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新人教版数学8年级下册培优备课课件21.1.2多边形及其内角和第二十一章　四边形授课教师：Home .班级：.时间：.1.掌握多边形的相关概念.
2.会用分割法探索多边形的内角和计算公式.（难点）
3.运用多边形的内角和计算公式、外角和解决问题.（重点）
多边形在生活中也很常见，观察下图中的图片，你能从中找出一些多边形的形象吗？
与三角形、四边形类似，如图，在平面内，由n(n≥3)条线段 A A ，A A ，…，An-1An，AnA 首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形.
边
顶点
对角线
内角
外角
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1．[2025广安期中]下列说法正确的有(　　)
①由n(n≥3)条线段首尾顺次相接，组成的图形叫作多 边形；
②正多边形的各边都相等；
③各角都相等的多边形是正多边形；
④等边三角形是正多边形；
⑤正多边形的各对角线相等．
A．1个　 B．2个　 C．3个　 D．4个
B
与三角形、四边形类似，如图，在平面内，由n(n≥3)条线段 A A ，A A ，…，An-1An，AnA 首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形.
边
顶点
对角线
内角
说明 ：
n(n≥3)边形共有n条边，n个顶点，n个内角，2n个外角，从一个顶点处可以引(n-3)条对角线.
外角
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2．对于八边形对角线的描述，正确的是(　　)
甲：过八边形的一个顶点可以引出5条对角线；
乙：过八边形的一个顶点画出所有的对角线，可以将这个八边形分成5个三角形．
A．甲对，乙错 B．甲错，乙对
C．甲、乙都对 D．甲、乙都错
A
多边形的边、顶点、内角、外角、对角线的概念与四边形相应的概念类似. 多边形有几条边就叫作几边形.
多边形同样用表示它的各个顶点的字母表示，例如，图中的六边形，记作“六边形ABCDEF”.
A
E
D
C
B
F
与四边形类似，在多边形中，有的是凸多边形，有的不是凸多边形.今后，如无特殊说明，所讨论的多边形都是凸多边形.
我们知道，正方形的各个角都相等，各条边都相等.像正方形这样，各个角都相等、各条边都相等的多边形叫作正多边形.下图中是正多边形的一些例子.
正三角形 正方形 正五边形 正六边形
例1 下列图形中，一定是正多边形的是( )
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.长方形
D.正方形
三条边不都相等，三个角不都相等.
三条边不一定都相等，三个角也不一定都相等.
四个角都相等，但四条边不一定都相等.
四条边都相等，四个角都相等.
D
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3．苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现苯分子中的6个碳原子与6个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等(如图①)，组成了一个完美的六边形(正六边形)，图②是其平面示意图，则∠1的度数为(　　)
A．130°　 B．120°　
C．110°　 D．60°
B
探究 类比四边形的内角和的推导过程，你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少度吗？由上述推导过程，你能得出多边形的内角和与边数的关系吗？
(1)从四边形的一个顶点出发，可以引______条对角线，将四边形分成______个三角形，四边形的内角和等于_____×180°；
(2)从五边形的一个顶点出发，可以引______条对角线，将五边形分成______个三角形，五边形的内角和等于_____×180°；
2
2
1
3
3
2
(3)从六边形的一个顶点出发，可以引______条对角线，将六边形分成______个三角形，六边形内角和等于_____×180°；
(4)从n边形的一个顶点出发，可以引______条对角线，将n边形分成______个三角形，n边形内角和等于_____×180°.
4
4
3
(n-2)
(n-3)
(n-2)
把一个多边形分成若干个三角形，还有其他分法吗？由新的分法，能得出多边形的内角和公式吗？
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4．如图，将五边形ABCDE沿虚线裁去一个角，得到六边形ABCDGF，则下列说法正确的是(　　)
A．外角和减少180°
B．外角和增加180°
C．内角和减少180°
D．内角和增加180°
D
把一个多边形分成若干个三角形，还有其他分法.可在多边形的内部或一边上任取一点，将该点与各顶点连接得到n个或(n-1)个三角形，由此可推导出多边形内角和公式.具体如下表
方法 图示
方法1： 如图所示，在n边形内任取一点P，连接 PA , PA , ..., PAn，把n边形分成n个三角形，这n个三角形的内角和为n×180°，再减去一个周角的度数，即得n边形的内角和为 n×180° - 360° = (n-2)×180°.
