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新人教版数学8年级下册培优备课课件章末小结第二十章勾股定理授课教师：Home .班级：.时间：.本章知识结构图
勾股定理
勾股定理的逆定理
直角三角形边长的数量关系
直角三角形的判定
互逆定理
1. 勾股定理：
如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，
那么 a2 + b2 = c2 .
B
A
C
b
a
c
变式 1: a2 = c2－b2
变式 2: b2 = c2－a2
2. 勾股定理的应用：
实际问题
数学问题
勾股定理
直角三角形
转化
建构
利用
解决
3. 勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长 a，b，c 满足a2 + b2 = c2，
那么这个三角形是直角三角形.
4. 利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的步骤：
①找：找三角形的最长边；
②算：计算最长边的平方与另两边的平方和；
③判：若两者相等，则是直角三角形，否则不是.
5. 勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数，即在a +b =c 中，当a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数.
3
4
5
8
6
10
12
13
5
返回
1. 如图，长为16 cm的橡皮筋放置在直线 l 上，固定两端点 A 和 B，然后把中点 C 向上拉升6 cm至 D 点，则橡皮筋被拉长了( )
A. B. C. D.
C
6
8
B C
A D
2. 如图,一圆柱体的底面周长为 24 cm,高AB为 5 cm,BC 是直径,一只蚂蚁从点 A 出发沿着圆柱体的侧面爬行到点 C 的最短路程是( )
A. 6 cm B. 12 cm C. 13 cm D. 16 cm
C
12
5
解析：∵ 在Rt△ABC 中，∠CAB=90°，BC=17米，AC=8米，
∴AB===15 （米）.
∵CD=10 米，
∴AD==6 （米），
∴BD=AB-AD=15-6=9（米），
∴ 船向岸边移动了9米.
3.如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D 的位置，此时绳子CD的长为10米，则船向岸边移动了_____米.
9
解：由题意可知，∠NOB = 90°.
在 Rt△OAM 中，AM = 10 m，OA = 6 m，
则OM = = 8 m.
在 Rt△OBN 中，BN = 10 m，OB = 8 m，
则ON = = 6 m.
∴ MN = OM - ON = 2 m.
4. 如图，灯板MN垂直地面AB于点O， 第一次将竹竿的一个端点与点M重合，另一个端点落在地面上的A处，第二次将竹竿的一个端点与点N重合，另一个端点落在地面上的B处.已知AO=6 m ，BO=8 m，求灯板MN的长.
5.如图，点 D 在 Rt△ABC 的边 AB 上，AD = 8，DB = 2，CD = 17. 求 AC 和 BC 的长.
17
8
2
解：在 Rt△ACD 中，由勾股定理，
AC = = = 15.
∵AD = 8，DB = 2，∴AB = 10.
在 Rt△ABC 中，由勾股定理，
BC = = =.


6. 如图，每个小正方形的边长都为 1.
（1）求四边形 ABCD 的面积和周长；
解:（1）由勾股定理，BC = =，
CD = =， AD = =， AB = =，
∴四边形 ABCD 的周长为 AB + BC + CD + AD = + +3.
6. 如图，每个小正方形的边长都为 1.
（1）求四边形 ABCD 的面积和周长；
如图，沿格线过 A，B，C 三点作正方形 AEFG，
过点 D 作 DH ⊥ AG 于点 H.
∴S四边形ABCD = S正方形AEFG-S△BCF-S△ABE-S△ADH-
S梯形CDHG=
=
H
E
F
G
解：（2）∠BCD 是直角. 理由如下：
如图，连接 BD，
由勾股定理，BD = = 5.
由（1）知 CD = ，BC = ，
因此在△BCD 中，BD2 = 25，CD2 + BC2 =()2 + ()2 = 25，
∴BD2 = CD2 + BC2，
∴△BCD 是直角三角形，且∠BCD 是直角.
6. 如图，每个小正方形的边长都为 1.
（2）∠BCD 是直角吗？请说明理由.
