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新人教版数学8年级下册培优备课课件
24.2.2 用方差分析数据
第二十四章 数据的分析
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能够运用样本方差估计总体方差，解决简单的实际问题.
例1 自动灌装线灌装饮料时，由于各种不可控的因素，每瓶饮料的实际含量与标准含量会存在一些误差（实际含量－标准含量）．
甲、乙两条灌装线同时灌装标准含量为500 mL的饮料，为了检验两条灌装线的灌装质量，从每条灌装线上各随机抽取10瓶饮料进行测量，结果（单位：mL）如下表所示.
(1)如果每瓶饮料含量的误差的绝对值超过10mL为不合格品，两条灌装线的灌装质量是不是都合格？
(2)哪条灌装线的灌装质量更好？
{C4B1156A-380E-4F78-BDF5-A606A8083BF9}甲
501
496
498
499
503
498
505
498
501
501
乙
496
493
504
495
500
506
504
505
498
499
{C4B1156A-380E-4F78-BDF5-A606A8083BF9}甲
501
496
498
499
503
498
505
498
501
501
乙
496
493
504
495
500
506
504
505
498
499
解：(1)甲、乙灌装线饮料的实际含量与标准含量500 mL的误差如下表所示.
{A212C30E-A002-4900-8213-902C3A9C3E93}甲组误差/mL
1
-4
-2
-1
3
-2
5
-2
1
1
乙组误差/mL
-4
-7
4
-5
0
6
4
5
-2
-1
从表中的数据可以看出，甲、乙灌装线灌装的误差绝对值最大分别为5 mL,7 mL，两者都小于10 mL，因此两条灌装线灌装的质量都是合格的.
例1 (2)哪条灌装线的灌装质量更好？
{C4B1156A-380E-4F78-BDF5-A606A8083BF9}甲
501
496
498
499
503
498
505
498
501
501
乙
496
493
504
495
500
506
504
505
498
499
分析：在饮料含量的误差的绝对值符合要求前提下，灌装饮料的实际含量与标准含量的差异越小，说明灌装线的质量越好.
(2)甲、乙灌装线饮料实际含量的平均数分别为
????甲=501+496+?+50110=500,
????乙=496+493+?+49910=500.
两条灌装线饮料实际含量的平均数都等于标准含量.
?
可以类比方差，计算甲、乙灌装线饮料的实际含量与标准含量的平均差异程度，分别为
(501?500)2+(496?500)2+?+(501?500)210 = 6.6，
(496?500)2+(493?500)2+?+(499?500)210 = 18.8.
可以发现，甲灌装线饮料实际含量与标准含量的平均差异更小.
根据样本估计总体，综合来看，甲灌装线的灌装质量更好.
?
例1 (2)哪条灌装线的灌装质量更好？
{C4B1156A-380E-4F78-BDF5-A606A8083BF9}甲
501
496
498
499
503
498
505
498
501
501
乙
496
493
504
495
500
506
504
505
498
499
跟踪训练 甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成两个统计图（如图1，图2）：
图1 甲队员射击训练成绩
图2 乙队员射击训练成绩
根据以上信息，整理分析数据如右图：
{16D9F66E-5EB9-4882-86FB-DCBF35E3C3E4}
平均成绩
/杯
中位数
/杯
众数
/杯
方差
甲
7
7
7
1.2
乙
7
7.5
8
4.2
图1甲队员射击训练成绩
图2乙队员射击训练成绩
(1)求出表格中a,b,c的值.
(2)分别运用上表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩.
{16D9F66E-5EB9-4882-86FB-DCBF35E3C3E4}
平均成绩
/杯
中位数
/杯
众数
/杯
方差
甲
a
7
7
1.2
乙
7
b
8
c
图1 甲队员射击训练成绩
图2 乙队员射击训练成绩
解：(1)观察甲队员射击训练成绩统计图，
可知 a=110×5×1+6×2+7×4+8×2+9×1=110×70=7.
观察乙队员射击训练成绩统计图可知，
乙的 10 次成绩（单位：环）按从小到大的顺序排列为 3, 4, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10，其中最中间的两个数分别为 7 和 8，故????=7+82=7.5.
?
{16D9F66E-5EB9-4882-86FB-DCBF35E3C3E4}
平均成绩
/杯
中位数
/杯
众数
/杯
方差
甲
a
7
7
1.2
乙
7
b
8
c
图1 甲队员射击训练成绩
图2 乙队员射击训练成绩
{16D9F66E-5EB9-4882-86FB-DCBF35E3C3E4}
平均成绩
/杯
中位数
/杯
众数
/杯
方差
甲
a
7
7
1.2
乙
7
b
8
c
乙成绩的方差
????=110×[(3-7)2+(4-7)2+(6-7)2+2×(7-7)2+3×(8-7)2+(9-7)2+(10-7)2]=4.2.
故a，b，c的值分别为 7，7.5，4.2.
?
{16D9F66E-5EB9-4882-86FB-DCBF35E3C3E4}
平均成绩
/杯
中位数
/杯
众数
/杯
方差
甲
7
7
7
1.2
乙
7
7.5
8
4.2
(2)分别运用上表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩.
根据表中数据可知，甲和乙的平均成绩相等，乙的中位数大于甲的中位数，乙的众数大于甲的众数，所以从平均数、中位数、众数的角度看，乙的成绩好于甲的成绩；从方差的角度看，乙的方差大于甲的方差，说明甲的成绩比乙的成绩稳定（合理即可）.
