资源简介

新人教版数学8年级下册培优备课课件
24.2.1 方差
第二十四章 数据的分析
授课教师： Home .
班 级： .
时 间： .
1.理解离差平方和和方差的概念及统计学意义.
2.会计算一组数据的方差.
3.能够运用方差判断数据的波动程度，并解决简单的实际问题.
在数据分析中，除了集中趋势，数据的波动情况也是人们经常关注的特征，统计中把它称为数据的离散程度.本节我们将学习刻画一组数据离散程度的两个常见统计量——离差平方和、方差.
问题 某农业科学院专家为某地选择合适的甜玉米种子.选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是专家所关心的问题.为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，专家各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量 (单位：t) 如下表所示.
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}甲
7.65
7.50
7.62
7.59
7.65
7.64
7.50
7.40
7.41
7.41
乙
7.55
7.56
7.53
7.44
7.49
7.52
7.58
7.46
7.53
7.49
根据这些数据估计，专家应该选择哪种甜玉米种子呢?
由样本平均数
估计总体平均数
上面两组数据的平均数分别是
????甲=7.537，????乙=7.515.
说明在试验田中，甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大.
由此可以估计出这个地区种植这两种甜玉米，它们的平均产量相差不大.
?
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}甲
7.65
7.50
7.62
7.59
7.65
7.64
7.50
7.40
7.41
7.41
乙
7.55
7.56
7.53
7.44
7.49
7.52
7.58
7.46
7.53
7.49
为了直观地观察甲、乙两种甜玉米在各试验田产量的分布情况，我们把表中的两组数据分别用图形进行描述，如图所示.
比较两幅图可以看出，甲种甜玉米在各试验田的产量波动较大，多个产量离平均产量较远；而乙种甜玉米在各试验田的产量波动较小，较集中地分布在平均产量附近.因此，从直观上判断乙种甜玉米的产量稳定性更好．
思考 如何用一个值刻画一组数据的波动程度或离散程度呢？
正如两幅图所呈现的，当数据分布比较分散时，数据与平均数的差异相对较大；当数据分布比较集中时，数据与平均数的差异相对较小.
反过来也成立.
这样，为了全面反映一组数据的离散程度，可以通过数据与平均数的差异来刻画.
一般地，有 n 个数据 x1，x2，?，xn，用????表示它们的平均数，我们把 xi-???? （i=1，2，?，n）叫作 xi 关于平均数????的离差.
?
思考 可以用平均离差刻画一组数据的离散程度吗？
用离差可以刻画每个数据与平均数的差异，但由
(x1- ????)+(x2- ????)+?+(xn- ????)=x1+x2+?+xn-n????=0
可知，一组数据的离差和总是0，因此平均离差无法刻画一组数据与平均数的差异.
?
为了避免离差求和时正负抵消的问题，统计中通常先对离差进行平方，然后求和.我们把
(x1- ????)2+(x2- ????)2+?+(xn- ????)2
叫作这 n 个数据关于平均数的离差平方和，记作“d2”.
?
例1 体育老师随机选取八年级两个班各10名同学测量身高(单位:cm)，数据如下：
八(2)班：154,161,149,158,162,155,160,152,156,163；
八(5)班：148,150,166,168,152,155,158,149,165,159.
(1)分别计算两组数据的离差平方和；
解：（1）计算平均身高：
八(2)班：????1= 110× (154+161+149+158+162+155+160+152+156+163) =157.
八(5)班：????2 = 110× (148+150+166+168+152+155+158+149+165+159) =157.
计算离差平方和：
八(2)班：d12=(154?157)?+(161?157)?+(149?157)?+(158?157)?+(162?157)?+(155?157)?+(160?157)?+(152?157)?+(156?157)?+(163?157)?=190.
八(5)班：d22=(148?157)?+(150?157)?+(166?157)?+(168?157)?+(152?157)?+(155?157)?+(158?157)?+(149?157)?+(165?157)?+(159?157)?=494.
?
例1 体育老师随机选取八年级两个班各10名同学测量身高
(单位:cm)，数据如下：
八(2)班：154,161,149,158,162,155,160,152,156,163；
八(5)班：148,150,166,168,152,155,158,149,165,159.
(2)根据离差平方和判断哪个班的身高数据离散程度更大.
（2）因为d12 < d22，
所以八（5）班身高数据离散程度更大.
离差平方和的计算步骤
(1)求原始数据的平均数；
(2)求原始数据中各数据与平均数的差；
(3)求(2)中所得差的平方和.
把离差的平方的平均数
(????1??????)2+(????2??????)2+?+(??????????????)2????
叫作这组数据的方差，记作“s2”.
