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新人教版数学8年级下册培优备课课件20.2.1勾股定理的逆定理第二十章勾股定理授课教师：Home .班级：.时间：. 图中给出了确定直角的一种方法： 把一根长绳打上等距离的13个结， 然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长， 用木桩将长绳钉成一个三角形，其中一个角便是直角.
上述方法意味着： 如果围成三角形的三边长分别为3，4，5， 它们满足关系“ 32 + 42 = 52 ”， 那么围成的三角形是直角三角形.
一般地，满足两条边长的平方和等于第三条边长的平方的三角形是不是直角三角形呢？
观察
画一画，如果三角形的三边长分别为 2.5 cm，6 cm，6.5 cm，它们满足关系“2.5 + 6 = 6.5 ”，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边长分别为 4 cm，7.5 cm，8.5 cm，再试一试.
由上面的尝试，我们猜想：
如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a + b = c ，那么这个三角形是直角三角形.
这个猜想就是勾股定理的逆命题.
怎么证明这个猜想呢？
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B
1.
以下列各组数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是(　　)
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2.
B
在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边的长分别为a，b，c．若a，b，c满足b2＝a2＋c2，则(　　)
A．∠A＝90°
B．∠B＝90°
C．∠C＝90°
D．无法确定
如图 (1)，已知 △ABC 的三边长分别为 a，b，c，满足 a + b = c . 求证 △ABC 是直角三角形.
分析：直接证明△ABC是直角三角形比较困难.回顾已经学过的知识，可以作一个两条直角边长分别为a，b的直角三角形，如果能证明△ABC与所作的直角三角形全等，那么就能证明△ABC是直角三角形.
A
B
C
c
a
b
(1)
如图 (2)，作一个Rt△A'B'C'，使 B'C' = a，A'C' = b，∠C' = 90°.
根据勾股定理，A'B' = B'C' + A'C' = a + b .
因为 a + b = c ，所以 A'B' = c.
在 △ABC 和 △A'B'C' 中，
BC = a = B'C'，
AC = b = A'C'，
AB = c = A'B'，
∴ △ABC ≌△A'B'C' (SSS).
∴ ∠C = ∠C' = 90°，
即 △ABC 是直角三角形.
A
B
C
c
a
b
(1)
C′
B′
A′
a
b
c
(2)
这样，我们证明了勾股定理的逆命题是正确的，它也是一个定理.这个定理叫作勾股定理的逆定理.它是判定直角三角形的一个依据.
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足
a + b = c ，那么这个三角形是直角三角形.
例1 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：
(1) a = 8，b = 15，c = 17；
(2) a = 14，b = 13，c = 15.
分析：根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要判断两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
例1 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：
(1) a = 8，b = 15，c = 17；
(2) a = 14，b = 13，c = 15.
解：(1) 因为 8 + 15 = 64 + 225 = 289，
17 = 289，
所以 8 + 15 = 17 .
根据勾股定理的逆定理，由线段 a，b，c 组成的三角形是直角三角形.
例1 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：
(1) a = 8，b = 15，c = 17；
(2) a = 14，b = 13，c = 15.
解：(2) 因为 14 + 13 = 196 + 169 = 365，
15 = 225，
所以 14 + 13 ≠ 15 .
根据勾股定理，由线段 a，b，c 组成的三角形不是直角三角形.
对于(2)，如果这个三角形是直角三角形，那么根据勾股定理应有a + b = c .事实上，上式不成立.因此，这个三角形不是直角三角形.
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3.
D
已知在△ABC中，BC＝a，AB＝c，AC＝b，则下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的是(　　)
A．∠A＝∠B＋∠C
B．(a＋b)(a－b)＝c2
C．a ： b ： c＝3：4 ： 5
D．∠A ： ∠B ： ∠C＝3 ： 4 ： 5
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4.
C
如图，点E在边长为5的正方形ABCD内，测得CE＝3，DE＝4，则阴影部分的面积是(　　)
A．12
B．16
C．19
D．25
是一组勾股数
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即在 a + b = c 中，当a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数.
9，40，41
92+402=1 681
412=1 681
92+402= 412
两个较小数的平方和等于最大数的平方.
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5.
90
如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点D，BD＝2，则
∠ACB＝________°．
勾股数的特征
(1)常见的勾股数有：
①3，4，5；②5，12，13；③6，8，10；④8，15，17；
⑤7，24，25；⑥9，12，15.
(2)勾股数有无数组.
(3)一般地，如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck (k为正整数)也是一组勾股数，如3，4，5是勾股数，则6，8，10和9，12，15也是勾股数.
6.
解：∵72＋242＝252，
∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形．
(12分)根据下列条件，分别判断以a，b，c为边的三角形是不是直角三角形．
(1)a＝7，b＝24，c＝25；
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7.
C
下列各组数中，是勾股数的是(　　)
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8.
B
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9.
D
有下列几组数：①9，12，15；②8，15，17；③n2－1，2n，n2＋1(n是大于1的整数)．其中是勾股数的有(　　)
A．0组
B．1组
C．2组
D．3组
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10.
D
若△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足(c2－b2)(c2＋b2－a2)＝0，则△ABC的形状为(　　)
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
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11.
B
已知M，N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，先以点A为圆心，AN的长为半径画弧；再以点B为圆心，BM的长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
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12.
D
如图，在四边形ABCD中，∠A＝60°，AB＝AD＝6，BC＝8，CD＝10，则∠ABC的度数为(　　)
A．105°
B．120°
C．135°
D．150°
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13.
C
有五根小木棒，其长度(单位：cm)分别为8，9，12，15，17，现将它们摆成两个直角三角形，下列摆放正确的是(　　)
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14.
11，60，61
[2025扬州中考]清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为__________．
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15.
2
[2025天津期中]如图，已知AD∥BC，以B为圆心，BC的长为半径画弧，与射线AD相交于点E，连接BE，过点C作CF⊥ BE，垂足为F．若AB＝6，AE＝8，BE＝10，则EF＝________．
16.
证明：连接BE，∵D是AB边的中点，
DE⊥AB，∴DE垂直平分AB，∴AE＝BE.
又∵AE2－CE2＝BC2，∴BE2－CE2＝BC2，
即BE2＝BC2＋CE2，∴△BCE是直角三角形，且∠C＝90°.
(8分)如图，在△ABC中，D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，交AC于点E，且AE2－CE2＝BC2．　
(1)求证：∠C＝90°；
(2)若DE＝6，BD＝8，求CE的长．
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17.
(8分)如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝60°，点P为△ABC内一点，将CP绕点C顺时针旋转60°得到CD，连接AD．若PA＝10，PB＝6，PC＝8时，求∠BPC的度数．
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解：连接DP，由旋转得∠DCP＝60°＝∠ACB，CD＝CP，
∴∠ACB－∠ACP＝∠DCP－∠ACP，即∠ACD＝∠BCP.
又∵AC＝BC，∴△ACD≌△BCP，∴∠BPC＝∠ADC，
AD＝PB＝6. ∵∠DCP＝60°，CD＝CP，
∴△DCP是等边三角形，∴∠CDP＝60°，DP＝CP＝8.
∵AP＝10，∴AD2＋DP2＝AP2，
∴△ADP是直角三角形，且∠ADP＝90°，
∴∠ADC＝∠ADP＋∠CDP＝150°，∴∠BPC的度数为150°.
勾股定理
的逆定理
作用
从三边数量关系判定一个三角形是否是直角三角形
内容
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2，
那么这个三角形是直角三角形
勾股数
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即在 a + b = c 中，当a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数

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