7. 如图，在△ABC中，D为BC的中点，AB=26，AD=12，AC=10，
求BC的长.
解：如图，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE.
∵ AD = 12，∴ AE = 24.
∵ 点 D 是 BC 的中点，
∴ BD = CD.
在 △ADC 和 △EDB 中，
∴ △ADC≌△EDB（SAS），
∴ AC = EB.
E
7. 如图，在△ABC中，D为BC的中点AB=26，AD=12，AC=10，
求BC的长.
又 AC = 10，∴ EB = 10.
∴ BE + AE = 10 + 24 = 26 = AB ，
∴ ∠AEB = 90°.
∴ 在 Rt△BDE 中，BD = = 2，
∴ BC = 2BD = 4，
即 BC 的长为 4.
E
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B
1.
下面三幅图中，能证明勾股定理的有(　　)
A．一幅
B．两幅
C．三幅
D．都不能
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2.
如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该方法运用了刘徽的出入相补原理．若图中空白部分的面积是14，整个图形(连同空白部分)的面积是36，则大正方形ABCD的边长是________．
5
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3.
如图，△OAB的顶点O的坐标为(0，0)，顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴，若AB＝6，OA＝OB＝5，则点A的坐标是(　　)
A．(5，4)
B．(3，4)
C．(5，3)
D．(4，3)
D
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4.
如图，两个边长为1的正方形排列在数轴上形成一个长方形，以表示3的点为圆心，以长方形的对角线长为半径作圆与数轴有两个交点，其中点P表示的数是(　　)
C
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5.
[2025成都中考]如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2．以点A为圆心，以AB长为半径作弧；再以点C为圆心，以BC长为半径作弧，两弧在AC上方交于点D，连接BD，则BD的长为________．
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6.
[2025深圳南山区二模]最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定的夹角(如图①)．图②是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中AB＝BC＝20 cm，∠ABC＝120°．机器狗正常状态下的高度可以看成A，C两点间的距离，则机器狗正常状态
下的高度为________cm．
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7.
[教材P26练习T2变式]如图，图中所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，已知S＝31，
S1＝4，S2＝9，S3＝8，则S4的值是________．
10
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8.
[2025郑州月考]勾股数，又名毕达哥拉斯三元数，是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．下列各组数中，是勾股数的是(　　)
C
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9.
在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是(　　)
C
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10.
如图，已知A，B，C是海上的三座小岛，岛B在岛A的北偏东38°方向上，距离为12海里，岛C在岛A的北偏东方向上，距离为13海里，岛B和岛C之间的距离为5海里，则岛B在岛C的北偏西______方向上．
52°
11.
(8分)如图，某社区有一块四边形空地ABCD，AB＝15 m，CD＝8 m，AD＝17 m．从点A修了一条垂直BC的小路AE(垂足为E)，E恰好是BC的中点，且AE＝12 m．
(1)求边BC的长；
(2)连接AC，判断△ADC的形状．
解：∵AE⊥BC，E是BC的中点，
∴AC＝AB＝15 m.
又∵AD＝17 m，CD＝8 m，
∴CD2＋AC2＝AD2，
∴△ADC是直角三角形．
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12.
(8分) 如图为某品牌婴儿车的简化结构示意图．根据安全标准需满足BC⊥CD，现测得
AB＝8 dm，BC＝9 dm，CD＝12 dm，AD＝
17 dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接(即∠ABD＝90°)，通过计算说明该婴儿车是否符合安全标准．
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13.
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14.
如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为8 m的半圆，其边缘AB＝CD＝20 m，点E在CD上，CE＝5 m，一名滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为(边缘部分的厚度忽略不计，π取3，结果精确到1 m)(　　)
A．17 m B．18 m
C．19 m D．20 m
C
15.
(8分)如图，在△ABC中，AB＝20，AC＝12，BC＝16，把△ABC折叠，使AB落在边AC所在的直线上，且点B的对应点为B′，折痕为AD，求重叠部分(阴影部分)的面积．
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