资源简介

(共26张PPT)
第五章　三角形
第17讲　三角形与多边形
1. 探索并证明三角形的内角和定理，掌握它的推论，证明三角形的任意
两边之和大于第三边.
2. 理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三
角形的稳定性.
3. 了解三角形的重心、内心（外心）的概念；探索并证明三角形的中位
线定理.
1. 三角形中的主要线段
（1）角平分线.（2）中线.（3）高.
2. 三角形的四“心”
（1）内心：三角形三条角平分线的交点叫做内心.它是三角形内切圆的
圆心，到三边的距离相等.
（2）重心：三角形三条中线的交点叫做重心.
（3）垂心：三角形三条高的交点叫做垂心.
（4）外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做外心.它是三角形外
接圆的圆心，到三个顶点的距离相等.
1. （2025·广州名校二模）如图，AD是△ABC的中线，AB＝5，AC＝
4.若△ACD的周长为10，则△ABD的周长为（　D　）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
第1题图
D
2. （2024·凉山中考）如图，在△ABC中，∠BCD＝30°，∠ACB＝
80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数
是 .
第2题图
100°　
3. 三角形中的边、角关系
（1）三角形的三边关系：两边之差＜第三边＜两边之和.
（2）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.
（3）外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
3. （1）（2025·连云港中考）下列长度（单位：cm）的3根小木棒能搭
成三角形的是（　B　）
A. 1，2，3 B. 2，3，4
C. 3，5，8 D. 4，5，10
B
（2）（2025·南充中考）如图，把含有60°的直角三角板斜边放在直线l
上，则∠α的度数是（　D　）
A. 120° B. 130° C. 140° D. 150°
D
4. 三角形的中位线定理
三角形两边中点的连线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.
4. （2025·荆州中考）如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，点E为
AC的中点.若AC＝8，CD＝5，则DE＝ .
3　
5. 多边形的内外角和
（1）内角和：n边形的内角和等于（n－2）·180°.
（2）外角和：任意多边形的外角和等于360°.
（3）正n边形的每个外角等于 ，每个内角等于 .
（4）n边形对角线数量等于 条.
5. （1）（2025·遂宁中考）已知一个凸多边形的内角和是外角和的4倍，
则该多边形的边数为（　A　）
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
A
（2）（2024·河北中考）直线l与正六边形ABCDEF的边AB，EF分别
相交于点M，N，如图所示，则α＋β的度数为（　B　）
A. 115° B. 120° C. 135° D. 144°
B
【核心考点1】三角形的三边关系
1. （2025·长沙中考）下列长度的三条线段，能组成三角形的是
（　C　）
A. 1，3，4 B. 2，2，7
C. 4，5，7 D. 3，3，6
C
【变式1】（2025·衡阳中考）已知三角形的三边长分别为1，a－1，3，
则化简｜a－3｜＋｜a－5｜的结果为 .
【变式2】（2025·广州名校二模）若△ABC的三条边分别为a，b，c，
则｜a－b－c｜＋｜b＋c－a｜－｜c－a－b｜的值为（　D　）
A. －3a－b－c B. a＋3b＋c
C. a＋b－3c D. －3a＋b＋3c
2　
D
【核心考点2】与三角形有关的线段2.（2025·广州名校二模）如图，已
知AE是△ABC的边BC上的中线，若AB＝8 cm，△ACE的周长比
△AEB的周长多2 cm，则AC＝ cm.
第2题图
10　
【变式3】如图，D，E，F分别是△ABC三边的中点，若△ABC的周长
为20，则△DEF的周长为（　C　）
变式3图
A. 25 B. 15 C. 10 D. 5
C
【核心考点3】与三角形有关的角
3. （2025·遂宁中考）若三角形三个内角的比为1∶2∶3，则这个三角形
是 三角形.
直角　
【变式4】（2025·广州名校二模）如图，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝
DE＝EF，则∠DEF等于（　D　）
变式4图
A. 90° B. 75° C. 70° D. 60°
D
【核心考点4】多边形的内角和与外角和
4. （2024·威海中考）如图，在正六边形ABCDEF中，AH∥FG，
BI⊥AH，垂足为I. 若∠EFG＝20°，则∠ABI＝ .
第4题图
50°　
【变式5】（2024·赤峰中考）如图是正n边形纸片的一部分，其中l，m
是正n边形两条边的一部分，若l，m所在的直线相交形成的锐角为
60°，则n的值是（　B　）
变式5图
A. 5 B. 6 C. 8 D. 10
B
【核心考点5】与面积有关的问题
5. 如图，在△ABC中，已知D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点
且△ABC的面积是4 cm2，则阴影部分的面积等于（　C　）
A. cm2 B. cm2 C. 1 cm2 D. 2 cm2
第5题图
C
【变式6】（2025·珠海二模）如图，△ABC的中线BD，CE相交于点
F，点M，N分别是BF，CF的中点，连接MN，已知△BEF的面积为
4，则△MND的面积为 .
4　
6. （2024·山东中考）如图，已知AB，BC，CD是正n边形的三条边，
在同一平面内，以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN. 若
∠ABN＝120°，则n的值为（　A　）
A. 12 B. 10 C. 8 D. 6
第6题图
A
7. （2025·广州名校模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分
∠ABC交AC于点D，将△ADE沿DE所在直线折叠，使点A恰好与点B
重合.若CD＝3，则AB的值为 .
第7题图
6 　
8. （2024·广州南沙区一模）如图，在△ABC中，E是边AC的中点，点
D，F分别在AB，DE上，且∠AFB＝90°，AD＝DF. 若AB＝10，
BC＝16，则EF的长为 .
第8题图
3　
9. （2025·广州名校二模）如图，∠MON＝90°，点A，B分别在射线
OM，ON上运动，BE平分∠NBA，BE的反向延长线与∠BAO的平分
线交于点C，则∠C的度数是（　B　）
A. 30° B. 45° C. 55° D. 60°
第9题图
B
10. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝AD，线段BC绕
点B顺时针旋转60°得到线段BE，连接AC，ED.
（1）求证：AC＝DE；
解：（1）证明：如图，连接BD.
解：（1）证明：如图，连接BD.
∵∠DAB＝60°，AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝DB，∠ABD＝60°.
∵线段BC绕点B顺时针旋转60°得到线段BE，
∴CB＝EB，∠CBE＝60°，
∴∠ABD＝∠CBE.
∴∠ABC＝∠DBE.
在△ABC和△DBE 中，
∴△ABC≌△DBE（SAS）.
∴AC＝DE.
∴∠ABD＝∠CBE.
∴∠ABC＝∠DBE.
在△ABC和△DBE 中，
∴△ABC≌△DBE（SAS）.
∴AC＝DE.
（2）若DC＝5，BC＝12，∠DCB＝30°，求AC的长.
解：（2）如图，连接CE.
∵CB＝EB，∠CBE＝60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠BCE＝60°.
