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新人教版数学8年级下册培优备课课件
24.4数据的分组
第二十四章 数据的分析
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1.理解离差平方和的概念.（重点）
2.会用离差平方和对数据进行分组.（难点）
问题 一家公司向社会招聘一名员工，所有应聘者先统一参加笔试，然后根据笔试成绩确定一部分应聘者进入面试.将10名应聘者的笔试成绩（百分制）按从小到大的顺序排列如下：
58 64 68 75 76 83 85 89 90 92
你认为哪一部分应聘者应当进入面试?
自然，应当选择笔试成绩好的应聘者进人面试．那么笔试成绩怎样才算好呢？可以有不同的标准．例如，前三名或85分及以上等，不管哪种标准，目的都是把笔试成绩分成好和差两组.
对笔试成绩进行分组，上面提到的标准各有其合理性，在实际中也经常被采用．但这些标准都没有考虑数据自身的特点，这可能导致两个很接近的笔试成绩被分到不同的组.
例如，83分与85分的差距很小，若以“85分及以上”为好成绩的标准，则85分属于好成绩，而83分属于差成绩．而从公司确定面试应聘者的角度看，把笔试成绩相对接近的分到同一组，是一种较合理的做法.
因此，笔试成绩可以根据组内差异最小的原则进行分组.
将笔试成绩按从小到大的顺序排列，使相互最接近的笔试成绩都挨在了一起. 因此，要使分组后的组内差异最小，只需在已排序数据的基础上寻找分组方法. 可以发现，10个笔试成绩按顺序排列形成9个间隔，如图所示.
58 64 68 75 76 83 85 89 90 92
每个间隔都可以把笔试成绩分成好和差两组，共有9种分法.
思考 怎么刻画组内笔试成绩差异的大小呢？哪种分法能使笔试成绩好和差两组的组内差异最小？
在前面的学习中，我们知道，离差平方和可以刻画一组数据的离散程度.下面我们利用离差平方和刻画组内数据的离散程度，进而对数据进行分组.
一般地，设有n个数据x1，x2，?，xn，其平均数记为????，则离差平方和为d2=(x1-????)2+(x2-????)2+?+(xn-????)2.
?
如果把这组数据分为两组，前m(md12=(x1-????1)2+(x2-????1)2+?+(xm-????1)2,
d22=(xm+1-????2)2+(xm+2-????2)2+?+(xn-????2)2,
?
那么
d2=(x1-????)2+(x2-????)2+?+(xn-????)2
=(x1-????1+????1-????)2+(x2-????1+????1-????)2+?+(xm-????1+????1-????)2+ (xm+1-????2+????2-????)2+ (xm+2-????2+????2-????)2+?+(xn-????2+????2-????)2
=(x1-????1)2+(x2-????1)2+?+(xm-????1)2+(xm+1-????2)2+(xm+2-????2)2+?+(xn-????2)2+ m(????1-????)2+(n-m)(????2-????)2
=d12+d22+m(????1-????)2+(n-m)(????2-????)2.
?
其中d12+d22称为组内离差平方和. 表示两个组内数据的离散程度；记
d122=m(????1-????)2+(n-m)(????2-????)2,
d122是m个第一组数据平均数、(n-m)个第二组数据平均数关于总体数据平均数的离差平方和，称为组间离差平方和，表示两个组间的差异．根据组内离差平方和最小的原则进行分组时，由于d?不变，既可以按d12+d22最小来分组，也可以按d122最大来分组.
?
这样，根据组内离差平方和最小的原则，能使笔试成绩相差较小的应聘者分在同一组．利用计算器或信息技术工具，可以计算出图中的9种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位），如表所示.
{16D9F66E-5EB9-4882-86FB-DCBF35E3C3E4}分组
第一组离差平方和
第二组离差平方和
组内离差平方和
第1个间隔
0
799.6
799.6
第2个间隔
18
503.5
521.5
第3个间隔
50.7
271.4
322.1
第4个间隔
152.8
170.8
323.6
第5个间隔
228.8
54.8
283.6
第6个间隔
411.3
26
437.3
第7个间隔
587.4
4.7
592.1
第8个间隔
819.5
2
821.5
第9个间隔
1 026.2
0
1 026.2
观察最后一列组内离差平方和可以发现，当按第5个间隔分组时，组内离差平方和最小．
因此，按组内离差平方和最小的分法为{58，64，68，75，76}和{83，85，89，99，92}.
