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新人教版数学8年级下册培优备课课件
20.1.1 勾股定理及其验证
第二十章 勾股定理
授课教师： Home .
班 级： .
时 间：2026年01月18日 .
1．经历勾股定理的探索过程，感受数形结合的思想．
3．尝试用多种方法验证勾股定理，体验解决问题策略的多样性．（难点）
2．掌握勾股定理，会运用勾股定理解决一些与直角三角形有关的问题．（重点）
直角三角形作为一种特殊的三角形，它的三个角满足其中一个角是直角、其余两个角互余，对于直角三角形的三条边，它们之间有什么特殊关系呢？
在《周髀算经》的开篇，商高（约公元前11世纪）构造了一个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形，并指出“两矩共长二十有五”，意指分别以勾、股为边的正方形的面积之和，恰好等于以弦为边的正方形的面积.
3
5
4
商高所指的面积关系可以用图形表示.如图，红色直角三角形的三边长分别为3，4，5，分别以这三边为边向外作正方形，所得正方形的面积分刚为9，16，25，且9+16=25. 从边的角度看，这个直角三角形的三边满足：两条直角边长的平方和等于斜边长的平方.
其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系？
探究 如图 ,每个小方格的面积均为 1,图中正方形 A ,B ,C 的面积之间有什么关系？A ,B ,C 呢？A ,B ,C 呢？
探究 如图 ,每个小方格的面积均为 1,图中正方形 A ,B ,C 的面积之间有什么关系？A ,B ,C 呢？A ,B ,C 呢？
SA =_________,SB =_________,SC =_________,
面积之间的关系：
______________________________.
1
4
5
SA +SB =SC
S正方形-4×S直角三角形
=3×3-4××1×2=5.
探究 如图 ，每个小方格的面积均为 1，图中正方形 A ，B ，C 的面积之间有什么关系？A ,B ,C 呢？A ,B ,C 呢？
SA =_________,SB =_________,SC =_________,
面积之间的关系：
______________________________.
4
9
13
SA +SB =SC
S正方形-4×S直角三角形
=5×5-4××2×3=13.
探究 如图 ，每个小方格的面积均为 1，图中正方形 A ,B ,C 的面积之间有什么关系？A ,B ,C 呢？A ,B ,C 呢？
SA =_________,SB =_________,SC =_________,
面积之间的关系：
______________________________.
9
25
34
SA +SB =SC
S正方形-4×S直角三角形
=8×8-4××3×5=34.
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9
1.
如图为由边长为1的小正方形组成的网格，三个正方形A，B，C的顶点都在格点上，SA＝________，SB＝________，SC＝________，三个正方形面积间的关系可用式子表示为________________．
25
34
SA＋SB＝SC
探究 以格点为顶点，在方格纸中任意画一个直角三角形，类似地作出三个正方形，这三个正方形的面积有什么关系？由此，你能得出关于直角三角形三边关系的猜想吗？
SA4=_________,SB4=_________,SC4=________,
面积之间的关系：
______________________________.
4
16
20
SA4+SB4=SC4
S正方形-4×S直角三角形
=6×6-4××2×4=20.
A4
B4
C4
可以发现，以直角三角形两条直角边为边的正方形的面积之和，等于以斜边为边的正方形的面积.由此我们猜想（如图）：
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 a2+b2=c2.
符号语言 ：
如图，在Rt△ABC中， ∠C = 90°，
∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，
则 a2+b2=c2.
a
b
c
2.
(4分)如图是用硬纸板做成的四个直角边长分别为a，b，斜边长为c的直角三角形和一个边长为c的正方形所拼成的图形．请利用这个图形证明勾股定理．
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例1 如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长.
解：(1)在Rt△ABC中，根据勾股定理
= 100，
所以AB = 10.
例1 如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长.
解： (2)在Rt△DEF中，根据勾股定理，，
从而，
所以DE = 8.
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3.
C
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，则BC的长为(　　)
A．2
B．4
C．8
D．9
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4.
B
如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AB＝2，则AD的长为(　　)
思考 你会证明勾股定理吗？
证明这个猜想的方法有很多，下面介绍我国古代数学家赵爽（约 3 世纪）的证法.
如图，这个图案是赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”. 赵爽根据此图指出，四个全等的直角三角形（红色）可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形（黄色）.