∵∠DCB＝30°，
∴∠DCE＝∠DCB＋∠BCE＝90°.
∵DC＝5，BC＝12＝CE，
∴在Rt△DCE中，DE＝ ＝13.
∴AC＝13.
解：（2）如图，连接CE.
∵CB＝EB，∠CBE＝60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠BCE＝60°.
∵∠DCB＝30°，
∴∠DCE＝∠DCB＋∠BCE＝90°.
∵DC＝5，BC＝12＝CE，
∴在Rt△DCE中，DE＝ ＝13.
∴AC＝13.
10. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝AD，线段BC绕
点B顺时针旋转60°得到线段BE，连接AC，ED.(共22张PPT)
第五章　三角形
第18讲　全等三角形
1. 理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角.
2. 掌握全等三角形的五种判定定理.
1. 全等三角形的概念及性质
（1）概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
（2）性质：全等三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）、对应
角、周长、面积分别相等.
（3）平移、翻折、旋转前后的两个三角形全等.
1. （1）（2024·成都中考）如图，△ABC≌△CDE，若∠D＝35°，
∠ACB＝45°，则∠DCE的度数为 .
第（1）题图
100°　
（2）（2025·海南中考）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定
成立的是（　B　）
第（2）题图
A. AC＝DE B. ∠BAD＝∠CAE
C. AB＝AE D. ∠ABC＝∠AED
B
2. 三角形全等的判定定理
（1）三边对应相等的两个三角形全等（SSS）.
（2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）.
（3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）.
（4）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）.
（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）.
2. （1）（2025·牡丹江中考）如图，AB∥CD，AD与BC交于点O，请
添加一个条件： ，使△AOB≌△DOC.
（只填一种情况即可）
第（1）题图
AB＝DC（答案不唯一）　
（2）（2025·重庆中考）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝
AC，点D为BC上一点，连接AD. 过点B作BE⊥AD于点E，过点C作
CF⊥AD交AD的延长线于点F. 若BE＝4，CF＝1，则EF的长度
为 .
第（2）题图
3　
【核心考点1】全等三角形的判定与性质
1. （2025·福建中考）如图，点E，F分别在AB，AD的延长线上，
∠CBE＝∠CDF，∠ACB＝∠ACD. 求证：AB＝AD.
证明：∵∠CBE＝∠CDF，∠ABC＋∠CBE＝180°，∠ADC＋
∠CDF＝180°，
∴∠ABC＝∠ADC.
在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC（AAS），
∴AB＝AD.
【变式1】（2025·吉林中考）如图，在矩形ABCD中，点E，F在边BC
上，连接AE，DF，∠BAE＝∠CDF.
（1）求证：△ABE≌△DCF.
解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°.
∵∠BAE＝∠CDF，
在△ABE和△DCF中，
∴△ABE≌△DCF（ASA）；
解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°.
∵∠BAE＝∠CDF，
在△ABE和△DCF中，
∴△ABE≌△DCF（ASA）；
（2）当AB＝12，DF＝13时，求BE的长.
解：（2）∵△ABE≌△DCF，
∴AE＝DF＝13.
∵∠B＝90°，AB＝12，
∴在Rt△ABE中，BE＝ ＝5.
解：（2）∵△ABE≌△DCF，
∴AE＝DF＝13.
∵∠B＝90°，AB＝12，
∴在Rt△ABE中，BE＝ ＝5.
【变式1】（2025·吉林中考）如图，在矩形ABCD中，点E，F在边BC
上，连接AE，DF，∠BAE＝∠CDF.
【核心考点2】全等三角形的综合运用
2. （2025·山西中考）如图，小谊将两根长度不等的木条AC，BD的中
点连在一起，记中点为O，即AO＝CO，BO＝DO. 测得C，D两点之
间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间
的距离.图中△AOB与△COD全等的依据是（　B　）
A. SSS B. SAS C. ASA D. HL
B
【变式2】（2024·广州中考）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝
AC＝6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE＝
CF，则四边形AEDF的面积为（　C　）
A. 18 B. 9 C. 9 D. 6
C
【变式3】如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞
OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM. 下
列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO
平分∠BMC. 其中正确的个数为（　B　）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
B
3. （2025·广州名校期末）如图，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠B＝
∠D＝90°，AC＝CE，B，C，D三点在同一直线上.添加下列条件，
不能判定△ABC≌△CDE的是（　B　）
A. AB＝CD B. AB＝DE
C. ∠ACE＝90° D. ∠A＋∠E＝90°
B
4. （2024·安徽中考）在凸五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＝DE，F
是CD的中点.下列条件中，不能推出AF与CD一定垂直的是（　D　）
A. ∠ABC＝∠AED B. ∠BAF＝∠EAF
C. ∠BCF＝∠EDF D. ∠ABD＝∠AEC
D
5. （2025·广州名校模拟）如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC，
∠ACB＝90°，点A（0，a），B（b，0），C（－4，4），其中b＜
a＜0，则a，b之间的数量关系是 .
第5题图
a－b＝8　
6. （2024·重庆中考）如图，在△ABC中，延长AC至点D，使CD＝
CA，过点D作DE∥CB，且DE＝DC，连接AE交BC于点F. 若
∠CAB＝∠CFA，CF＝1，则BF＝ .
第6题图
3　
7. 如图，在☉O中，直径AB垂直弦CD于点E，连接AC，AD，BC，
作CF⊥AD 于点F，交线段OB于点G（不与点O，B重合），连接
OF. 若BE＝1，求GE的长.
解：∵直径AB垂直弦CD，
∴∠AED＝90°.
∴∠DAE＋∠D＝90°.
∵CF⊥AD，
∴∠FCD＋∠D＝90°.
∴∠DAE＝∠FCD.
由圆周角定理得∠DAE＝∠BCD，
∴∠BCD＝∠FCD.
在△BCE和△GCE中，
∴△BCE≌△GCE（ASA）.
∴GE＝BE＝1.
∴GE的长为1.
在△BCE和△GCE中，
∴△BCE≌△GCE（ASA）.
∴GE＝BE＝1.
∴GE的长为1.
8. （2025·广州名校模拟）如图，四边形ABCD为菱形，E为对角线AC
上的一个动点，连接DE并延长交射线AB于点F，连接BE.
（1）求证：∠AFD＝∠EBC；
解：（1）∵四边形ABCD为菱形，AC为对角线，
∴DC＝BC，∠DCE＝∠BCE，CE＝CE，
∴△DCE≌△BCE.
∴∠EDC＝∠EBC.
∵DC∥AB，
∴∠EDC＝∠AFD.
∴∠AFD＝∠EBC.
解：（1）∵四边形ABCD为菱形，AC为对角线，
∴DC＝BC，∠DCE＝∠BCE，CE＝CE，
∴△DCE≌△BCE.
∴∠EDC＝∠EBC.
∵DC∥AB，
∴∠EDC＝∠AFD.
∴∠AFD＝∠EBC.
