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新人教版数学8年级下册培优备课课件21.2.1.1平行四边形的性质第二十一章　四边形授课教师：Home .班级：.时间：.1．理解并掌握平行四边形的概念及其性质.
2．根据平行四边形的性质进行简单的计算和证明.
平行四边形是常见的几何图形.学校的伸缩门、庭院的竹篱笆等，都有平行四边形的形象.你还能举出一些例子吗？
我们知道，两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.平行四边形用“ ”表示，如图，平行四边形ABCD记作“ ABCD”.
A
D
C
B
注意：
1.表示平行四边形时一定要按顺（或逆）时针依次书写各顶点字母；
2.“ ”后要紧跟表示四个顶点的字母，不能单独使用.
下面，我们从平行四边形的边、角、对角线出发，从数量关系和位置关系的角度研究平行四边形的性质.
A
D
C
B
边：AB与DC、AD与BC互为对边；
AD和AB、AD和DC、DC和BC、BC和AB互为邻边.
角：∠ABC与∠ADC，∠DAB与∠BCD互为对角，
∠ABC与∠DAB，∠DAB与∠ADC，∠ADC与∠BCD，∠BCD与∠ABC互为邻角.
对角线：线段AC和BD.
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1．[2025绍兴期中]在 ABCD中，∠A∶∠B＝2∶1，则∠C的度数为(　　)
A．50°　 B．60°　 C．100° D．120°
D
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2．如图，在平面直角坐标系中， ABCD的顶点A(－3，2)，点B(－1，－2)，点C(3，－2)，则点D的坐标为(　　)
A．(1，2)
B．(2，1)
C．(1，3)
D．(2，3)
A
例1 如图所示，在 ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，EF与GH相交于点O，则图中平行四边形共有（ ）
A.7个 B.8个 C.9个 D.11个
平行四边形的组成 个数 名称
单独1个四边形 4 DEOH， EAGO，
OGBF， HOFC
由2个四边形组成 4 DAGH， HGBC，
EABF， DEFC
由4个四边形组成 1 ABCD
C
探究 根据定义画一个平行四边形并进行观察，除了“两组对边分别平行”，它的边之间还有什么关系？它的角之间呢？度量一下，和你的猜想一致吗？你能证明你的猜想吗？把你的结论和同学比较一下.
通过观察和度量，我们猜想：
平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等.
怎么证明？
构造全等三角形.
A
D
C
B
证明：如图，连接 ABCD的对角线AC.
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
又AC是△ABC和△CDA的公共边，
∴△ABC≌△CDA.
∴AB=CD，BC=DA，∠B=∠D.
∵∠1=∠2，∠3=∠4.
∴∠1+∠4=∠2+∠3，
即∠BAD=∠DCB.
请你自己证明∠BAD=∠DCB.
不添加辅助线你能否直接运用平行四边形的定义证明其对角相等呢
A
D
C
B
已知：四边形ABCD是平行四边形，
求证：平行四边形对角相等.
证明：∵AD∥BC，AB∥CD，
∴∠A+∠B=180°，∠A+∠D=180°.
∴∠B=∠D.
同理∠A=∠C.
3．如图，在 ABCD中，AB＝5，AD＝7，∠ADC的平分线交BC于点E，则BE的长为(　　)
A．1　
B．2　
C．3　
D．4
【答案】B
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4．如图，在 ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为5，则阴影部分的面积为(　　)
A．8
B．10
C．15
D．30
C
这样，就得到平行四边形的性质：
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角相等.
符号语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD.
∴∠A=∠C，∠B=∠D.
接下来研究平行四边形的对角线.
探究 如图，在 ABCD中，连接AC，BD，并设它们相交于点O.点O把每条对角线都分成两部分，这两部分有什么关系？
利用信息技术工具，改变 ABCD的形状，你发现的结论还成立吗？证明你发现的结论.
容易发现，即便改变 ABCD的形状，
仍然有OA=OC，OB=OD.
这个结论也可以通过三角形全等证明
（请你完成证明).
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥ BC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴△OAD≌△OCB (ASA)，
∴OD=OB，OA=OC，
即 ABCD的对角线互相平分.
