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新人教版数学8年级下册培优备课课件21.3.2.1菱形的性质第二十一章　四边形授课教师：Home .班级：.时间：.1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系.
2.探索并证明菱形的性质定理.
3.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.
前面我们学习了矩形，知道了矩形是由平行四边形角的变化得到，如果平行四边形有一个角是直角时，就成为了矩形.
思考 如果从边的角度将平行四边形特殊化，让它有一组邻边相等，这个特殊的平行四边形叫什么呢
一个角是直角
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
注意：
菱形是特殊的平行四边形,平行四边形不一定是菱形.
平行四边形
菱形
一组邻边相等
思考 菱形也是常见的几何图形，你还能举出一些例子吗？
类似于对矩形的研究，我们重点研究菱形的性质和判定.
思考 因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，但由于它的一组邻边相等，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
仍可以从边，角，对角线等方面来考虑.
(1) 测量菱形的四条边长度，你有什么猜想？
猜想1 菱形的四条边都相等.
活动 利用折纸、剪切的方法，剪出一个菱形的纸片. 在剪出的菱形上画出两条折痕，折叠手中的图形（如图），并回答以下问题:
活动 利用折纸、剪切的方法，剪出一个菱形的纸片. 在剪出的菱形上画出两条折痕，折叠手中的图形（如图），并回答以下问题:
(2) 测量菱形的对角线所成的角及每个顶点处被对角线所分成的两个角的度数，你有什么猜想？
猜想2 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
每条对角线所在的直线
轴对称图形
对称性：_________________________
对称轴：_________________________
活动 利用折纸、剪切的方法，剪出一个菱形的纸片. 在剪出的菱形上画出两条折痕，折叠手中的图形（如图），并回答以下问题:
(3) 菱形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴.
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1．如图，在菱形ABCD中，∠1＝25°，则∠B的度数为(　　)
A．110°
B．120°
C．130°
D．140°
C
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B
(4) 证明猜想1：菱形的四条边都相等.
已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.
求证：AB = BC = CD =AD.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB = CD，AD = BC. (平行四边形的对边相等)
又∵AB=AD，(菱形的一组邻边相等)
∴AB = BC = CD =AD.
∴菱形的四条边都相等.
A
B
C
O
D
(5) 证明猜想2：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平
分一组对角.
已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.
求证：BD⊥AC，∠DAC=∠BAC= ∠ACD=∠ACB. ∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB.
证明:∵AB = AD，∴△ABD是等腰三角形.
在等腰三角形ABD中，∵OB = OD，
∴AO⊥BD，AO平分∠BAD，即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.
同理可证∠DCA=∠BCA，∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
∴菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
A
B
C
O
D
(平行四边形的对角线互相平分)
(等腰三角形三线合一)
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【答案】A
菱形除了具有平行四边形所有性质，还具有的性质有：
1.边：菱形的四条边都相等.
2.对角线：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
3.对称性：菱形是轴对称图形，它的每条对角线所在的直线就是它的对称轴.
符号语言：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∴BD⊥AC，∠DAC=∠BAC= ∠ACD=∠ACB. ∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB，
∴直线AC，BD是菱形ABCD的两条对称轴.
注意：
当 ∠ABC=∠ADC=60°时，△ABC与△ADC均为等边三角形.
B
A
D
O
C
【答案】C
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例1 如图,菱形ABCD的周长为20,对角线AC,BD相交于点 O,E是CD的中点,则OE的长是( )
A.2.5 B.3 C.4 D.5
A
比较 平行四边形的对角线可以把平行四边形分成什么？菱形的对角线可以把菱形分成什么？
B
C
D
A
O
平行四边形一般只被分成两对全等的三角形，
菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形.
B
A
D
O
C
思考 由菱形两条对角线的长，能求出它的面积吗？
分析：
已知菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形.因此只须求出一个直角三角形的面积就能求得菱形的面积.
推导：S菱形ABCD= 4×S△ABO= 4×AO·BO
= ×2AO×2BO = AC·BD.
B
A
D
O
C
菱形的面积公式
（1）菱形的面积=底高.
S菱形ABCD=BC·AE.
（2）菱形的面积=对角线长的乘积的一半.
S菱形ABCD = AC·BD.
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5．我们常常在建筑中看到四边形的元素．如图，墙面上砌出的菱形窗户的边长为1 m(边框宽度忽略不计)，其中较小的内角为60°，则该菱形窗户的采光面积为________m2．
例2 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD. 求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）.
解：设AC，BD相交于点O.
∵花坛ABCD的形状是菱形，
∴AC⊥BD，∠ABO= ∠ABC= ×60°=30°.
在Rt△ABO中，AO= AB= ×20=10，
BO===10.
A
C
B
D
O
∴花坛的两条小路长
AC=2AO=20 m，
BD=2BO=20≈34.64(m).
花坛的面积
S菱形ABCD=4×S△ABO= 4×AO·BO=200≈346.4(m2).
A
C
B
D
O
6．如图，四边形ABCD是菱形，CD＝5，BD＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长为________．
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7．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连接EF．
(1)求证：AE＝AF；
【证明】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D.
∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°.
∴△ABE≌△ADF(AAS)．∴AE＝AF.
(2)若∠B＝60°，求∠AEF的度数．
【解】∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＋∠BAD＝180°.
又∵∠B＝60°，∴∠BAD＝120°.
∵∠AEB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAE＝30°.
由(1)知△ABE≌△ADF，∴∠BAE＝∠DAF＝30°.
∴∠EAF＝120°－30°－30°＝60°.
又∵AE＝AF，∴△AEF是等边三角形．∴∠AEF＝60°.
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【点方法】利用菱形的性质解决问题的方法
利用菱形的性质，可解决实际问题中有关菱形边、角的计算(或证明线段、角的相等)问题，一般是根据菱形的性质，将有关的边、角的求解问题，转化到三角形中(或证明三角形的全等)，再利用学过的知识进行求解(或证出线段、角的相等)，从而解决问题．
【答案】A
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9．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝6，AC是一条对角线，E是AC上一点，过点E作EF⊥AB，垂足为F，连接DE．若CE＝AF，则DE的长为________．
11．[2025连云港]如图，在菱形ABCD中，AC＝4，BD＝2，E为线段AC上的动点，四边形DAEF为平行四边形，则BE＋BF的最小值为________．
性质
四条边都相等
对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线长的乘积的一半
是轴对称图形，有两条对称轴
菱形
定义
有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形

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