（2）若∠DAB＝90°，且当△BEF为等腰三角形时，求∠EFB的度数.
解：（2）分两种情况：
①当点F在AB延长线上时，
∵∠EBF为钝角，
∴只能是BE＝BF.
设∠BEF＝∠BFE＝x°，可通过三角形内角和为180°得90＋x＋x＋
x＝180，x＝30.
∴∠EFB＝30°.
解：（2）分两种情况：
①当点F在AB延长线上时，
∵∠EBF为钝角，
∴只能是BE＝BF.
设∠BEF＝∠BFE＝x°，可通过三角形内角和为180°得90＋x＋x＋
x＝180，x＝30.
∴∠EFB＝30°.
8. （2025·广州名校模拟）如图，四边形ABCD为菱形，E为对角线AC
上的一个动点，连接DE并延长交射线AB于点F，连接BE.
②当点F在线段AB上时，
∵∠EFB为钝角，
∴只能是FE＝FB.
设∠BEF＝∠EBF＝x°，则有∠AFD＝2x°.
可证得∠AFD＝∠EDC＝∠CBE，得x＋2x＝90，x＝30.
∴∠EFB＝120°.
综上所述，∠EFB＝30°或120°.
②当点F在线段AB上时，
∵∠EFB为钝角，
∴只能是FE＝FB.
设∠BEF＝∠EBF＝x°，则有∠AFD＝2x°.
可证得∠AFD＝∠EDC＝∠CBE，得x＋2x＝90，x＝30.
∴∠EFB＝120°.
综上所述，∠EFB＝30°或120°.(共23张PPT)
第五章　三角形
第19讲　特殊三角形
1. 了解等腰三角形的概念；探索并证明等腰三角形的性质定理和判
定定理.
2. 探索等边三角形的性质定理和判定定理.
3. 了解直角三角形的概念；探索并掌握直角三角形的性质定理和判
定定理.
4. 探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题.
1. 等腰三角形
（1）定义：有两边相等的三角形是等腰三角形.
（2）性质：
①等腰三角形的两腰相等；
②等腰三角形的两底角相等（简写成“等边对等角”）；
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简
写成“三线合一”）.
（3）判定：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成
“等角对等边”）.
1. （1）（2024·广州南沙区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为
边BC的中点，∠B＝40°，则∠CAD＝ °.
（2）（2024·赤峰中考）若等腰三角形的两边长分别是方程x2－10x＋21
＝0的两个根，则这个三角形的周长为（　C　）
A. 17或13 B. 13或21 C. 17 D. 13
50　
C
（3）在正方形网格中，网格线的交点称为格点.如图，已知A，B是两
格点，如果点C也是格点，且使得△ABC是以AB为腰的等腰三角形，那
么点C有（　B　）
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
B
2. 等边三角形
（1）定义：三条边相等的三角形.
（2）性质：
①具有等腰三角形的性质；
②等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.
（3）判定：
①三个角都相等的三角形是等边三角形；
②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
2. （2025·广州名校二模）如图，BD是等边三角形ABC的中线，且BD
＝3 cm，延长BC至点E，使CE＝CD，连接DE，则DE的长
是 cm.
3　
3. 直角三角形
（1）定义：有一个角是90°的三角形.
（2）性质：
①两锐角互余；
②30°所对的直角边是斜边的一半；
③斜边上的中线等于斜边的一半；
④两直角边的平方和等于斜边的平方.
（3）判定：
①有一个角是直角（或两锐角互余）的三角形是直角三角形；
②两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形；
③半圆或直径所对的圆周角是直角；
④如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角
三角形.
3. （1）满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（　C　）
A. a2＋b2＝c2
B. ∠C＝∠A＋∠B
C. ∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
D. a∶b∶c＝8∶15∶17
C
（2）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，
DE⊥AB，垂足为E，且DE＝3 cm，∠B＝30°，则BC＝ cm.
9　
【核心考点1】等腰（边）三角形的性质与判定
1. （2025·甘肃中考）如图，BD是等边三角形ABC的边AC上的高，以
点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC的度数
为（　C　）
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
第1题图
C
【变式1】（2024·广州南沙区一模）如图，在等边三角形ABC中，D是
边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B按逆时针方向旋转60°，得到
△BAE，连接ED. 若BC＝10，BD＝9，则四边形ADBE的周长是
（　C　）
变式1图
A. 19 B. 20 C. 28 D. 29
C
【核心考点2】直角三角形的性质与判定
2. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点
D，DE∥BC交AC于点E，如果BC＝4，则DE的长为 .
3　
【变式2】（2025·河北中考）三边长a，b，c满足（a－b）2＋
＋｜c－3 ｜＝0的△ABC是（　D　）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形
D
【核心考点3】线段的垂直平分线
3. （2025·安徽中考）如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，边
AC的中点为D，边BC上的点E满足ED⊥AC. 若DE＝ ，则AC的
长是（　B　）
A. 4 B. 6 C. 2 D. 3
第3题图
B
【变式3】如图，在矩形ABCD中，分别以点A，C为圆心，大于 AC的
长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交AD，BC于
点E，F，连接AF，AC. 若BF＝3，AE＝5，以下结论错误的是
（　D　）
变式3图
D
A. AF＝CF B. ∠FAC＝∠EAC
C. AB＝4 D. AC＝2AB
【核心考点4】三角形的中位线
4. （2025·广东中考）如图，点D，E，F分别是△ABC各边上的中点，
∠A＝70°，则∠EDF＝（　C　）
A. 20° B. 40° C. 70° D. 110°
第4题图
C
【变式4】如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC＝
12，F是DE上一点，连接AF，CF，DF＝1.若∠AFC＝90°，则BC
的长度为（　C　）
变式4图
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
C
5. （2025·北京中考）如图，∠MON＝100°，点A在射线OM上，以点
O为圆心，OA长为半径画弧，交射线ON于点B. 若分别以点A，B为
圆心，AB长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C，连接AC，则
∠OAC的大小为（　B　）
A. 80° B. 100° C. 110° D. 120°
第5题图
B
6. （2025·青海中考）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交
于点O，E为BC上一点，CE＝7，F为DE的中点，连接OF，CF. 若
△CEF的周长为32，则OF的长为 .
第6题图
　
7. （2025·江苏中考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，
BC＝2，D为AB的中点.若点E在边AC上，且 ＝ ，则AE的长为
（　D　）
A. 1 B. 2 C. 1或 D. 1或2
第7题图
D
8. （2025·四川中考）如图，边长为2的等边三角形ABC的两个顶点A，
B分别在射线OM，ON上滑动.若OM⊥ON，则OC的最大值是
.
1＋
　
9. （2025·黑龙江中考）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝
60°，点D是直线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋
转60°至AE，连接DE，BE，过点E作EF⊥BC，交直线BC于点F.
点D在CB延长线上时，求证：BF＝DF＋BC.
证明：∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°.
