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新人教版数学8年级下册培优备课课件20.2.2勾股定理及其逆定理的综合应用第二十章勾股定理授课教师：Home .班级：.时间：.李叔叔想要检测雕塑底座正面的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺．
（1）你能替他想办法完成任务吗？
连接对角线AC，BD，只要分别量出AB，BC，AC，AD和BD的长度即可．
若AB2＋BC2＝AC2，
则△ABC为直角三角形．
同理可得到△ABD为直角三角形．
（2）李叔叔量得AD长是30 cm，AB长是40 cm，BD长是50 cm．
AD边垂直于AB边吗？
解：因为AD2＋AB2＝302＋402＝2500＝BD2，
所以△ABD是直角三角形，∠A＝90°．
所以AD边垂直于AB边．
（3）小明随身只有一个长度为20 cm的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？
当刻度尺较短时，有很多办法，
如利用分段相加的方法量出AB，AD和BD的长度，
或在AB，AD边上各量一段较小长度，再去量以它们为边的三角形的第三边，
从而可根据勾股定理的逆定理得到结论．
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不垂直
1.
一根电线杆高12 m，为了安全起见，在电线杆顶部及与电线杆底部水平距离5 m处之间加一根拉线．拉线工人发现所用线长为13．2 m(不计捆缚部分)，则电线杆与地面________(填“垂直”或“不垂直”)．
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2.
A
[教材P36例2变式][2025广州期中]如图，某港口C在南北方向的海岸线上，甲、乙两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向匀速航行，已知甲、乙两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点A，B处，且相距26海里，如果知道甲船沿北偏西50°方向航行，那么乙船航行的方向为(　　)
A．南偏西40° B．北偏西40°
C．南偏西50° D．北偏西50°
例1 如图，港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口1.5h 后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile. 如果“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？
分析：在图中可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果能求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“海天”号的航向了.
1
2
N
E
P
Q
R
例1 如图，港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口1.5h 后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile. 如果“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？
1
2
N
E
P
Q
R
解：根据题意，PQ = 16 × 1.5 = 24，
PR = 12 × 1.5 = 18，QR = 30.
因为 24 + 18 = 30 ，即 PQ + PR = QR ，
所以 ∠QPR = 90°.
由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1 = 45°.
因此 ∠2 = 45°，即“海天”号沿西北方向航行.
3.
(12分)如图，社区有一块面积为500 m2的正方形空地ACDE，空地的B处有一个凉亭，BC，AB为两条小路，现在△ABC内种植月季花，其余地方种植郁金香(小路的宽度不计)，测得AB＝10 m，BC＝20 m．
(1)求正方形空地的边CD的长；
解：∵AB＝10 m，BC＝20 m，
∴AB2＝100，BC2＝400，
∵AC2＝CD2＝500，
∴AB2＋BC2＝AC2，∴∠ABC＝90°.
(2)求∠ABC的度数；
(3)求郁金香的种植面积．
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例2 如图，在四边形 ABCD 中，AB = 5，BC = 3，AD = ，
DC = . 如果 AC ⊥ BC，判断 AC 与 AD 是否也垂直，并说明理由.
A B
C
D
分析：若能求出 AC 的长，就可以根据勾股定理或其逆定理判断 △ACD 是不是直角三角形，从而判断 AC 是否垂直于 AD.
解：因为 AC ⊥ BC，所以 ∠ACB = 90°.
在 Rt△ABC 中，
AC = AB - BC = 5 - 3 = 16.
所以 AC = 4.
例2 如图，在四边形 ABCD 中，AB = 5，BC = 3，AD = ，
DC = . 如果 AC ⊥ BC，判断 AC 与 AD 是否也垂直，并说明理由.
A B
C
D
在 △ACD 中，AC + AD = 4 + () = ，
CD = () = ，
所以 AC + AD = CD .
因此 △ACD 是直角三角形，即 AC ⊥ AD.
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4.
C
如图，若AB＝10，BC＝6，AC＝8，则AC边上的中线BD的长为(　　)
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5.
90°
跟踪训练 如图，已知AB⊥BC，AB=2，BC= ，CD=5，DA=4，求四边形ABCD的面积.
解：如图，连接AC.
在Rt△ABC中，由勾股定理，
得AC== =3.
在△ACD中，AC +AD =3 +4 =5 =CD .
由勾股定理的逆定理，得∠CAD=90°.
所以S四边形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD=×2×+×3×4=+6.
1. A，B，C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C地在B地的什么方向？
B A
C
5 km
12 km
13 km
解：设 A，B，C 三地分别对应点
A，B，C，则在 △ABC 中，
∵ BC + BA = 5 + 12 = 169，AC = 169，
∴ BC + BA = AC ，
∴ △CBA 为直角三角形，且 ∠B = 90°.
∴ C 地在 B 地的正北方向.
2. 高师傅有 5 根长度（单位：dm）分别为 a = 6，b = 8，c = 10，
d = 24，e = 26 的钢条，准备选 3 根焊接一个直角三角形钢架.
请你帮高师傅找出所有可能的钢条组合.
解：所有可能的钢条组合为 6，8，10 和 10，24，26 两种.
3. 如图，在四边形 ABCD 中，AB = 3，BC = 4，CD = 12，AD = 13，∠B = 90°.求四边形 ABCD 的面积.
解：∵ ∠B = 90°，∴ △ABC 是直角三角形.
依据勾股定理，得AC = AB + BC = 3 + 4 = 25 = 5 ，
∴ AC = 5.
在 △ACD 中，AD = 13 = 169，
CD + AC = 12 + 5 = 169，
∴ AD = AC + CD .
∴ △ACD 是直角三角形，且 ∠ACD = 90°.
B C
A
D
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6.
如图，在△ABC中，DE是AB的垂直平分线，若AC＝4，CD＝3，AD＝5，则AB的长为________．
7.
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8.
B
如图，某校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得AB＝9 m，BC＝12 m，CD＝8 m，AD＝17 m，且∠ABC＝90°，则这块菜地的面积是(　　)
A．48 m2 B．114 m2
C．122 m2 D．158 m2
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9.
A
10.
(8分)[2025台州期中]某市夏季经常会出现台风天气，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，与A，B的距离分别为AC＝300 km，BC＝400 km，且AB＝500 km．根据实测数据，在台风中心半径260 km范围内的地区会受到台风影响．
(1)海港C受台风影响吗？为什么？
(2)若台风中心的移动速度不变，该海港受台风影响持续 8 h，求台风中心的移动速度．
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11.
(8分) 如图①②均为4×2的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1．
(1)如图①，A，B，C是三个格点(即小正方形的顶点)，判断AB与BC的关系，并说明理由；
解：AB⊥BC且AB＝BC.
理由如下：如图①，连接AC.
由勾股定理，得AB2＝12＋22＝5，
BC2＝12＋22＝5，AC2＝12＋32＝10，
∴AB2＋BC2＝AC2，AB＝BC，
∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.
∴AB与BC的关系为AB⊥BC且AB＝BC.
解：如图②，由图易知∠CAD＝∠α.
由勾股定理，得AB2＝12＋22＝5，
BC2＝12＋22＝5，AC2＝12＋32＝10，
∴AB2＋BC2＝AC2，AB＝BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ABC＝90°，
∴∠CAD＋∠β＝45°，∴∠α＋∠β＝45°.
(2)求图②中∠α＋∠β的度数(要求：画出示意图并写出过程)．
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勾股定理的
逆定理的应用
应用
解决实际问题
认真审题，画出符合题意的图形，熟练运用勾股定理及其逆定理来解决问题.
结合勾股定理解决面积、线段长、角度等问题.
方法

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