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2025—2026学年九年级数学中考二轮复习专题训练三：一次函数与面积相关问题综合训练
1．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x，y轴于点A，C，取y轴上一点，作直线．
(1)求直线的函数表达式：
(2)P为直线上一动点，连接．
①当 时，求点P的坐标；
②当时，求线段的长
2．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)求出一次函数的图象与轴，轴交点A和B的坐标；
(3)若点在该一次函数的图象上，当的面积为5时，求点P的坐标．
3．如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与交于点，与y轴交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)点为直线的动点，若，请求出点的坐标；
(3)直线上是否存在一个点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，与轴交于点，点是轴正半轴上一动点，过点作轴，分别交线段于点．过点作轴于点，延长至点使，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，和的面积分别表示为和，求当为何值时，的值最大，最大值是多少？
5．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点E、点，与的图象交于点M．
(1)求m的值及点M的坐标；
(2)若点Q为x轴上一点，且，求点Q的坐标．
6．如图，在平面直角坐标系中，直线 分别与x轴、y轴交于点， B，直线 分别与x轴、y轴交于点C，D，点C在点A的左边，且 ，直线与直线交于点．
(1)求直线与 的函数表达式．
(2)求的面积．
(3)根据图像写出关于x的不等式 的解集．
(4)在直线 上是否存在一点 P，使得 ？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，直线与x轴交于点A、与y轴交于点B，与经过原点的直线相交于点．
(1)求出的面积；
(2)在直线BC上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
8．已知关于x的一次函数，解决下列问题：
(1)如果这个函数的图象经过原点，求m的值．
(2)不论m取何值，的图象一定经过某个定点，求这个点的坐标．
(3)在坐标系中，点，如果此坐标系中，函数的图象与线段有交点，求m的取值范围，并求m最大值与最小值时对应的函数图象与直线三条线段围成的三角形的面积．
9．如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与交于点，与轴交于点，且．
(1)求直线的解析式；
(2)线段上是否存在点P，使得将的面积分为两部分．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)射线上是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，直线与直线交于点，直线与轴交于点，直线与轴交于点．
(1)求和的值；
(2)已知点在轴上，且的面积为4，求直线的解析式．
11．已知：如图，平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴，轴交于点A，B，点的坐标是．
(1)求直线的函数表达式．
(2)若直线上有一点，且，求点的坐标．
12．如图，已知直线，且直线l与x轴，y轴分别交于两点，动点Q从点B开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向终点A移动，同时动点P从点A开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向终点O移动，设点移动的时间为t秒，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．
(1)求点的坐标；
(2)当的面积是面积的时，求t的值．
13．在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线经过点B交x轴于点C，且．
(1)求的表达式；
(2)点D是直线上的一个动点，连接，当时，求点D的坐标；
(3)点E是线段上的一个动点，点F为x轴上一点，且，当最小时，求的值．
14．如图，已知直线分别与轴、轴交于点，．直线与轴交于点，与直线交于点，且．
(1)求直线的表达式；
(2)点是线段上一动点，过点作轴的平行线交轴于点，交直线于点，当时，求的面积及此时点的坐标；
(3)坐标轴上有一点，若，请直接写出所有符合条件的的坐标，若不存在，请说明理由．
15．如图，已知直线与交于点，且点的坐标为．
(1)求直线的解析式及的面积；
(2)点是轴上一点，且满足，求点的坐标；
(3)若是轴一动点，且满足，则点的坐标是___________；
