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新人教版数学8年级下册培优备课课件21.3.2.2菱形的判定第二十一章　四边形授课教师：Home .班级：.时间：.1．掌握菱形的判定及证明过程．
2．能熟练运用菱形的判定进行计算和证明．
接下来研究菱形的判定. 由菱形的定义可知，有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 除了此方法，还有没有其他判定方法呢？
菱形的判定（定义法）：
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
符号语言：
如图，在□ABCD中，
∵AB=BC，
∴□ABCD是菱形.
思考 我们知道，菱形是对角线互相垂直的平行四边形. 反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？
尝试完成证明！
已知：如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O ，AC⊥BD.
求证：□ABCD是菱形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O ，
∴OA=OC.
又∵AC⊥BD，
∴BD是线段AC的垂直平分线.
∴BA=BC.
∴□ABCD是菱形（菱形的定义）.
A
B
C
O
D
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1．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，且AB∥CD，则添加下列一个条件能判定四边形ABCD是菱形的是(　　)
A．AC＝BD
B．∠ADB＝∠CDB
C．∠ABC＝∠DCB
D．AD＝BC
B
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2．如图，点O既是AB的中点，又是CD的中点，且AB⊥ CD，连接AC，BC，AD，BD．若AC＝2，则四边形ACBD的周长是(　　)
A．6　　
B．8　　
C．10　　
D．不能确定
B
菱形的判定1：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
对角线互相垂直的四边形是菱形吗？
关键：对角线互相垂直且互相平分！
菱形的判定1：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
符号语言：
在 ABCD中，
∵AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形.
3．[2025内江]按如下步骤作四边形ABCD：(1)画∠EAF；(2)以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AE，AF于点B，D；(3)分别以点B和点D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；(4)连接BC，DC，BD．若∠A＝40°，则∠BDC的度数是(　　)
A．64°　 B．66°
C．68°　 D．70°
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【答案】D
思考 同样地，菱形是四条边相等的四边形. 反过来，四条边相等的四边形是菱形吗？
尝试完成证明！
已知：如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵AB=BC=CD=AD，
∴AB=CD，BC=AD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形.
A
B
C
O
D
菱形的判定2：
四条边相等的四边形是菱形.
符号语言:
如图，在四边形 ABCD 中，
∵ AB = BC = CD = AD，
∴ 四边形 ABCD 是菱形.
例1 如图，在□ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F. 求证：四边形AFCE是菱形．
分析：已知AC⊥EF，由“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，只需证明四边形AFCE是平行四边形.由题意可知AO=CO，还需证明EO=FO.
A
B
D
C
F
E
O
1
2
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE//CF，∴∠1=∠2.
又∠AOE=∠COF，AO=CO，
∴△AOE≌△COF，∴EO=FO.
∴四边形AFCE是平行四边形.
又AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形.
A
B
D
C
F
E
O
1
2
例1 如图，在□ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F. 求证：四边形AFCE是菱形．
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4．如图，在△ABC中，D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF，请你添加一个条件：____________，使四边形BECF是菱形．
AB＝AC
(答案不唯一)
5．[2025永州期末]如图，E，F分别在BC和CD上，AB＝AE＝AF＝AD＝BC＝CD＝EF，则∠D＝________°．
80
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【点拨】∵AB＝BC＝CD＝AD，∴四边形ABCD为菱形. ∴∠B＝∠D，AD∥BC.∴∠C＋∠D＝180°.∵AD＝AF，∴∠D＝∠AFD.∵∠AFC＋∠AFD＝180°，∴∠AFC＝∠C.同理∠C＝∠AEC，∴∠C＝∠AEC＝∠AFC.易得△AEF是等边三角形，∴∠EAF＝60°.又∵∠EAF＋∠AEC＋∠C＋∠AFC＝360°，∴∠C＝100°.∴∠D＝180°－100°＝80°.
6．[2025遂宁]如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE＝EF＝FD，且AF⊥AB，CE⊥CD.
(1)求证：△ABF≌△CDE；
【证明】∵AF⊥AB，CE⊥CD，
∴∠BAF＝∠DCE＝90°.
∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠CDE.
∵BE＝EF＝FD，∴BF＝DE.
∴△ABF≌△CDE(AAS)．
(2)连接AE，CF，若∠ABD＝30°，请判断四边形AECF的形状，并说明理由．
【解】四边形AECF是菱形．理由如下：
如图．∵△ABF≌△CDE，
∴AF＝CE，∠AFB＝∠CED.∴AF∥CE.
∴四边形AECF是平行四边形．
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7．[2025威海期中]如图是一张平行四边形纸片ABCD，要求利用所学知识将它变成一个菱形，
甲、乙两位同学的作法分别如下：对于甲、乙两人的作法，正确的是(　　)
甲：连接AC，作AC的中垂线交AD，BC于E，F，则四边形AFCE是菱形．
乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC于点E，交AD于点F，则四边形ABEF是菱形．
A．甲正确，乙错误　　 B．甲、乙均错误
C．甲错误，乙正确　　 D．甲、乙均正确
【点拨】根据甲的作法作出图形，如图①所示．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠DAC＝∠BCA.
∵EF是AC的垂直平分线，∴OA＝OC，AE＝EC.
又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF(ASA)．
∴AE＝CF.∴四边形AECF是平行四边形．
又∵AE＝EC，
∴四边形AECF是菱形，故甲的作法正确；
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根据乙的作法作出图形，如图②所示．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠1＝∠2，∠6＝∠7.∵AE平分∠BAF，BF平分∠ABC，∴∠2＝∠3，∠5＝∠6.∴∠1＝∠3，∠5＝∠7.∴AB＝AF，AB＝BE.
∴AF＝BE.∴四边形ABEF是平行四边形．
∴四边形ABEF是菱形，故乙的作法正确．
综上所述，甲、乙均正确，故选D.
【答案】D
【点拨】设AC与EF交于点O.∵MN垂直平分AC，∴OA＝OC，∠AOE＝∠COF＝90°.又∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴∠EAO＝∠FCO.∴△AOE≌△COF(ASA). ∴OE＝OF.又∵OA＝OC，AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形，①正确．∵四边形AECF是菱形∴AF＝CF，∴∠FAC＝∠FCA.∴∠AFB＝∠FAC＋∠FCA＝2∠ACB，②正确．
假设AF平分∠BAC，则∠BAF＝∠FAC，
∴∠BAF＝∠FAC＝∠FCA.
∵△ABC中，∠BAC＋∠ACB＝90°，
∴3∠ACB＝90°，∠ACB＝30°，但题干未给出此条件，∴AF不一定平分∠BAC，③错误．
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【答案】B
【点拨】∵四边形ABCD为平行四边形，AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，OD＝OC.又∵DF∥AC，OD∥CF，∴四边形OCFD为菱形．∵G是CD的中点，P是菱形OCFD边上的动点，∴当GP垂直于菱形OCFD的一边时，PG有最小值．过点D作DM⊥AC于点M，过点G作GP⊥AC于点P，则GP∥MD.
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【答案】A
10．如图，A，B两点的坐标分别为(5，0)，(1，3)，点C是平面直角坐标系内一点．若以O，A，B，C四点为顶点的四边形是菱形，则点C的坐标为________．
(－4，3)
四边形
四条边相等
平行四边形
菱形
菱形
对角线互相垂直
一组邻边相等
判定一个四边形是菱形的思路：
菱形
菱形的判定
有一组邻边相等的平行四边形
对角线互相垂直的平行四边形
四条边相等的四边形

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