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2025—2026学年九年级数学中考二轮复习专题训练二：一次函数中角度相关问题综合训练
1．如图，已知直线交轴、轴分别为点、．
(1)点在直线上，，求点的坐标．
(2)点，在的延长线上，且，求的值．
2．如图1，已知直线：交x轴于，交y轴于．
(1)直接写出k的值为______，b的值为______．
(2)如图2，C为x轴负半轴上一点，过C点的直线：经过的中点P，点为x轴上一动点，过Q作轴分别交直线、于D、E，连接得到和，若其中一个三角形面积是另一个三角形面积的两倍，求c和t的值；
(3)如图3，已知点，点为直线右侧一点，且满足，求m的值．
3．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，点为轴负半轴上一点，且满足．
(1)求直线的解析式；
(2)如图2，点是线段的中点，点，分别是线段，上的两个动点．连接，，，当时，求点的坐标和周长的最小值；
(3)若点是轴上一动点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．
4．如图1，直线为，分别与坐标轴交于点．点O关于直线的对称点C在直线上．
(1)求直线、的解析式．
(2)若交于点E，在线段上是否存在一点F，使与的面积相等？若存在，求出F点坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图 2，过点D的直线，当它与直线的夹角为时，请直接写出相应m的值．
5．如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，点，点M是线段上的任意一点，过点M作直线轴，直线l交直线于点P，交直线于点Q．
(1)求直线的函数表达式；
(2)当时，求的面积；
(3)连接，若，求点Q的坐标．
6．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段的中点．
(1)求点B、点M和点A的坐标；
(2)求出直线的函数解析式；
(3)若点C是直线上一点，，求点C的坐标；
(4)点P为x轴上一点，当时，请求出满足条件的点P的坐标．
7．如图，已知函数，与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称，
(1)求直线的函数解析式；
(2)设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线．交直线于点，交直线于点．
①若的面积为2，求点的坐标；
②点在线段上运动的过程中，连接，若，求的面积．
8．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点．
(1)填空：点的坐标为________，点的坐标为________；
(2)将直线绕点顺时针旋转得到直线，求直线的函数表达式；
(3)在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
9．平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴的负半轴上，且．
(1)求直线的表达式；
(2)如图1，点是线段上一动点，过作于，当时，求此时点的坐标：
(3)如图2，在（2）问条件下，点为直线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标．
10．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，直线经过点，交轴正半轴于点，且．
(1)求直线的函数表达式；
(2)是射线上的动点．
①连接，若的面积与的面积相等，求点的坐标；
②过点作轴的垂线，交轴于点，若，求点的坐标．
11．如图，已知一次函数与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称．
(1)求点的坐标及直线的函数关系式；
(2)若点在线段上，过点作轴的平行线，交直线于点交直线于点．
①如图，当点在线段上时，的面积为，求与之间的函数关系式；
②连接，若，求点的坐标．
12．如图，函数与轴交于点，与轴交于点、点与点关于轴对称．
(1)直线的函数解析式为_____________．
(2)设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点，
①若的面积为2，求点的坐标；
②点在线段上运动的过程中，连接，若，求点的坐标．
13．如图，在平面直角坐标系中，直线：分别与x轴、y轴交于点A，B，点C为线段上一点，且．
(1)求点A的坐标及直线的表达式；
(2)D为x轴上一个动点，当时，求点D的坐标；
(3)P为直线上一个动点，Q为坐标系内一点，当以B，O，P，Q四个点为顶点的四边形是菱形时，直接写出点P的坐标．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，．
(1)求k的值；
(2)点P在直线上，连接．若，求点P的坐标；
(3)点Q在x轴上，且，求点Q的坐标．
15．如图1，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，点在轴的正半轴上，且．
(1)求直线的表达式；
(2)点是线段上一动点，过作于，当时，求点的坐标；
(3)如图2，在（2）问条件下，点为直线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标．
参考答案
1．【详解】（1）解：当时，；当时，，
∴点，
∴.
当P在线段上时，过点P作轴，于点D，设点，
则.
∵，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
即，
解得，
∴点；
当P在射线上时，作轴，于点，设点，
则.
同理可得，
∴，
即，
解得，
∴点.
所以点或；
（2）解：根据勾股定理，得，,
∵，
∴，
∴，
即.