黄实
朱实
朱实
朱实
朱实
B
a
A
c
b
(1)
(2)
a
b
c
(3)
赵爽利用弦图证明这个猜想的基本思路如下：
如图 (1)，把边长分别为a，b的两个正方形连在一起，它的面积是a. 这两个正方形还可以分割成四个全等的直角三角形（红色）和一个正方形（黄色）.
a
(1)
(2)
a
b
c
(3)
把图 (1) 中左、右两个三角形移到图 (2) 中所示的位置，就会形成一个以 c 为边长的正方形（图 (3)），它的面积是.
因为图 (1) 与图 (3) 都由四个全等的直角三角形（红色）和一个正方形（黄色）组成，所以它们的面积相等，即a
a
在西方，人们称勾股定理为毕达哥拉斯定理.
由图(1)得大正方形的面积 = c + 4 ×ab，
由图(2)得大正方形的面积 = a + b + 4 × ab，
联立两式易得 a + b = c .
刘徽 “青朱出入图”.
设大正方形的面积为S，则 S = c .
根据“出入相补，以盈补虚”的原理，得
S = a + b ，所以 a + b = c .
加菲尔德总统拼图.
设梯形的面积为 S，则
S = (a + b)(a + b) = a + b + ab.
因为 S = ab + ab + c = c + ab，
所以 a + b = c .
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5.
B
[教材P26练习T3变式]已知平面直角坐标系中有两点A(－3，0)，B(0，－2)，则A，B两点之间的距离是(　　)
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6.
B
如图，AB＝BC＝CD＝2，且BC⊥AB，CD⊥AC，则线段AD的长为(　　)
例2 如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，Rt△ADE与Rt△AGE全等，Rt△BFE与Rt△BGE全等，BC=a，AC=b，AB=c，在正方形DEFC中，DE=EF=CF=CD=x.
小明发现了一种求正方形DEFC边长的方法：
由题意可得BF=BG=a-x，AD=AG=b-x.
∴ AB=BG+AG，
∴ a-x + b-x = c，
解得 x = .
(1) 小亮也发现了一种求正方形 DEFC 边长的方法：连接 CE，利用S△ABC= S△AEB+ S△AEC+ S△BEC可以得到x与a,b,c的关系.请根据小亮的思路完成他的求解过程.
解：（1）如图 ，连接 EC. 由题意可得，ED = EG = EF = x，
∴ S△AEB = cx，S△AEC = bx，S△BEC = ax.
∴ S△ABC= S△AEB+ S△AEC+ S△BEC，
∴ ab = cx + bx + ax，
∴ (a+b+c) x = ab，
∴ x = .
(2) 请结合小明和小亮得到的结果验证勾股定理.
(2) 由小明和小亮所得结果知，
= ，
∴ (a + b + c)(a + b - c) = 2ab，
∴ (a + b) - c = 2ab，
∴ (a + b) - 2ab = c ，
∴ a + b + 2ab - 2ab = c ，
即 a + b = c .
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7.
72
在Rt△ABC中，斜边BC＝6，则BC2＋AB2＋AC2的值为________．
8.
(8分)[教材P25练习T1变式]在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c．
(1)已知b＝2，c＝3，求a的值；
解：设a＝3x，则c＝5x.∵a2＋b2＝c2，
∴(3x)2＋322＝(5x)2，解得x＝8(负值已舍去)．
∴3x＝24，5x＝40，即a＝24，c＝40.
(2)已知a∶c＝3∶5，b＝32，求a，c的值．
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9.
B
如果直角三角形两边长分别为3和4，那么这个三角形的第三边的长是(　　)
返回
10.
B
如图，先以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，再以Rt△ABC的三边为直径向外作半圆，记三个半圆的面积分别为S1，S2，S3，相应的三个正方形的面积分别为S1′，S2′，S3′，则下列关系式中正确的是(　　)
A．S1′＋S3′＝2S2′ B．S1＋S2＝S3
C．S1＋S2>S3 D．S1′返回
11.
8
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12.
[2025东营中考改编]如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S2 026的值为______．
13.
(8分)[2025保定期中]如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，E为AC上一点，AB＝AE，连接DE．若BD＝5，CD＝13，求AE的长．
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14.
(8分)勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪灵感．他发现：当两个全等的直角三角形如图①或图②所示摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理．
下面是小聪利用图①证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图①所示的方式摆放，其中∠DAB＝90°．求证：a2＋b2＝c2．
请参照上述证法，利用图②完成勾股定理的证明．
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勾股定理
内容
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 a2+b2=c2.
证明
赵爽弦图
青朱出入图
加菲尔德总统拼图
利用勾股定理进行计算
应用

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