5．如图，AC是 ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝114°，则∠BAC的度数是________．
22°
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【点拨】设∠BAC＝α.∵AE＝BE，∴∠EBA＝∠BAC＝α，∴∠BEC＝∠EBA＋∠BAC＝2α.∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD，AD∥BC，AB∥CD.又∵AD＝BE，∴BE＝BC，∠DAC＝∠BCE.∴∠BCE＝∠BEC＝∠DAC＝2α.∴∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝3α.∵AB∥CD，∴∠D＋∠BAD＝180°，即114°＋3α＝180°.∴α＝22°，即∠BAC＝22°.
由此又得到平行四边形的一个性质：
平行四边形的对角线互相平分.
符号语言:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=AC，OB=OD=BD.
例2 如图，在△ABC中，AB=10，AD=8，AC⊥BC.求BC，CD，AC，OA的长，以及 ABCD的面积.
A
B
C
D
O
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=8，CD=AB=10.
∵ AC⊥BC，
∴△ABC是直角三角形.
根据勾股定理，AC===6.
∴OA=OC=AC=3，
S ABCD=BCAC=8×6=48.
例3 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F. 求证：OE=OF.
A
E
D
C
B
O
F
证明：在 ABCD中，AB∥ CD,
∴∠EAO=∠FCO, ∠AEO=∠CFO.
又OA=OC,
∴△AOE≌△COF.
∴OE=OF.
8
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7．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在AD上，点F在BC上，连接EF使EF恰好经过点O．
(1)求证：DE＝BF；
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，AD∥BC.
∴∠EDO＝∠FBO，∠DEO＝∠BFO.
∴△DEO≌△BFO(AAS)．∴DE＝BF.
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(2)若AC⊥BD，ED＋CF＝5，AC＝6，求BD的长．
8．已知 ABCD的周长为48 cm，∠ABC的平分线交边AD所在的直线于点E，且AE∶ED＝3∶2，则边AD的长是(　　)
A．9 cm或18 cm B．6 cm或15 cm
C．9 cm D．15 cm
【点拨】如图①，当点E在线段AD上时．∵AE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠EBC＝∠AEB.∴∠ABE＝∠AEB.
∴AB＝AE.∵AE∶ED＝3∶2，
∴设AE＝3x cm，ED＝2x cm.∴AB＝3x cm.
∵ ABCD的周长是48 cm，
∴2(3x＋3x＋2x)＝48，解得x＝3.
∴AD＝AE＋ED＝3x＋2x＝5x＝15 cm；
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如图②，当点E在AD的延长线上时，同理可得AB＝AE. ∵AE∶ED＝3∶2，∴设AE＝3x cm，ED＝2x cm，∴AB＝3x cm，AD＝AE－ED＝3x－2x＝x cm.
∵ ABCD的周长为48 cm，∴2(3x＋x)＝48，
解得x＝6，∴AD＝6 cm. 综上所述，
边AD的长是6 cm或15 cm.
【答案】B
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【答案】B
10．[2025邢台期中]将一张平行四边形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，CE，CF为折痕，折叠后点B′，D′，C在同一直线上，连接BB′，DB′．已知B′C＝B′D，∠BB′C＝58°，∠B′DA＝18°，则
∠EBC的度数为(　　)
A．49°　 B．44°　
C．42°　 D．40°
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【点拨】设∠EBC＝α.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC＝∠EBC＝α，AB∥CD.∴∠BCD＝180°－∠EBC＝180°－α.∵B′C＝BC，∴∠BB′C＝∠B′BC＝58°. ∴∠BCB′＝180°－∠BB′C－∠B′BC＝180°－58°－58°＝64°.∴∠B′CD＝∠BCD－∠B′CB＝180°－α－64°＝116°－α. ∵B′C＝B′D，∴∠B′CD＝∠B′DC.∴116°－α＝α＋18°，解得α＝49°，即∠EBC＝49°.
【答案】A
平行四边形
定义
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
边
两组对边分别平行且相等
角
两组对角分别相等，邻角互补
对角线
对角线互相平分
性质

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