∵∠BAC＝∠EAD＝60°，
∴∠BAC＋∠BAD＝∠EAD＋∠BAD，
即∠BAE＝∠CAD，
∴在△ABE和△ACD中，
∴△ABE≌△ACD ，
∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD＝60°，
∴∠EBF＝180°－∠ABE－∠ABC＝180°－60°－60°＝60°.
∵EF⊥BC，
∴在Rt△BEF中，BE＝ ＝ ＝2BF.
∵CD＝BD＋BC＝BF＋DF＋BC，
CD＝BE＝2BF，
∴2BF＝BF＋DF＋BC，
∴BF＝DF＋BC.(共35张PPT)
第五章　三角形
第16讲　线、角、相交线与平行线
1. 会比较线段的长短，理解线段的和、差以及线段中点的意义.
2. 理解角的概念，能比较角的大小，认识度、分、秒，会对度、分、秒
进行简单的换算，并会计算角的和、差；理解对顶角、余角、补角的概
念，探索并掌握角的性质；识别同位角、内错角、同旁内角.
3. 理解平行线的概念；掌握平行线的性质定理；探索并证明平行线的判
定定理和性质定理.
4. 了解定义、命题、定理、推论的意义；会区分命题的条件和结论，了
解命题的概念.
1. 直线、线段
（1）直线公理：经过两点，有且只有一条直线.
（2）线段公理：两点之间，线段最短.
1. 如图，一只蚂蚁外出觅食，它与食物间有三条路径，从上到下依次记
为①，②，③，则蚂蚁选择第②条路径的理由是（　B　）
A. 两点确定一条直线
B. 两点之间线段最短
C. 经过一点有无数条直线
D. 两点之间线段的长度叫做两点间的距离
B
2. 角
（1）角的概念：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.
（2）角度换算：1°＝60'，1'＝60″.
（3）互为余角：两个角的和等于90°.
（4）互为补角：两个角的和等于180°.
2. （2025·北京中考）如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝
126°，则∠BOC的大小为（　C　）
A. 36° B. 44°
C. 54° D. 63°
C
3. 相交线
（1）对顶角：对顶角相等.
（2）垂直公理：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直
线垂直.
（3）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.
（4）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到
直线的距离.
3. （1）（2024·齐齐哈尔中考）将一个含30°角的三角尺和直尺如图放
置，若∠1＝50°，则∠2的度数是（　B　）
第3（1）题图
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
B
（2）（2025·广州名校期末）如图，点A，B，C在直线l上，PB⊥l，
PA＝4 cm，PB＝3 cm，PC＝5 cm，则点P到直线l的距离是 cm.
第3（2）题图
3　
4. 平行线
（1）概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.
（2）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.
（3）判定：同位角相等，两直线平行；
内错角相等，两直线平行；
同旁内角互补，两直线平行.
性质：两直线平行，同位角相等；
两直线平行，内错角相等；
两直线平行，同旁内角互补.
（4）平行线间的距离：过平行线上的一点作另一条平行线的垂线，垂线
段的长度叫做两条平行线间的距离.
性质：两条平行线间的距离处处相等.
4. （1）（2025·宜昌中考）如图，小颖按如图方式操作直尺和含30°角
的三角尺，依次画出了直线a，b，c.如果∠1＝70°，则∠2的度数为
（　C　）
A. 110° B. 70° C. 40° D. 30°
C
（2）如图，如果∠1＝∠2，那么AB∥CD，其依据可以简单说成
（　D　）
A. 两直线平行，内错角相等 B. 内错角相等，两直线平行
C. 两直线平行，同位角相等 D. 同位角相等，两直线平行
D
5. 角平分线
定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线叫做这
个角的平分线.
性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
5. （2025·广州名校模拟）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，
DE⊥AB. 若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝ .
1　
6. 线段的垂直平分线
性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
6. （2024·丽水中考）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点
D，交AC于点E，∠B＝∠ADB. 若AB＝4，则DC的长是 .
4　
【核心考点1】平行线的性质与判定
1. （2024·泸州中考）把一个含30°角的直角三角尺按如图方式放置于两
条平行线间，若∠1＝45°，则∠2的度数为（　B　）
A. 10° B. 15° C. 20° D. 30°
B
【变式1】（2024·德阳中考）如图是某机械加工厂加工的一种零件的示
意图，其中AB∥CD，DE⊥BC，∠ABC＝70°，则∠EDC等于
（　B　）
A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°
B
【变式2】（2024·苏州中考）如图，AB∥CD，若∠1＝65°，∠2＝
120°，则∠3的度数为（　B　）
变式2图
A. 45 B. 55° C. 60° D. 65°
B
【变式3】（2025·齐齐哈尔中考）将一个含30°角的三角尺和直尺按如
图摆放，若∠1＝50°，则∠2的度数是（　C　）
变式3图
A. 50° B. 60° C. 70° D. 80°
C
【核心考点2】角的平分线、线段的垂直平分线
2. （2025·内蒙古中考）如图，直线AB∥CD，点E，F分别在直线
AB，CD上，连接EF，以点E为圆心，适当长为半径画弧.交射线EA
于点M，交EF于点N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半
径画弧（两弧半径相等），两弧在∠AEF的内部相交于点H，画射线
EH交CD于点G，若∠AEF＝80°，则∠EGF的度数为（　D　）
A. 100° B. 80° C. 50° D. 40°
第2题图
D
【变式4】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，
若CD＝3，AB＝6 ，则△ABD的面积是（　B　）
变式4图
A. 18 B. 9 C. 15 D. 18
B
【变式5】如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足
分别是点E，F，连接EF，与AD交于点G. 下列结论：①DE＝DF；
②AE＝AF；③∠EAF＋∠EDF＝180°；④AD垂直平分EF；⑤点G
一定是△ABC的重心.其中结论正确的个数是（　D　）
变式5图
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
D
3. （2025·广州名校模拟）命题“如果｜a｜＝｜b｜，那么a＝b.”的
逆命题是 .
如果a＝b，那么｜a｜＝｜b｜　
4. （2025·凉山中考）如图，DF∥AB，∠BAC＝120°，∠ACE＝
100°，则∠CED＝（　B　）
A. 30° B. 40° C. 60° D. 80°
第4题图
B
5. （2025·烟台中考）如图是一款儿童小推车的示意图，若AB∥CD，
∠1＝30°，∠2＝70°，则∠3的度数为（　A　）
A. 40° B. 35° C. 30° D. 20°
第5题图
A
6. （2025·德阳中考）如图，一条水渠两次转弯后和原来方向相同，如果
第一次拐角∠CAB＝135°，则第二次拐角∠ABD＝（　D　）
A. 45° B. 55° C. 105° D. 135°
第6题图
D
7. （2025·达州中考）如图，一束平行于主光轴的光线经过凹透镜后，其
折射光线的反向延长线交于主光轴的焦点F. 若∠1＋∠2＝35°，则
∠AFB的度数为（　A　）
A. 35° B. 55° C. 70° D. 145°
A
8. （2025·名校期末）如图，直线EF，CD相交于点O，OA⊥OB，且
OC平分∠AOF.