?
特点：
方差能较好地反映出数据的离散程度，方差越大，数据的离散程度越大；方差越小，数据的离散程度越小.而且在比较两组数据的离散程度时，不受数据个数的限制.
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}甲
7.65
7.50
7.62
7.59
7.65
7.64
7.50
7.40
7.41
7.41
乙
7.55
7.56
7.53
7.44
7.49
7.52
7.58
7.46
7.53
7.49
思考 你能利用方差公式分析甲、乙两种甜玉米产量的波动程度吗?
????甲2=7.65?7.5372+7.50?7.5372+?+7.41?7.537210 ≈ 0.010，
????乙2=7.55?7.5152+7.56?7.5152+?+7.49?7.515210 ≈ 0.002.
由????甲2>????乙2，可得乙种甜玉米产量的离散程度较小，即乙种甜玉米产量波动较小，稳定性较好.
?
????甲=7.537.
????乙=7.515.
?
由此可知，在试验田中，乙种甜玉米的产量比较稳定.正如用样本的平均数估计总体的平均数一样，也可以用样本的方差来估计总体的方差.
因此可以推测，在这个地区种植乙种甜玉米的产量比种植甲种的稳定.
综合考虑甲、乙两个品种的平均产量和产量的稳定性，可以推测这个地区比较适合种植乙种甜玉米.
例2 数据1，-3，4，-2，2的方差为________.
解析：
方法一 ∵ ????= 1+(?3)+4+(?2)+25?= 0.4 .
∴ s? = 15× [(1?0.4)?+(?3?0.4)?+(4?0.4)?+(?2?0.4)?+(2?0.4)?]=6.64.
方法二 ∵????= 1+(?3)+4+(?2)+25?= 0.4 .
∴s?= 15× [1?+(?3)?+4?+(?2)?+2??5×0.4?]=6.64
?
6.64
跟踪训练 在一次训练中，甲、乙、丙三人各射击10次的成绩（单位：环）如图所示，在这三人中，此次射击成绩最稳定的是________.
解析：由图可知，乙的数据波动比较小，因此乙的射击成绩更稳定.
答案：乙.
乙
思考 用离差平方和是否可以刻画数据的离散程度？和方差比较，有什么不足？
离差平方和可以刻画一组数据的离散程度.
在比较两组数据的离散程度时，离差平方和只适用于数据个数相同的情况，而方差则不受这个限制.
例3 甲、乙两名气手枪运动员进行射击训练，10次射击成绩（单位：环）如下表所示.
哪名射击运动员的发挥更稳定？
解：两名运动员射击成绩的平均数分别为
????甲= 9+7+?+1010=8.7,
????乙= 9+10+?+910=8.6.
?
{16D9F66E-5EB9-4882-86FB-DCBF35E3C3E4}甲
9
7
9
10
10
8
9
10
5
10
乙
9
10
7
8
10
9
9
8
7
9
两名运动员射击成绩的方差分别为
s2甲= (9?8.7)2+(7?8.7)2+?+(10?8.7)210=2.41,
s2乙= (9?8.6)2+(10?8.6)2+?+(9?8.6)210=1.04.
由s2甲＞s2乙可知，乙射击运动员的发挥更稳定.
?
{16D9F66E-5EB9-4882-86FB-DCBF35E3C3E4}甲
9
7
9
10
10
8
9
10
5
10
乙
9
10
7
8
10
9
9
8
7
9
思考 如何使用计算器求方差？
使用计算器的统计功能可以求方差.操作时需要参阅计算器的使用说明书，通常需要先按动有关键，使计算器进入统计状态，然后依次输入数据，最后按动求方差的功能键，计算器便会求出方差的值.
返回
1．[2025南京一模]已知一组数据：6，8，6，6，4，这组数据的方差是(　　)
A．1.2 B．1.4
C．1.6 D．1.8
C
返回
2．射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图，其成绩的方差分别记为s甲2和s乙2，则s甲2和s乙2的大小关系是(　　)
A．s甲2＞s乙2
B．s甲2＜s乙2
C．s甲2＝s乙2
D．无法确定
A
返回
3．已知一组数据：33，47，47，4▲，52，56，其中一个两位数的个位数字被墨水涂污，则关于这组数据，下列统计量的计算结果与被涂污数字无关的是(　　)
A．平均数　 B．离差平方和　
C．众数　 D．方差
C
返回
4．超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，设货架上原有鸡蛋的质量(单位：g)平均数和方差分别为?x，s2，该顾客选购的鸡蛋的质量平均数和方差分别为?x1，s12，则下列结论一定成立的是(　　)
A．?x＜?x1 B．?x＞?x1 C．s2＞s12 D．s2＜s12
C
返回
5．己知甲组数据为1，2，3，4，5，乙组数据为6，7，8，9，x，如果两组数据的离差平方和相等，那么x＝________．
5或10
【点拨】甲组数据都加上4得5，6，7，8，9，或甲组数据都加上5得6，7，8，9，10，因为乙组数据是6，7，8，9，x，两组数据的离差平方和相等，所以x＝5或10.
