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2025—2026学年九年级数学中考二轮复习专题训练五：一次函数平行四边形存在性问题
1．如图1，直线交x轴、y轴分别于点A、B，直线与x轴交于点C，与直线交于点D，．
(1)求直线的解析表达式；
(2)点P为射线上的一点，若，在x轴上存在一点E，使最小，求点E坐标和最小值；
(3)如图2，将直线向上平移3个单位得到直线，在上存在一动点M，y轴上一点N，使得以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点N坐标．
2．在平面直角坐标系中，函数（m为常数）的图象与y轴交于点A，点B的坐标为（m，）．
(1)当时，点A的坐标为 ；
(2)当点A、B到直线距离相等时，求m的值；
(3)过点B作轴的垂线交函数（m为常数）的图象于点C，以为顶点构造四边形M．
①当四边形M为平行四边形时，求m的值；
②设，当点D在四边形M的内部时，直接写出m的取值范围．
3．如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线沿x轴翻折，得到直线，直线与y轴交于点C．
(1)求直线的解析式；
(2)在中存在点P，使得取得最小值，求出此时的最小值及P的坐标；
(3)在（2）问的条件下，直线上有一动点Q在直线的上方，y轴上有一个不与B重合的动点M，使得，若直线上有一动点N，存在以P、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出此时Q点坐标．
4．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点两点．
(1)求直线的解析式；
(2)点为y轴上一点，D为x轴上一点，直线上是否存在点E，使得以点D、E、C、B为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)P、Q是直线上的一条动线段，（P在Q的下方）且，点，连接，是否存在最大值，若存在，求出这个值，若不存在，请说明理由．
5．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点B，C．
(1)直接写出点B，C的坐标；
(2)如图2，过点的直线与y轴交于点F，与直线交于点D，．
①求直线的解析式；
②若E是直线上的动点，则在y轴上是否存在点G，使以点G，E，B，D为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数交于点，且与坐标轴交于、B两点．
(1)求m的值及一次函数解析式；
(2)求的面积；
(3)在第一象限内是否存在点P，使得四边形为平行四边形，若存在请直接写出点P坐标，若不存在请说明理由．
7．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线m、n分别与x轴交于点B、C．
(1)求a，b的值；
(2)求；
(3)若x轴上存在一点P，使得是等腰三角形，求点P的坐标；
(4)直线与y轴相交于点D，在平面直角坐标系中找一点Q，使得以点A，B，D，Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标．
8．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，点C在线段上，将线段绕着点C顺时针旋转得到，此时点D恰好落在直线上．
(1)求线段的长度；
(2)过点D作垂直于x轴于点E，已知点，求出的函数解析式；
(3)若点E是x轴上的一个动点，点F是线段上的点（不与点B、C重合），是否存在以C、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的E点坐标；若不存在，说明理由．
9．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，矩形的顶点，，将矩形的一个角沿直线折叠，使得点落在对角线上的点E处，折痕与x轴交于点D．
(1)线段的长度为_____；
(2)求直线所对应的函数表达式；
(3)求点E的坐标；
(4)若点Q在线段上，在线段上是否存在点P，使以点D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，在平面直角坐标系中，直线与分别与轴相交于点A，，两直线交于点．
(1)求，的值．
(2)点是轴上一动点，过点作轴的平行线，与直线交于点，与直线交于点．
当时，求点的坐标；
点是直线上一点，在点运动过程中，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