（1）若∠AOE＝40°，求∠BOD的度数；
解：（1）∵∠AOE＋∠AOF＝180°，
∠AOE＝40°，
∴∠AOF＝140°.
又∵OC平分∠AOF，
∴∠FOC＝ ∠AOF＝70°，
∴∠EOD＝∠FOC＝70°.
∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°.
∴∠BOE＝∠AOB－∠AOE＝50°，
∴∠BOD＝∠EOD－∠BOE＝20°.
（2）若∠AOE＝α，求∠BOD的度数.（用含α的代数式表示）
解：（2）∵∠AOE＋∠AOF＝180°，∠AOE＝α，
∴∠AOF＝180°－α.
又∵OC平分∠AOF，
∴∠FOC＝ ∠AOF＝90°－ α，
∴∠EOD＝∠FOC＝90°－ α.
∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∴∠BOE＝∠AOB－∠AOE＝90°－α，
∴∠BOD＝∠EOD－∠BOE＝ α.
解：（2）∵∠AOE＋∠AOF＝180°，∠AOE＝α，
∴∠AOF＝180°－α.
又∵OC平分∠AOF，
∴∠FOC＝ ∠AOF＝90°－ α，
∴∠EOD＝∠FOC＝90°－ α.
8. （2025·名校期末）如图，直线EF，CD相交于点O，OA⊥OB，且
OC平分∠AOF.
∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∴∠BOE＝∠AOB－∠AOE＝90°－α，
∴∠BOD＝∠EOD－∠BOE＝ α.
9. （2025·花都期末）如图，直线a∥b，点A是直线a上的定点，在直
线a的上方作射线AC，点B是直线b上的动点，作射线AB，记∠CAE
＝α，∠ABD＝β，且α≤β.
（1）如图1，当α＝β＝60°时，求证：射线AC，AB在同一条直线上；
解：（1）证明：延长BA到F，如图1：
∵a∥b，
∴∠FAE＝∠ABD＝60°，
∴∠FAE＝∠CAE＝60°，
∴点F在射线AC上，
∴射线AB和射线AC在同一条直线上；
图1
解：（1）证明：延长BA到F，如图1：
∵a∥b，
∴∠FAE＝∠ABD＝60°，
∴∠FAE＝∠CAE＝60°，
∴点F在射线AC上，
∴射线AB和射线AC在同一条直线上；
图1
（2）如图2，当β－α＝60°时，求∠CAB的度数；
解：（2）∵a∥b，
∴∠EAB＋∠ABD＝180°，
∴∠EAB＝180°－∠ABD＝180°－β，
∴∠CAB＝∠CAE＋∠EAB＝α＋180°－β＝180°－60°＝120°；
解：（2）∵a∥b，
∴∠EAB＋∠ABD＝180°，
∴∠EAB＝180°－∠ABD＝180°－β，
∴∠CAB＝∠CAE＋∠EAB＝α＋180°－β＝180°－60°＝120°；
9. （2025·花都期末）如图，直线a∥b，点A是直线a上的定点，在直
线a的上方作射线AC，点B是直线b上的动点，作射线AB，记∠CAE
＝α，∠ABD＝β，且α≤β.
（3）若α≤60°，且点B在运动的过程中，∠CAB的平分线所在的直线
与直线b相交所成的较小角为30°，探究α，β的数量关系，并说明理由.
解：（3）α＋β＝120°，理由如下：
解：（3）α＋β＝120°，理由如下：
9. （2025·花都期末）如图，直线a∥b，点A是直线a上的定点，在直
线a的上方作射线AC，点B是直线b上的动点，作射线AB，记∠CAE
＝α，∠ABD＝β，且α≤β.
①当∠CAB的平分线AM在直线AC左侧时，如图
2：
∵a∥b，
∴∠EAN＝∠ANB＝30°，∠FAB＝∠ABD＝β，
∴∠MAE＝180°－∠EAN＝150°，
∴∠MAC＝∠MAE－∠CAE＝150°－α，
∴∠BAC＝2∠MAC＝300°－2α.
∵α≤60°，
∴∠BAC≥180°，不符合题意；
图2
①当∠CAB的平分线AM在直线AC左侧时，如图2：
∵a∥b，
∴∠EAN＝∠ANB＝30°，∠FAB＝∠ABD＝β，
∴∠MAE＝180°－∠EAN＝150°，
∴∠MAC＝∠MAE－∠CAE＝150°－α，
∴∠BAC＝2∠MAC＝300°－2α.
∵α≤60°，
∴∠BAC≥180°，不符合题意；
图2
②当AM在a，b之间时，如图3：
∵a∥b，
∴∠BAE＝180°－β，∠EAM＝30°，
∴∠BAM＝180°－β－30°＝150°－β，
∠CAM＝∠CAE＋∠EAM＝α＋30°.
∵AM平分∠CAB，
∴∠BAM＝∠CAM，
∴150°－β＝α＋30°，
图3
②当AM在a，b之间时，如图3：
∵a∥b，
∴∠BAE＝180°－β，∠EAM＝30°，
∴∠BAM＝180°－β－30°＝150°－β，
∠CAM＝∠CAE＋∠EAM＝α＋30°.
∵AM平分∠CAB，
∴∠BAM＝∠CAM，
∴150°－β＝α＋30°，
∴α＋β＝120°；
③当AM在AC和a之间时，如图4：
∵a∥b，
∴∠EAB＝180°－β，∠MAE＝∠ANB＝30°，
∴∠CAM＝∠CAE－∠MAE＝α－30°，∠BAM＝∠MAE＋∠BAE
＝210°－β.
∵AM平分∠CAB，
∴∠CAM＝∠BAM，
图4
③当AM在AC和a之间时，如图4：
∵a∥b，
∴∠EAB＝180°－β，∠MAE＝∠ANB＝30°，
∴∠CAM＝∠CAE－∠MAE＝α－30°，∠BAM＝∠MAE＋∠BAE
＝210°－β.
∵AM平分∠CAB，
∴∠CAM＝∠BAM，
∴α－30°＝210°－β，
∴α＋β＝240°，
∵α≤60°，
∴β≥180°，故不符合题意.
综上所述，α＋β＝120°.
∴α－30°＝210°－β，
∴α＋β＝240°，
∵α≤60°，
∴β≥180°，故不符合题意.
综上所述，α＋β＝120°.
图4(共23张PPT)
第五章　三角形
第22讲　解直角三角形
1. 在平面上，能用方位角和距离刻画两个物体的相对位置.
2. 能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际
问题.
1. 解直角三角形
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.
①三边关系：a2＋b2＝c2.
②三角关系：∠A＋∠B＝∠C.
③边角关系：
sin A＝ ， cos A＝ ，tan A＝ .