2．【详解】（1）解：把代入得：
解得
故答案为：；
（2）解：如图：
线段 的中点 P 的坐标为 ，
把 代入 得： ，解得 ，
直线 的解析式为 ，
由（1）知直线 的解析式为 ，
轴，
，
，
和 ，其中一个三角形面积是另一个三角形面积的两倍，
∴或，
或，
或或或，
解得：或或或．
（3）解：作M关于y轴的对称点，以G为直角顶点，为直角边在右侧作等腰直角三角形，过H作轴于K，如图：
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴N在直线上，
∵，，
∴ ，
∴，
∴，
由可设直线的解析式为,
∴,解得,
得直线解析式为，
把 代入得：，
解得 ．
3．【详解】（1）解：∵直线分别与轴，轴交于点，
∴令，即；
∴令，即；
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点在轴的负半轴，
∴，
设直线的解析式为
把，分别代入，
得，
解得，
∴；
（2）解：由（1）得，，，
∴，
∴，
∵点是线段的动点，且线段的解析式为，
∴设，
连接，如图所示：
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴，
即，
点是线段的中点，，
∴，
∴，
过点E作轴的对称点，记为，
即，
连接交轴于一点，连接，
∴，
此时周长最小，且周长最小
∵，，
∴，
∵
∴
则周长最小；
（3）解：由（1）得，，
∴，
∵，
∴，
即，
在x轴上取点，连接，过点C作轴，
∵，且，
∴，
∵轴，
∴，，
作的角平分线交x轴于点P，
则，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
则，
∴，
∴，
作点P关于y轴的对称点，此时，
∴点P坐标为或．
4．【详解】（1）解：∵，
∴设直线解析式为，
则，
解得，
∴，
∵，
∴，
由折叠知，，
∴，
设，
则，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
设直线解析式为，
则，
解得，
∴；
（2）解：存在点F，使．
连接并延长交y轴于G，连接，
∵，
∴，
∴，
由折叠知，垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点G，F关于对称，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
化简，得，
解得，
∴，
∵，
∴，，
∴．
（3）解：如下图，设直线与直线夹角等于，
即为等腰直角三角形．
∴．
作轴， 轴，过点D作直线轴，分别交于点M，N．
则，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵直线l过，
∴．
解得．
∴直线l的解析式为．
设点H坐标为，
则．
∴I点坐标为．
∵I点在直线上，
∴．
解得．
∴．
当直线l过H点时， ．
解得．
当直线l过I点时， ．
解得．
故或．
5．【详解】（1）解：把代入得：，
解得，
∴直线解析式为，
令得，
∴，
设直线解析式为，把代入得：
，
解得，
∴直线的函数表达式为；
（2）解：如图：
设，则，
∴，
∵，
∴，
解得或，
当时，，
∴，
∴；
当时，，
∴，
∴；
综上所述，的面积为或；
（3）解：过A作于H，过H作轴于K，过B作于T，如图：
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
解得，
∴，
将点代入，得
，
解得直线的解析式为，
令得，
∴；
在中，令得，
∴.
6．【详解】（1）解：，
当时，
解得，
，
当时，，
∴，
点M为线段的中点，
；
（2）解：设直线的函数解析式为，
将，代入得：，
解得，
直线的函数解析式为；
（3）解：过点C作轴于点N，交直线于点D，
设，则，
，
，
，
，
或，
点C的坐标或；
（4）解：分两种情况：如图，当点P在点A右侧时，
∵，
∴，
∵直线的函数解析式为，，，
∴将直线沿着y轴向上平移6个单位，得到直线表达式为，
当时，
解得，
；
如图，当点P在点A左侧时，作的中垂线，交于点E，连接并延长交x轴于点P，
∴，
，
设，
∵，，
∴，，
，
解得，
，
∵，
设直线的解析式为，
把代入，得
解得，
直线的解析式为，
当时，
解得，
，
综上，或．
7．【详解】（1）解：令，得，解得，
点A坐标为，
点与点关于轴对称，
点C坐标为，
当时，，
点B坐标为，
设直线的函数解析式，
根据题意可得，解得，
直线的函数解析式为．
（2）解：①设M点坐标为，则，，
，
，
解得或，
点的坐标为或；
②，
，，，
当点M在y轴左侧时，
点与点关于轴对称，
，
，
，
，
，
由勾股定理可知，
即，解得，
；
当点M在y轴右侧时，
同理可得点坐标为，
；
综上可知．
8．【详解】（1）解：∵一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点，
∴当时，，当时，，
∴点的坐标为，点的坐标为．
故答案为：，
（2）解：如图，过点作，交于，过作轴于，
∵点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
∵将直线绕点顺时针旋转得到直线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∵，在直线上，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为．
（3）解：如图所示：
∵，，
∴，
①当点在轴正半轴时，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
②当点在轴负半轴时，在轴负半轴取点，使，连接，
∴垂直平分，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述：存在点，使得，点的坐标为或．