把一个多边形分成若干个三角形，还有其他分法.可在多边形的内部或一边上任取一点，将该点与各顶点连接得到n个或(n-1)个三角形，由此可推导出多边形内角和公式.具体如下表
方法 图示
方法2：如图所示，在n边形的一边上任取一点P与各顶点相连，得(n-1)个三角形，n 边形内角和等于这 (n-1) 个三角形的内角和减去在点P处的一个平角的度数，即得n边形的内角和为 (n-1)×180° - 180° = (n-2)×180°.
这样就得出了多边形的内角和公式：
n边形的内角和等于(n-2)×180°.
例2 若一个六边形的每个内角都是x°，则x的值为（ ）
A. 60 B. 90 C. 120 D. 150
解析：∵ 一个六边形的每个内角都是x°，
∴ 6×x°=(6 2)×180°，
解得 x=120.
C
探究 与四边形的外角和类似，在多边形的每个顶点处各取一个外角、它们的和叫作多边形的外角和.多边形的外角和等于多少度？请你说明理由.
与四边形类似，多边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，因此 n边形的内角和与外角和的总和等于n×180°，外角和等于
n×180°-(n-2)×180°=360°.
这样就得出了多边形的外角和公式：
n边形的外角和等于360°.
也可以这样理解为什么多边形的外角和等于360°：如图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边依次走过各顶点，再回到点A,然后转向出发时的方向.在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和，由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°
6．如图，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，展开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B′，折痕为AF，则∠AFB′为________．
45°
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例3 一个多边形的内角和等于外角和的2倍，这个多边形是几边形？
解：设这个多边形的边数为n.
因为它的内角和等于(n-2)×180°，外角和等于360°，所以
(n-2)×180°=2×360°.
解得 n=6.
因此这个多边形是六边形.
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5．“花影遮墙，峰峦叠窗”，苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素．如图是窗棂中的部分图案．若∠1＝∠2＝75°，∠3＝∠4，∠5＝80°，则∠3的度数是________．
65°
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(2)若这个正多边形的一个内角为108°，求n的值．
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8．如果一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1 080°，那么原多边形的边数为(　　)
A．7 B．7或8
C．8或9 D．7或8或9
D
9．小聪利用所学的数学知识，给同桌出了这样一道题：如图，假如从点A出发，沿直线走6 m后向左转θ，接着沿直线前进6 m后，再向左转θ，…，如此下去，当第一次回到点A时，一共走了72 m，则θ的度数为(　　)
A．60° B．75°
C．30° D．45°
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【点拨】∵第一次回到点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形，∴正多边形的边数为72÷6＝12.∵多边形的外角和为360°，∴θ＝360°÷12＝30°.
【答案】C
10．如图，n边形A1A2A3A4A5…An，从n边形的一个顶点出发可以作________条对角线．若过n边形的一个顶点有7条对角线，m边形没有对角线，k边形对角线的总条数等于边数，则n－m＋k＝________．
(n－3)
12
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11．剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选1张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片；从这3张中任选1张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片……如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为________．
6
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【点拨】由题意可知，每剪一次，所有的多边形的内角和增加360°，最后得到10张纸片，故剪了9次，即增加的度数为360°×9.设还有一张多边形纸片的边数为n，可得(5－2)×180°＋3×180°＋(4－2)×180°×5＋(n－2)×180°＝ 360°＋360°×9，解得n＝6.
12．阅读小明和小红的对话，解决下列问题．
(1)这个“多加的锐角”是________．
30°
(2)小明求的是几边形的内角和？
【解】设这个多边形为n边形，由题意，得(n－2)× 180°＝1 830°－30°，解得n＝12，
∴小明求的是十二边形的内角和．
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(3)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多 少度？
多边形及其内角和
相关
概念
与三角形、四边形类似，如图，在平面内，由n(n≥3)条线段A A ，A A ，…，An-1An，AnA 首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形.
内角和
公式
n边形的内角和等于(n-2)×180°
外角和
公式
多边形的外角和等于360°

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