
1 3
1 4
1 5 10
1
2 1
10 5 1
文字语言：
1
n
.
数学符号语言：
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7
第0行第1行
第2行第3行
第4行第5行
第6行第7行
思考：从每一斜列的和， 你能提出哪些猜想？
3 1
6 4 1
联想结构，如何证明？
r+1 r+2 n—1 n
开始平行于
个数
Cr
r
1
1
1
应用1：杨辉在《详解九章算法》 中有这样一个题目：三角垛，下广，一面十二个，上尖，问：计几何？
应用1：杨辉在《详解九章算法》中有这样一个
题目：三角垛，下广，一面十二个，上尖，问：计几何？
题目大意：“有一个三角垛，最底层每条边上有12个圆球，最上层只有1个（上尖），问：总共有多少个圆球？ ”
一层 1 1
二层 1+2 3
三层 1+2+3 6
. . .
十二层 1+2+···+12 78
1+3+6+···+78=
自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续n个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数.
1+3+6+···+78= 364
应用2:底层是每边堆n个圆球的三角形，向上逐层每边减少一个，
顶层是1个，求总数. 1 1
(即求n层三角垛的圆球总个数) 1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
. . .
1 C1 C2 Cr-1 Cr Cn 1
n+1 n+1 ... n+1 n+1 ... n+1
... C 1
2
1
n
n
C +2
n
1
C +2
n
2
C +2
n
3
C
2
1
n
r
Cr
n+2
1
...
垛积术
术曰：下广加一乘之，平积，下广加二乘之，立高方积，如六而一，本法。
答曰：三百六十四个。
大意：12×
物品，如酒坛、圆球、棋子等数量的计算；
三角垛
茭草垛 1+ 2 + 3+ . . . + n
四隅垛 12 + 22 +32 +...+ n2
“化垛为数，以数表形 ”体现了古人高超的直观想象与逻辑推理素养！
“垛积术 ”源于古人对堆积成各种不同形状“垛 ”的
知识
巩固了二项式系数的性质；
学习了杨辉三角的相关性质
体会研究数阵的方法；
体验数学规律发现的历程
利用杨辉三角的知识解决部分简单问题
增强文化自信；
发现数学之美
精神
应用
数学学习
以独立探究和小组合作相结合的方式开展探究活动.建议按如下步骤完成：
1.小组集体讨论探究方案，确定研究思路.
2.小组成员各自开展独立探究，并以专题作业的形式撰写研究报告.
3.小组内进行交流讨论，完善研究成果，并形成一份小组研究报告.
4.全班进行成果交流、评价.
1.课题组成员及分工
2.发现的数学结论及发现过程概述
3.证明思路及其形成过程描述
4.结论的证明或否定
5.杨辉三角的应用举例
6.收获与体会
杨辉三角的性质与应用
班级 姓名 完成时间 .
【课后拓展】
请从其它研究方向继续尝试研究、发掘杨辉三角的规律，体验杨辉三角的“结构美 ”，发现杨辉三角的“含蓄美 ”，展现杨辉三角的“形式美 ”，体会数学美及数学奥妙.
【开放性作业】
查阅相关资料，探究开方算法的具体操作及其中蕴含的算法思想及杨辉三角在网格路径问题的应用.

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