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新人教版数学8年级下册培优备课课件
20.1.3 利用勾股定理计算、作图
第二十章 勾股定理
授课教师： Home .
班 级： .
时 间：2026年01月18日 .
1．会利用勾股定理在数轴上作出表示无理数的点，及能够利用勾股定理进行几何作图．（重点）
2．熟练运用勾股定理解决与几何图形相关的计算问题，如等腰三角形、矩形等图形中的边长计算．（难点）
问题1 如果要证明两个直角三角形全等，可以用哪些方法？
一般三角形均可用 SSS，SAS，ASA，AAS，
还有一个是只有直角三角形可用的HL.
问题2 你还记得我们是怎么得出HL这个判定方法的吗？
我们是用尺规作图的方法，确定了一条直角边， 一条斜边的长度，画出唯一确定的直角三角形.
思考 在八年级上册中，我们曾经通过探究得出结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？
先画出图形，再写出已知、求证如下：
已知：如图，在Rt△ABC 和Rt△ABC 中，
∠C = ∠C= 90°，AB = AB，AC = AC.
求证：△ABC≌△ABC.
证明：在 Rt△ABC 和 Rt△ABC中，
∠C = ∠C= 90°，
根据勾股定理，
BC = ，BC= .
又 AB = AB，AC = AC，
∴ BC = BC，
∴ △ABC≌△ABC (SSS).
A
B C
A′
B′ C′
同学们，之前的学习我们就知道“实数都可以用数轴上的点表示”，但你有没有想过 —— 像、这种无理数，怎么在数轴上表示呢？
问题 你能在数轴上画出表示 的点吗？
1
1
返回
A
1.
如图，在数轴上点A′表示的实数是(　　)
返回
2.
D
[2025杭州月考]如图，A(4，0)，C(－1，0)，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，连接AB，则点B的坐标是(　　)
A．(0，5)
B．(5，0)
C．(3，0)
D．(0，3)
探究 我们知道，任何一个实数都可以用数轴上的一个点表示，
你能在数轴上画出表示 的点吗？
斜边==.
构造斜边为的直角三角形.
3
2
探究 我们知道，任何一个实数都可以用数轴上的一个点表示，
你能在数轴上画出表示 的点吗？
如图，O为数轴原点，首先在数轴上找出表示3的点A,则OA=3.然后过点A作直线l垂直于OA,在l上取点B,使AB=2.最后以原点O为圆心，OB长为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点C即为表示的点.
B
O
A
l
C
3.
返回
类似地，利用勾股定理，可以画出长为，，，…的线段（如图）.
如图，当直角三角形的两条直角边长都为1时，斜边长，即1 + 1 = () ；当两条直角边长分别为 1，时，斜边长为 ，即 1 + () = () ；以此类推，可以画出长为，，， 的线段.
按照相同的方法，还可以在数轴上画出表示，，，，，…的点（如图）.
如图，构造两条直角边长都是1的直角三角形，用勾股定理得到斜边的长为，再用圆规截取的方法画出在数轴上的对应点；构造两直角边长分别为，1的直角三角形，用勾股定理得到斜边的长为，再用圆规截取的方法画出在数轴上的对应点…以此规律可以在数轴上表示出，，，.
例 在数轴上画出表示 的点.
解：∵ 1 + 3 = 10，
∴ 直角边长分别为 1，3 的直角三角形的
斜边长为.
如图所示.
(1) 画出数轴，在数轴上找出表示 3 的点A，则OA = 3；
(2) 过点A作直线 l 垂直于数轴，在l上取点B，使AB = 1；
(3) 连接OB，以点O为圆心，OB长为半径作弧，弧与数轴的正半轴交于点C，点C即为表示的点.
在数轴上画表示无理数的点的步骤
一拆分：把无理数的平方拆分为两个整数的平方和.
二构造：以原点为直角三角形的锐角顶点且其中一条直角边与数轴重合，构造直角三角形.
三画弧：以原点为圆心，斜边长为半径画弧.
跟踪训练 如图，在△ABC中，∠ACB =90°，BC =2，AC = 1，BC在数轴上，以点B为圆心，AB的长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数是（ ）
A.2- B. C. D.
A
1.在数轴上画出表示的点.
解：如图所示.
返回
4.
B
如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝18，将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为EF，则BE的长度为(　　)
A．6
B．10
C．24
D．48
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5.
D
如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为6和8，则b的面积为(　　)
A．6
B．8
C．10
D．14
2.如图，等边三角形ABC的边长为6，求：
(1)高AD；(2)等边三角形ABC的面积.
A
B D C
解：(1) 在Rt△ADC 中，根据勾股定理，
AD = AC - CD = AC - ( BC) .
∵ AC = 6，BC = 6，
∴ AD = 6 - ( × 6) = 27，
∴ AD = 3.
(2) S△ABC = BC·AD = × 6 × 3= 9.
3. 如图，AD是△ABC的边BC上的高. 分别以线段AB，AC，BD，CD为边向外作正方形，正方形的面积分别为S ，S ，S ，S .请写出关于 S ，S ，S ，S 的等式.
解：在Rt△ACD 中，根据勾股定理，
AD = AC - CD = S - S .
在Rt△ABD 中，根据勾股定理，
AD = AB - BD = S - S .
所以 S - S = S - S .
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6.
B
返回
7.
B
返回
8.
C
[2025西安二模]如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上，则点B到线段AC的距离为(　　)
返回
9.
解：如图．(画法不唯一)
返回
10.
B
如图，正方形ABCD的面积为3，AB在x轴的正半轴上，以A(1，0)为圆心，AC的长为半径作圆弧交x轴负半轴于点E，则点E的横坐标是(　　)
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11.
返回
12.
[2025青岛模拟]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，D是边AC的中点，E是边BC上一点，连接BD，DE．将△CDE沿DE翻折，点C落在BD上的点F处，则CE＝________．
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13.
＜
14.
解：如图①.(画法不唯一)
(8分)如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫作格点．
(1)在图①中以格点为顶点画出一个面积为13的正方形；
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15.
(12分) 如图①，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB＝2，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．
(1)用含x的代数式表示AC＋CE的长为________________________；
(2)AC＋CE的最小值为________；
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利用勾股定理作图与计算
在数轴上表示出无理数的点
利用勾股定理解决网格中的问题
利用勾股定理解决折叠问题及其他图形的计算
通常与网格求线段长或面积结合起来
方程思想

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