(4)将直线沿对称后的直线解析式是___________．
参考答案
1．【详解】（1）解：令，得，解得，
∴，
设直线：，
代入点，得，
解得
∴；
（2）解：①令，得，
∴，
∴，，
又，
∴，
∴，，
∵，
∴在线段上，存在点P，使得，
分两种情况讨论：
如图，过点P作轴，交y轴于点M，设，则，，
第一种：当点P在线段上，对应点记为，，
由图可知，，即，
∴，
∴，
，
∴；
第二种：当点P在的延长线上，对应点记为，，
由图可知，，即，
∴，
∴，
，
∴；
综上，点P的坐标为或；
②如图，连接，交x轴于点N，
由（2）可知，，
又，
又，即，
∴，
∴，
分两种情况：
第一种：当点P在线段上，对应点记为，，
∵，
由图，得，
设直线的表达式为，
代入，得，
解得，
∴，
令，
解得，
，
∴，
∴，
第二种：当点P在延长线上，对应点记为，，
∵，
由图，得，
设直线的表达式为，
代入，得，
解得，
∴，
令，
解得，
，
∴，
∴，
综上，的长为或．
2．【详解】（1）解：一次函数的图象由函数的图象平移得到，
一次函数为，
一次函数经过点，
，
，
一次函数为；
（2）解：由题意得
在一次函数中，
当时，，
当时，，
，
图象与轴、轴的交点的坐标分别为，；
（3）解：设，
，
，
解得：或，
当时，，
当时，，
，或．
3．【详解】（1）解：∵在上，
∴
设，
将、代入表达式得
，解得，
直线的解析式为；
（2）解：设，
∵、
∴
∵
∴
∴或
当时，
当时，
∴点的坐标为或
（3）解：存在．
理由如下：
由（1）知直线的解析式为，
当时，，解得，
∴直线交轴于点，
作点关于轴的对称点，连接，以为直角边向下方作等腰，使，过点作轴于，如图所示：
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
在和中，
，
∴，
，
，
∴，
设直线的解析式为，
将、代入解析式得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
直线的解析式为，
联立得，
解得，
∴．
4．【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵轴于点，即，
∴四边形是矩形；
（2）解：如图，连接，
∵，轴，交直线于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵直线与轴交于点，
令，则，解得，
∴，
∴，
由（1）可知，四边形是矩形，
∴，，，
∴
，
∴当时，的值最大，最大值是8．
5．【详解】（1）解：点在直线上，
，
，
直线的函数表达式为，
联立，
解得，
点坐标为；
（2）解：令，
则，
解得，
，
，
，
，
点坐标为或．
6．【详解】（1）解：将点代入得，，
解得：，
∴直线函数表达式为；
由题可知，
，
将代入得，，
解得：，
∴直线函数表达式为；
（2）解：令，得，
∴，
令，得，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴当时，，
∴关于x的不等式 的解集是．
（4）解：当点在点上方时，如图，
此时，
，
解得：（负值已舍去），
此时，
；
当点在点下方时，如图，
此时，
，
解得：（正值舍去），
此时，
；
综上，满足题意的点坐标为或．
7．【详解】（1）解：当时，，
∴点B坐标为．
∴；
（2）解：∵点M在直线上，
∴设点M坐标为，
如图1，当点M位于射线上时，
∵，
∴，
即，
解得，
此时点M坐标为；
如图2，当点M位于射线上时，
∵
∴，
即，
解得，
此时点M坐标为．
综上所述，满足条件的点M有两个，坐标为或．
8．【详解】（1）解：将原点代入函数，
得，
解得；
（2）解：函数变形为，
当，即时，与无关，
所以图象一定经过定点；
（3）解：设直线的解析式为．可得
，解得，
直线的解析式为．函数恒过定点，
设过点的直线与线段相交．当直线经过点时，的值最大；经过点时，的值最小．
设直线的解析式为．可得
，解得，
直线的解析式为．
设直线的解析式为．可得
，解得，
直线的解析式为．
所以的取值范围是．
当时，函数为，
当时，函数为，
∴函数与函数的图象和线段所围成的三角形为，
令，得，解得，
设函数为与轴交于点C，则．
，
．
综上，的取值范围为；m最大值与最小值时对应的函数图象与直线三条线段围成的三角形的面积为21．
9．【详解】（1）解：，
∴，，
，，
设直线的解析式为，
把，代入，
得，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：存在，理由如下：
设，则，
，
，
若将的面积分为两部分，则或，
即或，
∴或，
∴或，
∴或；
（3）解：存在，理由如下：
①当点M在y轴右侧时，
如图，在x正半轴上取点E，使得，连接，过点E作的垂线，交于点F，作轴，垂足为G，设点E坐标为，点F坐标为．
由题意可知，直线与的交点即为所求的点M．
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵轴，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵点E坐标为，点F坐标为，点B坐标为