11．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，经过点B的直线交x轴正半轴于点C．
(1)求点A、B两点的坐标；
(2)若已知的面积为40．
①求点C的坐标及直线的解析式；
②点P是平面内一点，且以点A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点P的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，已知D是的中点，若E是直线上一点，且，求点E的坐标；
12．如图，在平面直角坐标系中，已知直线是一次函数（）的图象，直线是一次函数（）的图象，点是两直线的交点，点、、、分别是两条直线与坐标轴的交点．
(1)用、分别表示点、、的坐标，并求的度数．
(2)若四边形的面积是，且，试求点的坐标，并求出直线与的函数表达式．
(3)在（）的条件下，是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且，满足．
(1)______，______；
(2)为延长线上一点，且，连接，以为直角边在轴上方作等腰直角，连接交轴于点，在坐标平面内是否存在一点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将直线向下平移6个单位长度得到直线，直线与轴交于点，与轴交于点．
(1)求直线的函数解析式和点、的坐标；
(2)在直线上是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，，经过点的直线与轴、轴分别交于点．
(1)直接写出点坐标为___________，点的坐标为___________；
(2)求经过点，且与直线平行的直线的函数解析式；
(3)问直线上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(4)在平面直角坐标系内确定点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标．
参考答案
1．【详解】（1）解：∵直线交x轴于点A，
∴当时，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴将代入得，
解得，
∴直线的解析表达式为；
（2）解：联立直线和直线得，
，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
设直线与y轴的交点为F，
将代入得，
∴，
∵直线交y轴于点B，
∴当时，，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
作D点关于x轴的对称点，连接与x轴交于E点，连接，则，
∴，
∴，
当、E、P三点共线时，的值最小，最小值为的长度
∵，，
∴，
∴的最小值为，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
∴当时，
解得
∴；
（3）解：将直线向上平移3个单位得到直线，
∴直线的解析式为，
设，，
∵，，以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，
∴当为平行四边形的对角线时，
解得，
∴；
当为平行四边形的对角线时，
解得，
∴；
当为平行四边形的对角线时，
解得，
∴；
综上所述：N点坐标为或或．
2．【详解】（1）解：当时，，
∴点A的坐标为，
当时，，
∴点A的坐标为；
故答案为：；
（2）解：由（1）点A的坐标为，
∴A到直线的距离为，
B到直线的距离为，
，
解得或；
（3）解：①由题意知，轴，即，点C的横坐标为，
代入，得，
∴点的坐标为，
∵点B的坐标为，
∴点C在点B上方，，
∵O、A、B、C为顶点的四边形为平行四边形，
且有，
∴，
∵，
∴，
∴或；
②设直线的解析式为，代入，
得，
解得，
∴，
如图，过点作轴交于点，交于点，
当时，代入，
得，
代入直线，
得，
∴，，
∵，
当点D在四边形M的内部时，
有，
解得且．
3．【详解】（1）解：设点是直线上的一点，
∵将直线沿x轴翻折，得到直线，
∴点在直线上，
∴，
∴，
∴直线的解析式为；
（2）解：在中，当时，，
当时，，
∴，
在中，当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
如图所示，将绕点C顺时针旋转60度得到，连接，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵点C和点E都是定点，
∴当C、P、F、E四点共线时有最小值，
∴此时；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点P在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点P在直线上，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