6．2025年世界运动会于8月7日至8月17日在成都举办，推动了成都各校体育活动如火如荼地开展．在某校射箭队的一次训练中，甲、乙两名运动员前5箭的平均成绩相同，教练将两人的成绩绘制成
如下尚不完整的统计图表．
(1)甲运动员前5箭射击成绩的众数
是______环．
9
(2)求a的值．
乙运动员成绩统计表
【解】因为甲运动员前5箭的总成绩是5＋7＋9＋9＋10＝40(环)，甲，乙两名运动员前5箭的平均成绩相同，
所以a＝40－8－10－8－6＝8.
次数
1
2
3
4
5
成绩/环
8
10
8
6
a
(3)如果从中选择一名成绩稳定的运动员参加全市中学生比赛，你认为应选谁去？请说明理由．
返回
7．[2025邢台期中]在田径运动会“100米短跑”比赛后，嘉嘉帮助老师将20个运动员的成绩录入电脑，得到平均成绩为13.8秒，方差为3.64．后来老师核查时发现其中有2个成绩录入有误，一个错录为9秒，实际成绩是 12秒；
另一个错录为17秒，实际成绩是14秒，并且还漏掉了一个运动员的成绩(即嘉嘉实际按19个运动员的成绩计算)，且漏掉的运动员的成绩和算错的平均成绩一样，老师将错录的2个成绩进行了更正，并加上了漏掉的运动员的成绩，更正后实际成绩的方差是s2，则(　　)
A．s2＝3.64 B．s2<3.64
C．s2>3.64 D．无法判断
返回
【点拨】由题意可知，录入有误的两个数的和为9＋17＝26，实际的两个数的和为12＋14＝26，所以更正后实际成绩的平均数与原来的平均数相同，为13.8秒．因为|9－13.8|＞|12－13.8|，|17－13.8|＞|14－13.8|，所以方差变小，即s2<3.64.
【答案】B
8．[2025扬州期中]已知一组数据x1，x2，…，xn的平均数是10，方差是2，数据2x1＋3，2x2＋3，…，2xn＋3的方差是________．
8
返回
返回
9．[2025烟台期末]某班数学综合与实践活动小组5位同学的一次数学测验成绩分别为81分，83分，89分，85分，87分，经过计算这组数据的方差为m，若小红和小明同学也想加入该小组，并且两人成绩均为85分，若加入后该小组成绩的方差为n，则m和n的大小关系为________ ．
m>n
10．当前各国都高度重视人工智能并视其为提升国家竞争力的重要力量，随着人工智能与各个垂直领域的不断深入融合，普通公民也越来越需要具备人工智能的基本知识和应用能力，人工智能逐步成为中小学重要教学内容之一．
某同学设计了一款机器人，为了了解它的操作技能情况，对同一设计动作与人工进行了比赛，机器人和人工各操作10次，测试成绩(百分制)如下：
分析数据，得到下列表格．
?
平均数
中位数
众数
方差
机器人
92
a
95
c
人工
89
90
b
108.8
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：a＝________，b＝________．
91.5
100
(2)根据表格中的数据，计算机器人操作10次的方差c．
返回
(3)根据以上数据分析，请你写出机器人在操作技能方面的优势．(写一条即可)
【解】机器人的样本数据的平均数高于人工，方差较小，可以推断其优势在于操作技能水平较高的同时还能保持稳定(答案不唯一，合理即可)．
11．某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高(单位：cm)，数据如下：
161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175．
(1)求这16名学生身高的平均数和众数．
【解】这组数据中出现次数最多的数是165，出现了3次，所以这16名学生身高的众数为165 cm.
这16名学生身高的平均数为(161＋162＋162＋164＋165＋165＋165＋166＋166＋167＋168＋168＋170＋172＋172＋175)÷16＝166.75(cm)．
(2)对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，______组舞台呈现效果更好．
甲
甲组学生的身高/cm
162
165
165
166
166
乙组学生的身高/cm
161
162
164
165
175
数据的
离散程度
离差平方和
d2=(x1- ????)2+(x2- ????)2+?+(xn- ????)2.
?
方差
s2= (????1??????)2+(????2??????)2+?+(??????????????)2????.

展开更多......

收起↑