∴，，，，
∴，
解得，，
∴点E坐标为，
设直线的函数解析式为，
将，代入得，
，
解得，，
∴直线的函数解析式为，
联立方程，
解得，，
∴点M坐标为，
②当点M在y轴左侧时，
如图，作点E关于y轴的对称点H，连接，
由对称的性质可得，，点H坐标为，
由①可知，，
∴，
∴直线与与的交点即为所求的点M．
设直线的函数解析式为，
将，代入得，
，
解得，，
∴直线的函数解析式为，
联立方程，
解得，，
∴点M坐标为，
综上所述，点M的坐标为或．
10．【详解】（1）解：把代入得：，
，
把代入得：，
解得，
的值为4，b的值为5；
（2）的面积为4，
，即，
，
在中，令得，
，
或，
设直线的解析式为，
当时，得，
解得：，，
直线的解析式为；
当时，得，
解得：，，
直线的解析式为；
综上所述，直线的解析式为或．
11．【详解】（1）解：一次函数的图像与y轴交于点B，
∴当时，，
∴，
又
设直线的函数表达式为：，
把代入，则
解得：，
∴直线的函数表达式为：；
（2）解：一次函数的图像与x轴交于点A，
∴当时，
∴，
∴，
设上有一点，使得，
如图，
∴①，得，
∴
解得，则点；
②，得，
解得，则点；
综上所述，点或．
12．【详解】（1）解：当时，，
解得，
点；
当时，，
∴点．
（2）解：点，
，
，，
∵动点Q从点B开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向终点A移动，同时动点P从点A开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向终点O移动，设点移动的时间为t秒，
．
如图，过点Q作，易得，
，
即，
，
．
∵的面积是面积的时，
∴，
解得或3秒．
13．【详解】（1）解：∵直线交x轴于点A，交y轴于点B，
，
，，
，
，
，
，
，
设的表达式为过点B、C
，解得：
的表达式为．
（2）解：如图，在x轴上取点、，使，，过点、作，交直线于点D．
设直线为，直线为，
代入，代入，
得：，
为，为
联立和可得：，解得：，
坐标为，
联立和可得：，解得：，
坐标为
D的坐标为或．
（3）解：如图：过点C作于点G，取点G使得，
此时，，
，
由勾股定理得：，，
，
，
，即，
当B、F、G三点共线时，有最小值．
如图：过点G作轴于点H，轴于点K，
，
，，即
，
∴，
，，
，
由待定系数法可得：直线的解析式为：，
，
，
．
14．【详解】（1）解：将，，代入的表达式得，
，
解得，，
∴的表达式为；
（2）解： 的表达式为，
令，，即，
∴点A坐标，
∴，
∵，
∴，点B坐标，
设的表达式为，
将，；，，代入得，
，
解得，，
∴的表达式为，
∵轴，交x轴于点E，
∴点P、F、E的横坐标相同，
设点F的横坐标为t，
∴点F的坐标为，点P的坐标为，点E的坐标为，
∴，，
∵，
∴，
解得，，
此时点F的坐标为，点、所在直线为直线，点D到直线的距离为1，
∴；
（3）假设存在，设与y轴交于点G，
①当点M在x轴上时，
若点M在点B左侧，由于可得，，这与点M在x轴上矛盾，故舍去．
∴点M在点B右侧，
如图，作，垂足为H，设，
∵，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
在直角中，，
∴，
解得，，此时点M的坐标为，
②当点M在y轴，且在点G上方时，
∵，
∴，
∴点M在与点D的纵坐标相同，
∴点M的坐标为，
当点M在y轴，且在点G下方时，此时情况和①中相同，
由①可知，直线过点和，
设直线的表达式为，将，；，代入得，，
解得，，
∴直线的表达式为，
令，，
∴此时点M的坐标为，
综上所述，点M的坐标为或或．
15．【详解】（1）解：设直线的解析式为，把和代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
把代入 ，得，
∴，
把代入，得，
解得，
∴，
∴，
∴；
（2）解：设，则，
∵，
∴，
解得或，
∴点的坐标为或；
（3）解：当点在点左侧；如图，过点作，交轴于点，则有，
设直线的解析式为，把和代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
∴直线的解析式为，
把代入得，，
解得，
∴直线的解析式为，
把代入，得，
解得，
∴；
当点在点右侧，如图，过点作轴，与交于点，连接，
设，
∵直线为：，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
解得，
∴；
综上，点的坐标为：或；
（4）解：如图，作直线关于的对称线，直线交轴于点，过点作轴交直线于点，
∵，
∴，
∵轴，
∴，
又∵，
∴，
由轴对称的性质得，，
∵，
∴，
∴，
把代入直线的解析式为，得，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，把和代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
故答案为：．

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