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新人教版数学8年级下册培优备课课件21.3.3.1正方形的性质第二十一章　四边形授课教师：Home .班级：.时间：.1.理解正方形的概念.
2.探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别.
3.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题.
正方形是日常生活中常见的图形，你有注意到吗？
平行四边形
正方形
有一组邻边相等
有一个角是直角
定义：有一组邻边相等，而且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形.
矩形怎样变化后成了正方形呢
菱形怎样变化后成了正方形呢
一组邻边相等
矩形
菱形
有一个角
是直角
正方形
正方形
正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形，因此它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.
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1．如图，四边形ABCD是正方形，AD平行于x轴，A，C两点的坐标分别为(－2，2)，(1，－1)，则
点B的坐标是(　　)
A．(－1，－2) B．(－1，－3)
C．(－2，－1)　 D．(－3，－1)
C
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2．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，过点O作OE⊥OF，分别交AB，BC于点E，F，若AE＝4，CF＝3，则EF的长为(　　)
A．3
B．4
C．5
D．6
C
探究 从正方形的边、角、对角线和它的轴对称性出发，写出正方形的性质，并证明其中的一些结论.
边：对边__________，四条边__________.
角：四个角都是__________.
对角线：对角线_____________________，每条对角线平分一组对角.
对称性：正方形是轴对称图形，有___条对称轴.
平行
相等
直角
互相垂直平分且相等
四
已知：四边形ABCD是正方形.
求证：正方形ABCD四条边相等，四个角都是直角.
证明：∵四边形ABCD是正方形.
∴∠A=90°, AB=AD （正方形的定义）.
又∴正方形是平行四边形，
∴正方形是矩形（矩形的定义）,
正方形是菱形(菱形的定义).
∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°，AB= BC=CD=AD.
A
B
C
D
已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O.
求证：AO=BO=CO=DO，AC⊥BD.
证明：∵正方形ABCD是矩形,
∴AO=BO=CO=DO.
∵正方形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD.
A
B
C
D
O
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D
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4．如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB的度数为________．
22.5°
分类 性质 符号语言
边 对边平行， 四条边都相等. ∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AD∥BC，AB∥CD，AB = AD = CD = BC.
角 四个角都是直角.
对 角 线 对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角. ∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ AC⊥BD，OA = OC = OB = OD，
∠BAC = ∠DAC = ∠ABD = ∠CBD = ∠BCA = ∠ACD = ∠CDB = ∠ADB = 45°.
分类 性质 符号语言
对 称 性 正方形是轴对称图形，有四条对称轴. 直线AC，BD，m，n均是正方形的对称轴.
5．如图，在正方形ABCD中，点P在AB边上，AE⊥DP于点E，CF⊥DP于点F，若AE＝4，CF＝7，则EF＝________．
3
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【点拨】∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝90°.∵AE⊥DP，CF⊥DP，∴∠AED＝∠DFC＝90°. ∵∠ADE＋∠CDF＝∠CDF＋∠DCF＝90°，∴∠ADE＝∠DCF.∴△ADE≌△DCF(AAS)．∴AE＝DF＝4，DE＝CF＝7.∴EF＝DE－DF＝7－4＝3.
例1 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O.
求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等
的等腰直角三角形.
A
B
C
D
O
证明：∵四边形ABCD是正方形,
∴AC=BD，AC⊥BD，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD=90°，
AO=BO=CO=DO.
∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO都是等腰直角正形，
并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O.
求证：△ABO,△BCO,△CDO,△DAO是全等的等腰直角三角形.
A
B
C
D
O
6．[2025广安]如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，BD＝10，DE＝BF，连接AE，AF，CE，CF．
(1)求证：△ADE≌△CBF．
【证明】∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝BC，∠ADE＝∠CBF＝45°，
又∵DE＝BF，∴△ADE≌△CBF(SAS)．
【解】连接AC交BD于点O，如图．
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思考 正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？与同学讨论一下，并列表或画框图表示这些关系.
平行四边形
矩形
菱形
正方形
有一组邻边相等
(或对角线互相垂直)
有一个角是直角
(或对角线相等)
有一个角是直角
(或对角线相等)
有一组邻边相等
(或对角线互相垂直)
有一组邻边相等，有一个角是直角（定义）
四边形的包含关系：
平行四边形、梯形是特殊的四边形，
矩形、菱形、正方形是特殊的平行四边形，
其中正方形是特殊的矩形、菱形.
思考 正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？与同学讨论一下，并列表或画框图表示这些关系.
平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质对比
类型 平行四边形 矩形 菱形 正方形
边 共性 对边平行且相等 特性 四条边都相等 角 共性 对角相等且邻角互补 特性 四个角都是直角 四个角都是直角
对角线 共性 对角线互相平分 特性 对角线相等 对角线互相垂直 对角线相等且互相垂直
对称性 共性 轴对称图形 特性 2条对称轴 2条对称轴 4条对称轴
7．如图，M是正方形ABCD内的一点，且MC＝MD＝AD，则∠AMB的度数为(　　)
A．120°
B．135°
C．145°
D．150°
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【点拨】∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°.又∵MC＝MD＝AD，∴△MDC是等边三角形. ∴∠MDC＝60°.∵∠ADC＝90°，∴∠ADM＝30°.
∴∠MAD＝75°.∴∠BAM＝15°.同理可得∠ABM＝15°，∴∠AMB＝180°－15°－15°＝150°.
【答案】D
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【答案】A
9．[2025内江]如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点B的坐标为(1，0)．点E在边CD上．将△ADE沿AE折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为(0，3)．则点E的坐标为________．
性质
边：对边平行，四条边都相等
对称性：正方形是轴对称图形，有四条对称轴
角：四个角都是直角
对角线：对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角
正方形
定义
有一组邻边相等，而且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形.

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