9．【详解】（1）解：∵，
∴当时，，当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设直线的解析式为：，
把，代入，得：，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，，
连接，过点作，
∵，
∴，即：，
∴，
∴，
∵点在线段上，
∴当时，，解得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
过点作轴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，当在点的左侧时，过点作轴于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
解得：；
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
当在点的右侧时，则与关于对称，
又，，
∴当在点的右侧时，，
综上所述，点的坐标为或．
10．【详解】（1）解：直线与轴，轴分别交于点，
令，则，
．
，
点的坐标为．
设直线的函数表达式为，将和代入可得，
则
解得
直线的函数表达式为；
（2）解：①如图1，直线与轴，轴分别交于点，
令，则，
解得，
．
．
．
，
．
过点作轴于点，
设点坐标为，
．
，
．
解得．
点坐标为；
②如图2，过作，交于点，过点作轴，分别过点，，作于点于点．作点关于的对称点，连接，作射线交轴于点．
（Ⅰ）当点在轴上方时，
，
．
．
，
，即．
，
是等腰直角三角形．
．
，
又，
．
．
点的坐标为．
假设直线的表达式为，将和代入得，
解得
直线的表达式为．
令，则，
解得．
点的坐标为．
（Ⅱ）当点在轴下方时，
是点关于的对称点，
．
．
点坐标为．
假设直线的表达式为，将和代入得，
解得
直线的表达式为．
令，则，
解得．
点的坐标为．
综上，点的坐标为或．
11．【详解】（1）解：由，令，得，
∴，
由得，解得，
∴，
∵点与点关于轴对称，
∴，
设直线的函数解析式为，
∴，解得，
∴直线的函数解析式为．
（2）解：①∵点，则点，点，
过点作于点，则，如下图所示：
则,
又∵，
∴的面积为，
则（）．
②如图，当点在轴的左侧时，如下图所示：
∵点与点关于轴对称，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则,
∴，
，
，
∴，得，
解得，
∴；
当点在轴的右侧时，
∵点与点关于轴对称，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则,
∴，
，
，
∴，得，
解得，
∴；
综上，点的坐标为或．
12．【详解】（1）解：令，则，
∴，
令，则，
∴，
∵点C与点A关于y轴对称，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的函数解析式为；
故答案为：；
（2）解：①设，
∵轴，
∴，，
∴，
∴，
解得，
∴或；
②∵点M在线段上运动，
∴，
如图1，当点M在线段上时，
∵点C与点A关于y轴对称，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
解得，
∴；
如图2，当点M在线段上时，同理可得，
综上所述：点Q的坐标为或．
13．【详解】（1）解：当时，，
解得，
当时，，
，，
，
，
，
，
设直线的表达式为，则有
，
解得：，
直线的表达式为；
（2）解：当在的左侧时，如图
由（1）得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
，
；
当在的右侧时，如图
同理可证，
，
，
设，
，
，
，
，
解得，
；
综上所述：点D的坐标为或．
（3）解：设，
当为对角线时，
，
，
解得，
；
当为对角线时，
，
，
解得，（舍去）
；
当为对角线时，
或
，
，
解得，，
的坐标为或；
综上所述：点P的坐标为或或或．
14．【解】（1）解：∵直线与y轴交于B点，
∴
∴
∵
∴
∴，
将代入可得：，解得：．
（2）解：如图：由（1）可知，，，
∴
∵
∴，
设
∴，即，解得：
∴，
∴或．
（3）解：如图：设点，过Q作交于M，设，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，，，
∴，
，
∴，
解得：或，
∴点Q的坐标为或．
15．【详解】（1）解：由直线的表达式为：得，
当时，；当时，，
，，
，
，
，
设直线的解析式为，
把，代入得，
直线的表达式为：；
（2）解：如图1，过点作直线垂直于轴，垂足为，交直线于点，
，，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，，
，
又，，
，
设，则，，
则有，
，
，
；
（3）解：如图2，当在点上方时，不妨设为，过点作直线垂直于轴，垂足为，交直线于点，过点作直线，交轴于点，交直线于，再作垂直轴，垂足为，
由（2）知，点坐标为，
，
，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
设直线表达式为：，
把和，代入得，，
直线表达式为，
联立直线和直线的方程，
，
解得，
点坐标为；
如图3，当在直线下方时，不妨设为，连接，过点作直线垂直于轴，垂足为，交直线于点，过点，作直线的垂线，垂足分别为和，
由题意知，，
又，，
，
，
∴，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
即的纵坐标为，
在直线上，
把纵坐标代入中，得，
；
综上所述：坐标为或．

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