在三边两（锐）角中，已知两边或一边一角，可求其余的量.
1. （2025·广州名校模拟）如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置
绕点O旋转到A'B'的位置，已知AO的长为4米.若栏杆的旋转角∠AOA'
＝α，则栏杆A端升高的高度为（　B　）
A. 米 B. 4 sin α米
C. 米 D. 4 cos α米
B
2. 仰角、俯角
2. （2024·四川中考）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物CD的
高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房AB，小李同学在小楼房楼
底B处测得C处的仰角为60°，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为30°
（AB，CD在同一平面内，点B，D在同一水平面上），则建筑物CD
的高为（　B　）
A. 20米 B. 15米 C. 12米 D. 10＋5 米
B
3. 方向角
3. （2025·河北中考）淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观.如图，西柏坡
位于淇淇家南偏西70°的方向，则淇淇家位于西柏坡的（　D　）
A. 南偏西70°方向 B. 南偏东20°方向
C. 北偏西20°方向 D. 北偏东70°方向
D
4. 坡度（坡比）
坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡度（坡比）.用字母i表示，即i
＝tan α＝ .坡面与水平线的夹角α叫坡角.
4. （2024·广州花都区一模）如图，河堤横断面迎水坡AB的坡度i＝
1∶ ，堤宽AC＝30米，则坡面AB的长度是（　A　）
A. 20 米 B. 30米 C. 10 米 D. 10米
A
【核心考点1】仰角、俯角
1. （2024·长春中考）2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星
搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射.当火箭上升到点A时，位于海
平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为θ，则此时火箭
距海平面的高度AL为（　A　）
A. a sin θ千米 B. 千米
C. a cos θ千米 D. 千米
A
【变式1】（2024·雅安中考）在数学课外实践活动中，某小组测量一栋
楼房CD的高度（如图），他们在点A处仰望楼顶，测得仰角为30°，再
往楼的方向前进50米至点B处，测得仰角为60°，那么这栋楼的高度为
（人的身高忽略不计）（　A　）
变式1图
A. 25 米 B. 25米 C. 25 米 D. 50米
A
【核心考点2】方位角
2. （2025·广州）如图，海中有一小岛A，在点B测得小岛A在北偏东
30°方向上，渔船从点B出发由西向东航行10 n mile到达点C，在点C测
得小岛A恰好在正北方向上，此时渔船与小岛A的距离为（　D　）
A. n mile B. n mile
C. 20 n mile D. 10 n mile
第2题图
D
【变式2】（2025·广州三模）如图，某活动小组为了测量古亭与古柳间
的距离，在古柳A处测得古亭B位于北偏东60°方向，他们向南走50 m
到达点D，测得古亭B位于北偏东45°方向，则古亭与古柳之间的距离
AB的长约为 m.（结果精确到1.参考数据： ≈1.41，
≈1.73）
变式2图
137　
【核心考点3】坡角、坡度
3. 如图是某大坝的横断面，斜坡AB的坡度i＝1∶2，背水坡CD的坡度i
＝1∶1，若坡面CD的长度为6 m，则斜坡AB的长度为 .
（ ≈1.414， ≈2.236，结果精确到0.1）
第3题图
13.4 m　
【变式3】（2025·四川中考）如图，斜坡CD的坡度i＝1∶2，在斜坡上有
一棵垂直于水平面的大树AB，当太阳光与水平面的夹角为60°时，大树
在斜坡上的影子BE的长为10米，则大树AB的高为
米.
变式3图
（4 － 2 ）
4. （2025·达州中考）为了让莲花湖湿地公园的天更蓝，水更清，莲花湖
管委会定期利用无人机指引工作人员清理湖中垃圾.已知无人机悬停在湖
面上的C处，工作人员所乘小船在A处测得无人机的仰角为30°，当工
作人员沿正前方向划行30米到达B处，测得无人机的仰角为45°，则无
人机离湖面的高度为 .（结果不取近似值）
第4题图
米　
5. （2025·内蒙古中考）某校组织一次定向越野拉练活动.如图，点A为
出发点，途中设置两个检查点，分别为点B和点C，行进路线为
A→B→C→A. 点B在点A的南偏东25°方向3 km处，点C在点A的
北偏东80°方向，行进路线AB和BC所在直线的夹角∠ABC为45°，则
检查点B和点C之间的距离为 .（结果保留根号）
第5题图
（3＋ ）km　
6. （2025·广州名校一模）如图，A，B，C，D分别是某公园四个景
点，点B在点A的正东方向，点C在点A的北偏东30°方向，且在点B的
北偏西15°方向，AB＝2千米，BC的长度为 千米.
第6题图
　
7. （2024·广东中考）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转
型作出了巨大贡献.为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电
站，如图是矩形PQMN充电站的平面示意图，矩形ABCD是其中一个停
车位.经测量，∠ABQ＝60°，AB＝5.4 m，CE＝1.6 m，GH⊥CD，
GH是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定.
根据以上信息回答下列问题：（结果精确到0.1 m，参考数据
≈1.73）
（1）求PQ的长；
解：（1）∵四边形PQMN是矩形，
∴∠Q＝∠P＝90°.
在Rt△ABQ中，∠ABQ＝60°，AB＝5.4 m，
∴AQ＝AB· sin ∠ABQ＝ m，∠QAB＝30°.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠BAD＝∠BCD＝∠ABC＝∠BCE＝90°，
解：（1）∵四边形PQMN是矩形，
∴∠Q＝∠P＝90°.
在Rt△ABQ中，∠ABQ＝60°，AB＝5.4 m，
∴AQ＝AB· sin ∠ABQ＝ m，∠QAB＝30°.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠BAD＝∠BCD＝∠ABC＝∠BCE＝90°，
∴∠CBE＝30°，∴BC＝ ＝ m，
∴AD＝ m.
∵∠PAD＝180°－30°－90°＝60°，
∴AP＝AD· cos ∠PAD＝ m，
∴PQ＝AP＋AQ＝ ≈6.1（m）.
∴∠CBE＝30°，∴BC＝ ＝ m，
∴AD＝ m.
∵∠PAD＝180°－30°－90°＝60°，
∴AP＝AD· cos ∠PAD＝ m，
∴PQ＝AP＋AQ＝ ≈6.1（m）.
（2）该充电站有20个停车位，求PN的长.
解：（2）在Rt△BCE中，BE＝ ＝3.2 m，
在Rt△ABQ中，BQ＝AB· cos ∠ABQ＝2.7 m.
∵该充电站有20个停车位，
∴QM＝QB＋20BE＝66.7 m.
∵四边形PQMN是矩形，
∴PN＝QM＝66.7 m.
解：（2）在Rt△BCE中，BE＝ ＝3.2 m，
在Rt△ABQ中，BQ＝AB· cos ∠ABQ＝2.7 m.
∵该充电站有20个停车位，
∴QM＝QB＋20BE＝66.7 m.