同理可得，
∴的最小值为；
（3）解：由（2）可知，，，
设直线解析式为，
则，
∴，
∴直线解析式为；
设，
当为以P、C、M、N为顶点的平行四边形的对角线时，由平行四边形的两条对角线的中点坐标相同可得：
∴，
在中，当时，，
∴，
∴，
∴；
当为以P、C、M、N为顶点的平行四边形的对角线时，由平行四边形的两条对角线的中点坐标相同可得：
，
解得，
同理可得，
∴
∴；
当为以P、C、M、N为顶点的平行四边形的对角线时，由平行四边形的两条对角线的中点坐标相同可得：
，
解得，
在中，当时，，
∴，
∴，
∴；
如图所示，将绕点Q逆时针旋转120度交y轴于点R，
由（2）可得，
∴，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴；
联立，解得，
∵点Q在直线的上方，
∴点Q的横坐标要小于；
设，
当时，则，
解得（舍去）
当时，则，
解得，
∴，
∴；
当时，则，
解得，
∴，
∴；
综上所述，点Q的坐标为或．
4．【详解】（1）解：∵一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点两点，
∴，
∴，
∴直线的解析式为；
（2）解：设，
当为以点D、E、C、B为顶点的平行四边形的对角线时，由平行四边形两条对角线的中点坐标相同可得，
解得，
∴，
∴点E的坐标为；
当为以点D、E、C、B为顶点的平行四边形的对角线时，由平行四边形两条对角线的中点坐标相同可得，
解得，
∴，
∴点E的坐标为；
当为以点D、E、C、B为顶点的平行四边形的对角线时，由平行四边形两条对角线的中点坐标相同可得，
解得，
∴，
∴点E的坐标为；
综上所述，点E的坐标为或或；
（3）解：设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∴直线与直线平行，即，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴；
如图所示，作点C关于直线的对称点H，连接，与交于点S，连接，
∵，
∴，
∴，
由轴对称的性质可得，
∴，
∴，
∴；
设，则，
整理得，
∴，
∴，
∴，
∴点，
∵，
∴点S为的中点，
∴点H的坐标为，即；
∵，
∴当三点共线时，有最小值，最小值为的长，
∵，
∴，
∴的最小值为，
∵，
∴当有最小值时，有最大值，
∴的最大值为．
5．【详解】（1）解：当时，，当时，，
；
（2）①设直线的解析式为，
，
当时，解得，
，
，
，
解得或（舍），
∴直线的解析式为；
②在点，使以点为顶点的四边形为平行四边形，理由如下：
设，
由①可知，
当为平行四边形的对角线时，
，解得：
；
当为平行四边形的对角线时，
，解得，
；
当为平行四边形的对角线时，
，解得，
．
综上所述：G点坐标为或．
6．【详解】（1）解：∵一次函数与正比例函数交于点，
∴，即，
将点C、A代入中，
∴，解得：，
∴一次函数解析式为．
（2）解：∵，
∴当时，，即
∴，
∴的面积．
（3）解：存在点P，使得四边形为平行四边形，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，即．
7．【详解】（1）解：将点代入直线，
得，
解得，
直线，
将点代入直线，
得，
解得；
（2）解：∵，
∴直线，
当时，，
点坐标为，
当时，，
点坐标为，
，
的面积为；
（3）解：设点P的坐标为，
∵，，
∴，
，
，
∴，
当时，点P的坐标为或，
当时，，
∴，
解得：，
∴此时点P的坐标为；
当时，，
∴，
解得：或（舍去），
∴此时点P的坐标为；
综上分析可知：点P的坐标为，，，；
（4）解：把代入得：，
∴，
设点Q的坐标为，
，，
当，为对角线时，，
解得：，
∴此时点Q坐标为；
当，为对角线时，，
解得：，
∴此时点Q坐标为；
当，为对角线时，，
解得：，
∴此时点Q坐标为；
综上分析可知：点Q的坐标为：或或．
8．【详解】（1）解：当时，，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵垂直于x轴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为；
（3）存在以C、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
由（2）可知，
设，，，
①当为平行四边形的对角线时，，，
解得，，
∴；
②当为平行四边形的对角线时，，，
解得，，
∴；
③为平行四边形的对角线时，则F点在的延长线上，与题意矛盾，这种情况不成立；
综上所述：E点坐标或.