决策型问题的求解策略
决策型问题的求解不能只通过某一个统计量去判断，而应该从多个角度去分析.平均数、中位数、众数反映一组数据的集中趋势.方差是用来描述数据离散程度的量，它的大小体现一组数据的稳定情况.
例2 甲、乙两地同一天的气温记录如下表所示. 两地的气温有什么差异？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}时刻
0:00
2:00
4:00
6:00
8:00
10:00
12:00
14:00
16:00
18:00
20:00
22:00
24:00
甲/ ℃
11
9
10
12
16
21
23
24
21
18
16
14
13
乙/ ℃
13
11
12
14
15
17
19
21
20
18
17
16
15
解：为了直观地观察两地气温的特点，以时刻为横坐标，气温为纵坐标，把表中的数据用折线图进行表示，得到下图.
时刻
气温/ ℃
25
20
15
10
5
0
时刻
气温/℃
25
20
15
10
5
0
从上图可以看出，甲、乙两地气温在不同的时刻互有高低，但甲地的最高气温高于乙地，而最低气温低于乙地.为进一步了解两地气温的差异，可以从数据的集中趋势和离散程度两个方面分别进行比较.
两地气温的平均数分别为
????甲= 11+9+?+1313=16， ????乙= 13+11+?+1513=16.
?
将两地气温按从小到大排列，可得
甲地 9 10 11 12 13 14 16 16 18 21 21 23 24
乙地 11 12 13 14 15 15 16 17 17 18 19 20 21
可以发现两地气温的中位数都是16，众数各有两个（甲地是16和21，乙地是15和17）且都出现两次，因为重复次数太少，所以不具有代表性.因此，从数据的集中趋势看，两地的气温差异不明显.
两地气温的方差分别为
s2甲= (11?16)2+(9?16)2+?+(13?16)213 = 30613≈23.5，
s2乙= (13?16)2+(11?16)2+?+(15?16)213 = 11213≈8.6.
由s2甲＞s2乙可知，乙地气温的波动程度比甲地的小，气温更稳定.
?
1．[2025泸州]某校八年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数(单位：个)及方差如下表所示：
?
甲
乙
丙
丁
平均数
205
217
208
217
方差
4.6
4.6
6.9
9.6
返回
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择(　　)
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
B
返回
2．某场比赛，共有10位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从10个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到8个有效评分，8个有效评分的方差与10个原始评分的方差相比(　　)
A．不变 B．变大
C．变小 D．不能确定
D
3．如图是A，B两市去年四季平均气温的折线统计图，则四季平均气温波动较小的城市是____(填“A”或“B”)．
A
返回
4．某射击队要从甲、乙、丙、丁四人中选拔一名选手参赛，在选拔赛中，每人射击10次，然后从他们的成绩平均数(单位：环)及方差两个因素进行分析，甲、乙、丙的成绩分析如表所示，丁的成绩如图所示．
?
甲
乙
丙
平均数
7.9
7.9
8.0
方差
3.29
0.49
1.8
返回
根据以上图表信息，参赛选手应选(　　)
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
D
?
甲
乙
丙
平均数
7.9
7.9
8.0
方差
3.29
0.49
1.8
5．[2025运城期末]某外贸公司要出口一批规格为75 g的鸡腿，现有甲、乙、丙3个厂家提供货源，它们的价格相同，鸡腿品质也很相近，如图是质检员分别从3个厂家的产品中抽样调查的20只鸡腿的质量(单位：g)绘制成的统计图．
如果只考虑鸡腿的规格，那么外贸公司应该买________厂家的鸡腿(填“甲”或“乙”或“丙”)．
乙
【点拨】从三个厂家的统计图中可以看出：甲厂家鸡腿恰好是75 g的只有2只，而乙厂家和丙厂家都有4只；由题图中数据可得?x甲＝75.1(g)，?x乙＝75(g)，?x丙＝75(g)，从平均数可以看出三个厂家鸡腿的平均质量相差不大，可得s甲2＝4.39，s乙2＝2.5，s丙2＝6.6，从方差可以看出：甲厂家和丙厂家的鸡腿质量的波动较大，乙厂家鸡腿质量的波动较小．故应买乙厂家的鸡腿．
返回
6．[2025南京玄武区期末]体育课进行小组跳绳比赛，在规定时间内两个小组每名同学跳绳次数情况记录如下表：
93
组别
1号
2号
3号
4号
5号
6号
平均数
方差
甲
96
92
88
94
101
81
92
?
乙
95
96
87
93
94
?
93
253
组别
1号
2号
3号
4号
5号
6号
平均数
方差
甲
96
92
88
94
101
81
92
?
乙
95
96
87
93
94
?
93
(1)根据所给数据完成上表．
(2)请分别解释甲组中两个“92”的实际意义．
【解】甲组中第一个92表示甲组2号同学在规定时间内跳绳的次数为92；第二个92表示甲组六名同学在规定时间内跳绳的平均次数为92.
(3)如果乙组中再增加一名学生，且他在规定时间内的跳绳次数为93，小明认为乙组的平均数和方差都不会发生改变．你认为小明的说法对吗？请说出你的理由．
返回
利用方差进行决策
决策型问题的求解不能只通过某一个统计量去判断，而应该从多个角度去分析.平均数、中位数、众数反映一组数据的集中趋势.方差是用来描述数据离散程度的量，它的大小体现一组数据的稳定情况.
方差越大，数据的离散程度越大；
方差越小，数据的离散程度越小.

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