∵四边形PQMN是矩形，
∴PN＝QM＝66.7 m.(共24张PPT)
第五章　三角形
第20讲　相似三角形
1. 了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上
的实例了解黄金分割.
2. 通过具体实例认识图形的相似，了解相似多边形和相似比.
3. 掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成
比例.
4. 了解相似三角形的判定定理、性质定理.
5. 了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小.
6. 会利用图形的相似解决一些简单的实际问题.
1. 比例线段
对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段长度的比与另两条线段
长度的比相等，即a∶b＝c∶d，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比
例线段.
1. （2024·长宁区一模）已知线段a，b，c，d是成比例线段，如果a＝
1，b＝2，c＝3，那么d的值是（　B　）
A. 8 B. 6 C. 4 D. 1
B
2. 平行线分线段成比例定理
（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
（2）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的
对应线段成比例.
2. （2025·乐山中考）如图，l1∥l2∥l3，AB＝2，DE＝3，BC＝4，则
EF的长为（　B　）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
B
3. 相似多边形的定义及性质
（1）相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相
等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的
比叫做相似比.
（2）相似多边形的性质：对应角相等、对应边成比例.
3. （2024·连云港中考）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部
分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似图形的为（　D　）
甲 乙 丙 丁
A. 甲和乙 B. 乙和丁
C. 甲和丙 D. 甲和丁
D
4. 相似三角形的性质
（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于
相似比.
（2）相似三角形对应线段的比等于相似比.
（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方.
4. （2025·广州中考）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC
上，DE∥BC，若 ＝ ，则 ＝ 　 　.
　
5. 相似三角形的判定
（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三
角形相似.
（2）三边成比例的两个三角形相似.
（3）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
（4）两角分别相等的两个三角形相似.
5. （2024·滨州中考）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC
上.添加一个条件使△ADE∽△ACB，则这个条件可以是
.（写出一种情况即可）
∠ADE＝∠C
（答案不唯一）　
6. 位似多边形
对于两个多边形，如果它们的对应顶点的连线相交于一点，并且这点与
对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就是位似多边形.这个点叫
做位似中心，位似图形不仅相似，而且具有特殊的位置关系，此时相似
比称为位似比.
6. （2024·凉山中考）如图，一块面积为60 cm2的三角形硬纸板（记为
△ABC）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1.
若OB∶BB1＝2∶3，则△A1B1C1的面积是（　D　）
A. 90 cm2 B. 135 cm2
C. 150 cm2 D. 375 cm2
D
【核心考点1】平行线分线段成比例
1. （2025·哈尔滨中考）如图，AC，BD相交于点O，AB∥DC，M是
AB的中点，MN∥AC，交BD于点N，若DO∶OB＝1∶2，AC＝12，则
MN的长为（　B　）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
第1题图
B
【变式1】（2025·河南中考）如图所示的网格中，每个小正方形的边长
均为1，△ABC的三个顶点均在网格线的交点上，点D，E分别是边
BA，CA与网格线的交点，连接DE，则DE的长为（　B　）
变式1图
A. B. 1 C. D.
B
【核心考点2】相似三角形的性质与判定
2. （2025·广州名校二模）如图，E是 ABCD的边CD的延长线上一
点，且CD＝2DE，BE与AC相交于点F，则 的值是（　A　）
A. B. C. D.
第2题图
A
【变式2】（2025·河北中考）如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延
长BA，BC，分别交直线DE于点M，N. 若添加下列一个条件后，仍
无法判定△MAE∽△DCN，则这个条件是（　D　）
变式2图
A. ∠B＋∠4＝180° B. CD∥AB
C. ∠1＝∠4 D. ∠2＝∠3
D
【核心考点3】位似与作图
3. （2025·眉山中考）如图，在4×3的方形网格中，每个小正方形的边长
均为1，将△OAB以点O为位似中心放大后得到△OCD，则△OAB与
△OCD的周长之比是（　B　）
A. 2∶1 B. 1∶2 C. 4∶1 D. 1∶4
B
【变式3】（2025·广州名校模拟）在平面直角坐标系中，△ABC的三个
顶点分别为A（1，2），B（2，1），C（3，2），现以原点O为位似
中心，作与△ABC的位似比为2的位似图形△A'B'C'，则顶点C'的坐标是
（　C　）
A. （6，4） B.
C. （6，4）或（－6，－4） D. 或
C
4. （2025·深圳一模）如图，已知在平行四边形ABCD中，E是AD上一
点，且△AEF的面积与△BFC的面积比是1∶9，S△AEF＝2cm2，则四边形
EFCD的面积为 .
第4题图
22cm2　
5. 边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直
线上（如图），则图中阴影部分的面积为 .
第5题图
15　
6. 在矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN＝
AB＝1.当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长
为 .
2或 ＋1　
7. 如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB＝
∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E.
（1）求证：AC⊥BD；
解：（1）证明：∵∠CAB＝∠ACB，
∴AB＝CB，∴ ABCD是菱形，
∴AC⊥BD.
解：（1）证明：∵∠CAB＝∠ACB，
∴AB＝CB，∴ ABCD是菱形，
∴AC⊥BD.
（2）若AB＝10，AC＝16，求OE的长.
解：（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝ AC＝8.
∵AC⊥BD，BE⊥AB，
∴∠AOB＝∠BOE＝∠ABE＝90°，
∴OB＝ ＝6.
∵∠EBO＋∠BEO＝90°，∠ABO＋∠EBO＝90°，
∴∠BEO＝∠ABO，
∴△EBO∽△BAO，
∴ ＝ ，即 ＝ ，解得OE＝ .
7. 如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB＝
∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E.
8. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC
上，且∠FAC＝∠ADE，AC＝AD.
（1）求证：DE＝AF；
证明：（1）∵AD∥BC，∴∠ACF＝∠DAC.
又∵∠FAC＝∠ADE，AC＝AD，
∴△ACF≌△DAE. ∴DE＝AF.
证明：（1）∵AD∥BC，∴∠ACF＝∠DAC.
又∵∠FAC＝∠ADE，AC＝AD，
∴△ACF≌△DAE. ∴DE＝AF.
（2）若∠ABC＝∠CDE，求证：AF2＝BF·CE.
证明：（2）由（1），得△ACF≌△DAE，
∴∠AFC＝∠DEA，
∴∠AFB＝∠DEC.
又∵∠ABC＝∠CDE，
∴△ABF∽△CDE，
∴ ＝ ，
∴AF·DE＝BF·CE.
∵DE＝AF，
∴AF2＝BF·CE.
8. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC
上，且∠FAC＝∠ADE，AC＝AD.(共24张PPT)
第五章　三角形
第21讲　锐角三角函数
1. 利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数，知道30°，
45°，60°角的三角函数值.
2. 会利用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它
对应的锐角.
1. 正弦、余弦、正切的概念
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果锐角A确定，那么∠A的对边
与斜边的比也随之确定.
（1）∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 sin A，即 sin A＝ .
