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新人教版数学8年级下册培优备课课件21.3.3.2正方形的判定第二十一章　四边形授课教师：Home .班级：.时间：.1．理解并掌握正方形的判定和推导过程．
2．能熟练运用正方形的判定进行计算和证明．
矩形
菱形
正
方
形
平行四边形
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：
思考 矩形得满足什么条件才能变成正方形？菱形呢？
矩形
菱形
正方形
有一个角是直角
(或对角线相等)
有一组邻边相等
(或对角线互相垂直)
要判定一个四边形是正方形，可以先判定它是矩形，再判定这个矩形也是菱形；或者先判定它是菱形，再判定这个菱形也是矩形.
思考 分别从矩形、菱形、平行四边形、四边形出发，写出正方形的判定方法，并与同学交流你的结论.
探究1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，观察边、角、对角线，推测满足怎样条件的矩形是正方形？
思考 如何证明你的猜想？
一组邻边相等
对角线互相垂直
证明：有一组邻边相等的矩形是正方形.
已知：四边形ABCD是矩形，且AB=BC.
求证：四边形ABCD是正方形.
A
D
C
B
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°.
又∵ AB=BC，
∴四边形ABCD是正方形（正方形的定义）.
证明： 对角线互相垂直的矩形是正方形.
已知：如图,在矩形ABCD中,AC,DB是它的两条对角线,AC⊥DB .
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形.
∴AO=CO=BO=DO，∠ADC=90°.
∵AC⊥DB，
∴AD=AB,
∴四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
从矩形出发：
(1)有一组邻边相等的矩形是正方形;
(2)对角线互相垂直的矩形是正方形.
一组邻边相等
对角线互相垂直
返回
1．下列四个菱形中分别标注了部分数据，根据所标数据，可以判断菱形是正方形的是(　　)
B
返回
2．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列三个结论：①当AB＝BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是矩形；③当AC＝BD，AC⊥BD时，它是正方形．其中结论正确的有(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
C
探究2 准备一个可以活动的菱形框架，改变角的大小，得到一个正方形，观察边、角、对角线，推测满足怎样条件的菱形是正方形？
思考 如何证明你的猜想？
有一个角是直角
对角线相等
证明： 有一个角是直角的菱形是正方形.
已知：四边形ABCD 是菱形， ∠A=90°.
求证：四边形ABCD 是正方形.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD是平行四边形，AB=BC.
又∵ ∠A=90°，
∴四边形ABCD是正方形（正方形的定义）.
A
D
C
B
证明： 对角线相等的菱形是正方形.
已知：如图，在菱形ABCD中，AC , DB是它的两条对角线，AC=DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是菱形.
∴AB=BC，AC⊥DB.
∵AC=DB, ∴AO=BO=CO,
∴△AOB,△BOC是等腰直角三角形.
∴∠ABC=90°.
∴四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
从菱形出发：
(1)有一个角是直角的菱形是正方形；
(2)对角线相等的菱形是正方形.
有一个角是直角
对角线相等
从平行四边形出发：
证明有一个内角是直角，有一组邻边相等. (定义法)
平行四边形
一组邻边相等
一个内角是直角
正方形
思考 从四边形出发呢？
四边形
平行四边形
矩形
正方形
菱形
两组对边分别平行
(或两组对边分别相等或一组对边平行且相等)
两条对角线互相平分
两组对角分别相等
有一个角是直角(或对角线相等)
有一组邻边相等
(或对角线互相垂直)
有一组邻边相等，有一个角是直角（定义）
有一组邻边相等
(或对角线互相垂直)
有一个角是直角
(或对角线相等)
有三个角是直角
四条边都相等
例 如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，
且AE=BF=CG=DH. 求证：四边形EFGH是正方形．
A
B
C
D
H
G
F
E
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA.
又AE=BF=CG=DH，∴EB=FC=GD=HA.
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.
∴HE=EF=FG=GH. ∴四边形EFGH是菱形.
∵△AEH≌△BFE，∴∠2=∠3.
又∠1+∠2=90°，∴∠1+∠3=90°.
∴∠HEF=180(∠1+∠3)=90°,
∴四边形EFGH是正方形.
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3．如图，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．要使四边形EFGH是正方形，BD，AC应满足的条件是____________________．
AC＝BD且AC⊥BD
0.5
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5．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F同时从点O出发在线段AC上以1 cm/s的速度反向运动(点E，F分别到达A，C两点时停止运动)，设运动时间为t s，连接DE，DF，BE，BF，已知△ABD是边长为6 cm的等边三角形，当t＝________时，
四边形DEBF为正方形．
3
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【点拨】由题意得OE＝OF＝t cm，∴EF＝2t cm.∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴OB＝OD，AC⊥BD.又∵OE＝OF，∴四边形DEBF是菱形．∴当EF＝BD时，四边形DEBF是正方形．∵△ABD是边长为6 cm的等边三角形，∴BD＝6 cm.由EF＝BD得2t＝6，解得t＝3，∴当t＝3时，四边形DEBF是正方形．
6．[2025商丘期中]如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交边BC于点E，过点E作EF∥DC交边AD于点F，连接BD．
(1)求证：四边形EFDC是正方形；
【证明】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ADC＝∠C＝90°.
∵EF∥DC，∴四边形EFDC为平行四边形．
∵∠C＝90°，∴四边形EFDC为矩形．
∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE.
∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC.∴∠CDE＝∠DEC.
∴CD＝CE. ∴四边形EFDC是正方形．
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B
8．[2025淮北二模]如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，DE，AF交于点G，连接CG，EF，DF，则下列说法正确的个数为(　　)
①△ADE≌△BAF；②DG∶DE＝4∶5；
③依次连接AE，EF，DF，AD的中点P，
Q，M，N，则四边形MNPQ为等腰梯形．
A．0　　 B．1　　 C．2　　 D．3
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由①②可知，AF＝ED，AF⊥DE，∴PN＝QM＝PQ＝MN，∠PNM＝90°.∴平行四边形PQMN是正方形．故③错误. 综上①②正确，∴正确的个数为2.故选C.
【答案】C
9．如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是边BM，CM的中点，当AB∶AD＝________时，四边形MENF是正方形．
1∶2
正方形的判定
从平行四边形出发
从矩形出发
从菱形出发
一组邻边相等+一个角是直角
矩形+一组邻边相等
矩形+对角线互相垂直
菱形+有一个角是直角
菱形+对角线相等

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