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新人教版数学8年级下册培优备课课件21.1.1四边形及其内角和第二十一章　四边形授课教师：Home .班级：.时间：.1. 理解四边形及其相关概念.
2. 能够辨别凸四边形与凹四边形.
3. 理解四边形的内角与外角的性质.
这些生活中常见的四边形，你有注意到吗？
与三角形类似，如图，在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形,组成四边形的各条线段叫作四边形的边，每相邻两条线段的公共端点叫作四边形的顶点.四边形用表示它的各个顶点的字母表示，例如：图中的四边形，可以按照顶点的顺序，记作“四边形ABCD”.
A
B
C
D
图 2
图 1
A
C
B
D
A
C
B
D
注意：今后，如无特殊说明，所讨论的四边形都是凸四边形.
如图1，画出四边形ABCD的任何一条边所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫作凸四边形.而图2中的四边形ABCD就不是凸四边形,因为画出边AD（或DC）所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧.
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B
1.
下列图形中是四边形的是(　　)
如图(1)，画出四边形ABCD的任何一条边(例如CD)所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫作凸四边形.而图(2)中的四边形ABCD就不是凸四边形，因为画出边CD(或BC)所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧.今后，如无特殊说明，所讨论的四边形都是凸四边形.
A
D
C
B
A
B
D
C
图(1) 图 (2)
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2.
D
下列图形中是凸四边形的是(　　)
连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线.在图中，AC，BD是四边形ABCD的两条对角线，它们分别将四边形 ABCD分为两个三角形.
A
D
C
B
与三角形类似，四边形相邻两边组成的角叫作四边形的内角，简称四边形的角；四边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作四边形的外角.
请你画出四边形ABCD顶点C，D处的外角.
A
D
C
B
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3.
3
如图，在四边形ABCD中，点E，F分别
在边AD，BC上，连接EF．
(1)图中共有________个四边形；
(2)四边形ABCD与四边形CDEF的公共边是________，公共角是____________；
(3)四边形AEFB的外角是______________；
(4)任意四边形共有________条对角线，从顶点A出发，可以引出的对角线有________条．
CD
∠C，∠D
∠DEF，∠EFC　
2
2
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4.
C
在四边形ABCD中，已知∠A＝85°，∠B＝95°，∠C＝75°，则∠D的度数是(　　)
A．85°
B．95°
C．105°
D．115°
思考 我们知道，三角形的内角和是180°，长方形的内角和是360°.那么，任意一个四边形的内角和是多少度？你能证明你的结论吗？
由于四边形的一条对角线将这个四边形分为两个三角形，所以四边形的有关问题就可以利用三角形的相关知识加以解决.下面按照上述思路解决这个问题.
C
A
B
D
如图，在四边形ABCD中，连接对角线AC，则四边形ABCD被分为△ABC和△ACD两个三角形.在△ABC中，由三角形内角和定理，得
∠1+∠B+∠3=180°.
同理∠2+∠4+∠D=180°.
由此可得
∠DAB+∠B+∠BCD+∠D
=∠1+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D
=(1+∠B+∠3)+(∠2+∠4+∠D)
=180°+180°=360°.
即四边形的内角和等于360°
2
1
3
4
C
A
B
D
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5.
B
在四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3∶2，则∠B的度数是(　　)
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
四边形的内角和等于360°.
例1 如图，在四边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作四边形的外角和.四边形的外角和等于多少？
分析：因为四边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，所以四边形的外角和与内角和的总和为4×180°.根据这个关系，可以利用四边形的内角和求出其外角和.
A
C
B
D
2
1
3
4
例1 如图，在四边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作四边形的外角和.四边形的外角和等于多少？
A
C
B
D
2
1
3
4
解：如图.
∵∠DAB与∠1是邻补角，
∴∠DAB+∠1=180°.
同理∠ABC+∠2=180°，
∠BCD+∠3=180°，
∠CDA+∠4=180°.
例1 如图，在四边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作四边形的外角和.四边形的外角和等于多少？
A
C
B
D
2
1
3
4
∴∠DAB+∠1+∠ABC+∠2+∠BCD+∠3+∠CDA+∠4=720°.
而∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°.
四边形的外角和等于360°
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6.