{16D9F66E-5EB9-4882-86FB-DCBF35E3C3E4}分组
第一组离差平方和
第二组离差平方和
组内离差平方和
第1个间隔
0
799.6
799.6
第2个间隔
18
503.5
521.5
第3个间隔
50.7
271.4
322.1
第4个间隔
152.8
170.8
323.6
第5个间隔
228.8
54.8
283.6
第6个间隔
411.3
26
437.3
第7个间隔
587.4
4.7
592.1
第8个间隔
819.5
2
821.5
第9个间隔
1 026.2
0
1 026.2
例1 10个城市某月的每日最高温度的平均数（简称平均高温）如表所示.
{16D9F66E-5EB9-4882-86FB-DCBF35E3C3E4}城市
北京
石家庄
呼和
浩特
哈尔滨
上海
广州
海口
成都
贵阳
昆明
平均高温/℃
3
3
-3
-11
10
21
22
12
9
17
解：将表中的数据按从小到大排列，可得
-11 -3 3 3 9 10 12 17 21 22
将它们分成两组共有9种情况，利用计算器或信息技术工具，分别计算组内离差平方和（结果保留小数点后一位），如表所示.
{16D9F66E-5EB9-4882-86FB-DCBF35E3C3E4}分组
第一组离差平方和
第二组离差平方和
组内离差平方和
第1个间隔
0
584.2
584.2
第2个间隔
32
380.9
412.9
第3个间隔
98.7
285.7
384.4
第4个间隔
132
158.8
290.8
第5个间隔
228.8
113.2
342
第6个间隔
308.8
62
370.8
第7个间隔
397.4
14
411.4
第8个间隔
562
0.5
562.5
第9个间隔
789.6
0
789.6
观察最后一列组内离差平方和可以发现，当按第4个间隔分组时，组内离差平方和最小．因此，按组内离差平方和最小的分法为
{北京，石家庄，呼和浩特，哈尔滨}
和{上海，广州，海口，成都，贵阳，昆明}.
{16D9F66E-5EB9-4882-86FB-DCBF35E3C3E4}分组
第一组离差平方和
第二组离差平方和
组内离差平方和
第1个间隔
0
584.2
584.2
第2个间隔
32
380.9
412.9
第3个间隔
98.7
285.7
384.4
第4个间隔
132
158.8
290.8
第5个间隔
228.8
113.2
342
第6个间隔
308.8
62
370.8
第7个间隔
397.4
14
411.4
第8个间隔
562
0.5
562.5
第9个间隔
789.6
0
789.6
组内离差平方和的计算方法
①排序：将一组数据从小到大排列；
②分组：把数据分成两组，前?m?(m③计算：分别计算这两组数据的离差平方和?????12，????22；
④求和：计算组内离差平方和?????12+????22.
?
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1．科研人员选出8株植物，在同等实验条件下，测量它们光合作用速率(单位：μmol·m－2·s－1)．统计结果为35，30，23，17，20，25，32，30，若根据“组内离差平方和最小的原则将其分为两组，则需先将数据由________到________排序，再将这8株植物分成两组，共有________种分法．
小
大
7
2．现有一组数据：12，15，18，20，22，25，将其分成两组{12，15}和{18，20，22，25}，则这种分组情况的组内离差平方和为________．
31.25
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【点拨】第1组数据{12，15}的平均数为{12＋15}÷2＝13.5，则离差平方和为(12－13.5)2＋(15－13.5)2＝4.5.第2组数据{18，20，22，25}的平均数为(18＋20＋22＋25)÷4＝21.25，则离差平方和为(18－21.25)2＋(20－21.25)2＋(22－21.25)2＋(25－21.25)2＝26.75.
所以这种分组情况的组内离差平方和为4.5＋26.75＝31.25.
3．小荣在班上做节水意识调查，收集了班上7位同学家里上个月的用水量如下表：
?
根据用水量的组内离差平方和最小原则，把这7位同学分为两组．
?