（2）∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作 cos A，即 cos A＝ .
（3）∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tan A，即tan A＝ .
1. （1）（2024·云南中考）如图，在△ABC中，若∠B＝90°，AB＝
3，BC＝4，则tan A＝（　C　）
A. B. C. D.
第（1）题图
C
（2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，AB的垂直平分
线MN交AC于点D，连接BD. 若 cos ∠BDC＝ ，则BC的长是
（　D　）
第（2）题图
A. 1 cm B. 2 cm C. 3 cm D. 4 cm
D
（3）（2024·临夏中考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5， sin B＝ ，
则BC的长是（　B　）
第（3）题图
A. 3 B. 6 C. 8 D. 9
B
2. 特殊角的三角函数值
30° 45° 60°
sin α
cos α
tan α
　
　
　
　
　
　
　
1　
　
2. （2024·内蒙古包头期末）下列运算中，值为 的是（　B　）
A. sin 45°× cos 45° B. tan 45°－ cos 230°
C. D. （tan 60°）－1
B
3. 锐角三角函数之间的关系
同一锐角的三角函数之间的关系：
（1） sin 2A＋ cos 2A＝1.（2） ＝tan A.
3. 在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝2，则 cos A的值为（　A　）
A. B. C. D. 2
A
【核心考点1】特殊三角函数值计算
1. 计算： ＋tan 45°＋（－1 －2 sin 60°.
解：原式＝3＋1－1－2×
＝3－ .
解：原式＝3＋1－1－2×
＝3－ .
【变式1】（2025·南充中考）计算：（π－2 025）0＋ －4 sin 45°－
＋2tan60°.
解：原式＝1＋2 －4× －2＋2
＝1＋2 －2 －2＋2
＝2 －1.
解：原式＝1＋2 －4× －2＋2
＝1＋2 －2 －2＋2
＝2 －1.
【核心考点2】三角函数的概念及简单应用
2. （2024·广州越秀区一模）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角
形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝40 cm，则高AD
为 cm.（参考数据： sin 27°≈0.45， cos 27°≈0.89，tan
27°≈0.51）
第2题图
10.2　
【变式2】（2024·广州越秀区二模）在正方形网格中，∠AOB如图放
置，则 cos ∠AOB的值为（　A　）
变式2图
A. B. C. D. 2
A
【变式3】（2024·广州增城区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝
90°，AC＝12，BC＝5，CD是△ABC的高，则 cos ∠BCD的值是
（　A　）
变式3图
A. B. C. D.
A
【核心考点3】三角函数的综合运用
3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为边BC上的中线，DE⊥AB于
点E.
（1）求证：△ADE∽△ABD；
解：（1）证明：∵AB＝AC，AD为边BC上的中线，
∴BD＝CD，AD⊥BC.
又∵DE⊥AB，∴∠DEA＝∠BDA＝90°.
又∵∠EAD＝∠DAB，
∴△ADE∽△ABD.
解：（1）证明：∵AB＝AC，AD为边BC上的中线，
∴BD＝CD，AD⊥BC.
又∵DE⊥AB，∴∠DEA＝∠BDA＝90°.
又∵∠EAD＝∠DAB，
∴△ADE∽△ABD.
（2）若AB＝13，BC＝10，求AE的长；
解：（2）由（1），得BD＝CD＝ BC＝5，AD⊥BC.
在Rt△ABD中，AD＝ ＝12.
∵△ADE∽△ABD，
∴ ＝ ，即 ＝ .
∴AE＝ .
解：（2）由（1），得BD＝CD＝ BC＝5，AD⊥BC.
在Rt△ABD中，AD＝ ＝12.
∵△ADE∽△ABD，
∴ ＝ ，即 ＝ .
∴AE＝ .
3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为边BC上的中线，DE⊥AB于
点E.
（3）在（2）的条件下，求tan∠ADE的值.
解：（3）∵△ADE∽△ABD，∴∠ADE＝∠B.
∴tan∠ADE＝tan B＝ ＝ .
解：（3）∵△ADE∽△ABD，∴∠ADE＝∠B.
∴tan∠ADE＝tan B＝ ＝ .
3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为边BC上的中线，DE⊥AB于
点E.
4. （2025·苏州中考）如图，∠MON＝60°，以O为圆心，2为半径画
弧，分别交OM，ON于A，B两点，再分别以A，B为圆心， 为半
径画弧，两弧在∠MON内部相交于点C，作射线OC，连接AC，BC，
则tan∠BCO＝ .（结果保留根号）
第4题图
　
5. （2025·威海中考）如图，点A在反比例函数y＝ 的图象上，点B在
反比例函数y＝－ 的图象上，连接OA，OB，AB. 若AO⊥BO，则
tan∠BAO＝ .
第5题图
　
6. （2025·广东中考）如图，在矩形ABCD中，E，F是BC边上的三等
分点，连接DE，AF相交于点G，连接CG. 若AB＝8，BC＝12，则
tan∠GCF的值是（　B　）
A. B. C. D.
第6题图
B
7. （2025·陕西中考）如图，点O在△ABC的边AC上，以OC为半径的
☉O与AB相切于点D，与BC相交于点E，EF为☉O的直径，FD与AC
相交于点G，∠F＝45°.
（1）求证：AB＝AC；
解：（1）证明：如图，连接OD，
∵以OC为半径的☉O与AB相切于点D，
∴OD⊥AB.
∵∠F＝45°，
∴∠DOE＝2∠F＝90°，即EF⊥OD，
∴AB∥EF，
∴∠OEC＝∠B.
∵OE＝OC，
∴∠C＝∠OEC，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC；
（2）若 sin A＝ ，AB＝8，求DG的长.
解：（2）∵AB＝8，AB＝AC，
∴AC＝8，
设☉O的半径为r，
∴AO＝8－r，OD＝r，
而∠ADO＝90°， sin A＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
解：（2）∵AB＝8，AB＝AC，
∴AC＝8，
设☉O的半径为r，
∴AO＝8－r，OD＝r，
而∠ADO＝90°， sin A＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
7. （2025·陕西中考）如图，点O在△ABC的边AC上，以OC为半径的
☉O与AB相切于点D，与BC相交于点E，EF为☉O的直径，FD与AC
相交于点G，∠F＝45°.
解得r＝3，
∴OF＝OD＝3，AO＝5，AD＝ ＝4.
∵OD⊥EF，则∠DOF＝90°，
∴DF＝ ＝3 .
∵EF∥AB，
∴△OFG∽△ADG，
∴ ＝ ＝ ，
∴DG＝ DF＝ ×3 ＝ .
解得r＝3，
∴OF＝OD＝3，AO＝5，AD＝ ＝4.
∵OD⊥EF，则∠DOF＝90°，
∴DF＝ ＝3 .
∵EF∥AB，
∴△OFG∽△ADG，
∴ ＝ ＝ ，
∴DG＝ DF＝ ×3 ＝ .

展开更多......

收起↑