B
[2025邢台期末]如图，BD是四边形ABCD的对角线，且四边形ABCD的内角和为α，△ABD与△BCD的内角和相加为β，则(　　)
A．α＞β　　　　
B．α＝β
C．α＜β　　　　
D．无法比较α，β的大小关系
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7.
解：由题意得x°＋x°＋150°＋80°＝360°，解得x＝65.
(8分)[教材P49练习T1变式]求出下列图形中x的值．
(1) 　　　 　(2)
由题意得x°＋x°＋10°＋90°＋60°＝360°，解得x＝100.
探究 如图(1)，在每个角上钉一枚钉子，将四根木条钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？如图(2)，在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对不相邻的顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗？为什么？
图 （1） 图（2）
可以发现，四边形木架的形状会改变.因为四边形的四条边确定后，四个角并不确定，这说明四边形不具有稳定性.
而再钉一根木条后，四边形木架变成两个三角形木架，由于三角形具有稳定性、这时四边形木架的形状不会改变.
图 （1） 图（2）
在日常生活中，有时需要利用四边形的不稳定性，如图中的伸缩门、升降机等；有时又需要克服四边形的不稳定性，如图中在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上钉一根木条，以防窗框变形等.
1.求出下列图形中x的值.
解：(1)由140+90+2x=360，得x=65.
(2)由3x+4x+2x+3x=360，得x=30.
(3)由120+80+75+(180-x)=360，得x=95.
2.四边形ABCD中有一组对角互补，且∠A，∠B，∠C的度数之比为2:3:4，则∠D 的度数是______.
解析：∵ 四边形ABCD 中有一组对角互补，
∴ 另一组对角也互补，
∴ ∠A+∠C=∠B+∠D=180°.
设 ∠A,∠B,∠C 的度数分别为2x,3x,4x，
则 2x+4x=180°，
解得 x=30°，
∴∠B=3x=90°，
∴ ∠D=180° ∠B=90°.
90°
3.下列图形中哪些具有稳定性？
(1) (2) (3) (4) (5)
解：(1)(4)具有稳定性；
(2)(3)(5)不具有稳定性.
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8.
A
如图，已知∠1＋∠2＋∠3＝240°，那么∠4的度数为(　　)
A．120°
B．130°
C．140°
D．150°
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9.
A
如图，将三角形纸片ABC剪掉一角得到△AD′E′与四边形BCDE，设△AD′E′的外角和、四边形BCDE的外角和分别为α，β，则下列正确的是(　　)
A．α＝β　B．α＞β　
C．α＜β　D．β－α＝180°
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10.
D
[2025厦门期中]下列生活实物图中，运用了四边形的不稳定性的是(　　)
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11.
D
下列图形中具有不稳定性的有(　　)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
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12.
C
如图，一个顶角为40°的三角形纸片，剪去顶角后得到一个四边形，则∠1＋∠2＝(　　)
A．140°
B．180°
C．220°
D．240°
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13.
C
[教材P49练习T2变式]如图，两根细绳将一物体E挂在两面互相垂直的墙面AD与AB上，若∠ABC＝68°，BC⊥CD，CE∥AD，则∠DCE的度数为(　　)
A．92°
B．110°
C．112°
D．120°
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14.
4∶3∶2∶1
如图，在四边形ABCD中，∠1∶∠2∶∠3∶∠4＝1∶2∶3∶4，则∠BAD∶∠ABC∶∠BCD∶∠ADC＝____________．
15.
(8分)如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC交CD于点E，DF平分∠ADC交AB于点F．
(1)若∠ABC＝42°，求∠ADF的度数；
(2)求证：DF∥BE．
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16.
90
(12分) 规定：有一对相对的角互补的四边形叫作“智慧四边形”．例如，在四边形ABCD中，
若∠A＋∠C＝180°或∠B＋∠D＝180°，
则四边形ABCD是“智慧四边形”．
(1)如图①，已知四边形ABCD是“智慧四边形”，其中三个内角∠A，∠B，∠C的度数之比是4∶3∶2，则∠D的度数为________°；
(2)如图②，已知四边形ABCD是“智慧四边形”，∠ABC与∠ADC的平分线交于点O，若∠A＝50°，求∠O的度数；
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四边形及其内角和
相关概念
在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形，组成四边形的各条线段叫作四边形的边，每相邻两条线段的公共端点叫作四边形的顶点
内角和
四边形的内角和等于360°
外角和
四边形的外角和等于360°

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