A
B
C
D
E
F
G
用水量/m3
7
5
13
6
9
11
5
【解】将7个数据由小到大排列为5，5，6，7，9，11，13，不同分组情况的组内离差平方和如下表，
分组
第一组离
差平方和
第二组离
差平方和
组内离差
平方和
第1个间隔
0
4712
4712
第2个间隔
0
3245
3245
分组
第一组离
差平方和
第二组离
差平方和
组内离差
平方和
第1个间隔
0
第2个间隔
0
分组
第一组离
差平方和
第二组离
差平方和
组内离差
平方和
第3个间隔
23
20
2023
第4个间隔
234
8
1034
第5个间隔
1115
2
1315
第6个间隔
2856
0
2856
分组
第一组离
差平方和
第二组离
差平方和
组内离差
平方和
第3个间隔
20
第4个间隔
8
第5个间隔
2
第6个间隔
0
观察最后一列组内离差平方和可以发现，当按第4个间隔分组时，组内离差平方和最小．因此，按组内离差平方和最小的分法为{A，B，D，G}和{C，E，F}．
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4．北京时间2025年4月24日，搭载神舟二十号载人飞船的长征二号F遥二十运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，随后神舟二十号飞行乘组顺利进入中国空间站，展示了我国在航天领域的强大实力，谱写了航天强国建设的新篇章．
某校为了培养学生对航天知识的学习兴趣，开展了航天知识答题竞赛活动，现从该校八年级随机抽取6名学生的成绩：86，81，95，89，88，89．根据组内离差平方和最小的原则，把这6名学生的成绩分成两组________和________________．
{81，86}
{88，89，89，95}
【点拨】将6个数据由小到大排列可得81，86，88，89，89，95，将它们分为两组共有5种情况，分别计算组内离差平方和如下表：
分组
第一组离
差平方和
第二组离
差平方和
组内离差平方和
第1个间隔
0
45.2
45.2
第2个间隔
12.5
30.75
43.25
分组
第一组离
差平方和
第二组离
差平方和
组内离差平方和
第3个间隔
26
24
50
第4个间隔
38
18
56
第5个间隔
45.2
0
45.2
返回
观察最后一列组内离差平方和可以发现，当按第2个间隔分组时，组内离差平方和最小．因此，按组内离差平方和最小的分法为{81，86}和{88，89，89，95}．
5．为考察某品种小麦的长势，测量了6株麦苗的高度(单位：cm)，数据如下：21，26，22，24，25，24．根据组内离差平方和最小的原则，把这6个数据分成三组．
【解】将6个数据由小到大排列，为21，22，24，24，25，26，不同分组情况的组内离差平方和如下表，
分组情况
第1组数据
第2组数据
第3组数据
组内离差
平方和
第1种
21
22
24，24，
25，26
234
第2种
21
22，24
24，25，26
4
分组情况
第1组数据
第2组数据
第3组数据
组内离差
平方和
第1种
21
22
24，24，
25，26
第2种
21
22，24
24，25，26
4
分组情况
第1组数据
第2组数据
第3组数据
组内离差
平方和
第3种
21
22，24，24
25，26
316
第4种
21
22，24，
24，25
26
434
第5种
21，22
24
24，25，26
212
分组情况
第1组数据
第2组数据
第3组数据
组内离差
平方和
第3种
21
22，24，24
25，26
第4种
21
22，24，
24，25
26
第5种
21，22
24
24，25，26
分组情况
第1组数据
第2组数据
第3组数据
组内离差
平方和
第6种
21，22
24，24
25，26
1
第7种
21，22
24，24，25
26
116
第8种
21，22，24
24
25，26
516
分组情况
第1组数据
第2组数据
第3组数据
组内离差
平方和
第6种
21，22
24，24
25，26
1
第7种
21，22
24，24，25
26
第8种
21，22，24
24
25，26
分组情况
第1组数据
第2组数据
第3组数据
组内离差
平方和
第9种
21，22，24
24，25
26
516
第10种
21，22，
24，24
25
26
634
分组情况
第1组数据
第2组数据
第3组数据
组内离差
平方和
第9种
21，22，24
24，25
26
第10种
21，22，
24，24
25
26
返回
观察最后一列组内离差平方和可以发现，第6种情况组内离差平方和最小．因此，按组内离差平方和最小的分法为{21，22}，{24，24}和{25，26}．
数据的分组
按组内离差平方和最小分组
按组间离差平方和最大分组

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