9．【详解】（1）解：由题意，得：点的坐标为，，，
，
故答案为：10；
（2）解：设，则，，，
∵，
∴
∴，即，
∴，
∴，
∴点D的坐标为．
设直线所对应的函数表达式为，
将，代入，
得：，
解得：，
∴直线所对应的函数表达式为；
（3）解：过点E作轴于点F，如图所示．
∵，
∴
∴，
∴，
在中，，
∴点E的坐标为．
（4）解：存在，
如图所示，由，设直线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为：，
令，则，
解得：，
∴存在，点P的坐标为：．
10．【详解】（1）解：将代入直线可得：，解得：；
将代入直线可得：，解得：．
（2）解：①由题意可得：，
如图：当P在Q上方时，
∵，
∴，解得：，
∴；
如图：当P在Q下方时，
∵，
∴，解得：，
∴；
综上，点P的坐标为或；
②设，
如图：
由平行线的对角线相互平分可得：
，解得：，
∴；
如图：
，解得：，
∴．
综上，点P的坐标为或．
11．【详解】（1）解：令，得，
令，得，
∴
（2）①设点，则
∴，
解得
∴；
设直线的解析式为，
将，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为；
②∵，
∴
当为边时，
如图，当四边形是平行四边形时，
∴且，
∵，
∴；
如图，当四边形是平行四边形时，
同理可得；
当为对角线时，
如图，此时四边形是平行四边形，
连接交于N，作交于M，
由平行四边形的性质可知，，
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，即，
∴；
综上所述，点P的坐标为或或；
（3）如图，过点D作交直线于点，过点D作轴交x轴于点F，分别过点E、作交于点G，交于点H，
∵，
∴
∵点D是直线的中点，轴，
∴
∴
∵，
∴，
∴
∴
∵，
∴
∴，E、均为所求，
在和中
∴（）
设
∴，，
∴横坐标为：，纵坐标为：，
∴，
把代入直线中得：，
∴，
∴，，
即点E的坐标为或．
12．【详解】（1）解：把代入，得，
∴，
∴，
把代入，得，
∴，
∴，
由，解得，
∴，
把代入，得，
∴，
∴，
∵，
∴，
即；
（2）解：把代入，得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，，
∵，
∴，
解得（负值舍去），
∴，
∴，直线的表达式为，的表达式为；
（3）解：存在．如图，过点作直线平行于轴，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点，过点分别作的平行线交于点，
①∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵,
∴，
∵，
∴，
即；
②∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
即；
③∵，
∴可设直线的解析式为，
∵，
∴，
把代入，得，
∴，
∴直线的解析式为，
同理可得，直线的解析式为，
由，解得，
∴；
综上，存在一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或．
13．【详解】（1）解：∵，且
∴，
解得，，
故答案为：，6；
（2）解：由（1）得：，，
∴，
∵，
∴，
过点E作轴于G，如图所示，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入解析式得，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
又∵以B、E、F、P为顶点的四边形是平行四边形，且，
设，
当为对角线时，的中点坐标为，即为的中点，
得：，
∴，
∴点的坐标为；
当为对角线时，的中点坐标为，即，即为的中点，得：
，
∴，
∴点的坐标为；
当为对角线时，的中点坐标为，即，即为的中点，得：
，
∴，
∴点的坐标为；
综上所述，点P的坐标为 ，或．
14．【详解】（1）解： 将直线向下平移6个单位长度得到直线，
直线的函数解析式为，
在中令，得，
．
在中令，得，
．
（2）解：根据题意可得，则与为一组对应边，即．
在中令，得，
．
在中令，得，
．
，，，
，
．
①当为平行四边形的对角线时，点在点的位置，如图，
此时点与点重合，
；
②当为平行四边形的边时，点在点的位置，如图，
此时，
点的纵坐标为3．
在中，令，得，
．
综上可知，在直线上存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或．
15．【详解】（1）解：∵矩形的边在轴上，，
设点C的坐标为，
∵点C在直线上，
∴，
∴，
即点C的坐标为，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴点D的坐标为；
（2）解：设经过点D且与平行的直线函数表达式为，
将代入，得，
∴经过点D且与平行的直线函数表达式为；
（3）解：存在．理由如下：
∵当时，，即，而，
∴，
∴，而，
∴为等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴只能是以P、D为直角顶点的等腰直角三角形，
如图，①当时，延长与直线交于点，
∵点D的坐标为，
∴点的横坐标为1，
把代入得，，
∴点；
②当时，作的垂直平分线与直线的交点即为点，
所以，点的横坐标为，
把代入得，，
所以，点，
综上所述，符合条件的点P的坐标为或；
（4）解： 由（3）可得：，
∵以点M、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，如图，
∴若是对角线，则，
∴，
此时，点的坐标为，
若是对角线，则，
，
此时，点的坐标为，
若是对角线，，，，
由平移可得点M的坐标为，
综上所述，点M的坐标为，，．

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