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(共52张PPT)
1.了解向量的数乘的概念.
2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算.
3.理解并掌握向量共线定理及其判定方法.
[学习目标]
[情境导入]
一根细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，如果蚂蚁向东运动1秒的位移对应的向量为a，那么它向东运动3秒的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？这就是我们今天要学到的数乘运算.
知识点一　向量的数乘运算
1.向量的数乘
一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个____，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝____.
(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向____；当λ<0时，λa的方向与a的方向____.
由(1)可知，当λ＝0时，λa＝__.
由(1)(2)可知，(－1)a＝－a.
向量
|λ||a|
相同
相反
0
(λμ)a
2.向量的数乘运算的运算律
设λ，μ为实数，那么
(1)λ(μa)＝_____.
(2)(λ＋μ)a＝______.
(3)λ(a＋b)＝______.
特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，
λ(a－b)＝λa－λb.
λa＋μa
λa＋λb
3.向量的线性运算
向量的_____________运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝__________.
[微点拨]　(1)向量的数乘与实数的乘法的区别：前者的结果是一个向量，后者的结果是一个实数.特别注意λ＝0时，λa＝0，此处最容易出现的错误是将实数0与0混淆，错误地表述成λa＝0.
(2)要注意实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a是无法运算的.
加、减、数乘
λμ1a±λμ2b
[例2]　(北师版必修二例题)设x是未知向量，解方程x＋a－3(x－b)＝0.
[反思归纳]　向量线性运算的基本方法
1.类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数.
2.方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当地运用运算律，简化运算.
0
2.若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝__________.
解析　因为3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，所以3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，所以x＋3a－4b＝0，所以x＝－3a＋4b.
－3a＋4b
知识点二　用已知向量表示其他向量
[反思归纳]
1.用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何中的有关定理，将所求向量反复分解，直到可以用已知向量表示，其实质是向量的线性运算的应用.
2.若直接表示向量较困难时，可考虑设出未知向量，表示已知向量，建立向量的等量关系，求解关于所求量的方程.
C
C
知识点三　向量共线定理及其应用
1.向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使______.
b＝λa
[微点拨]　(1)向量共线定理中规定a≠0.
(2)λ的值是唯一存在的.
A.A，B，D B.A，B，C
C.B，C，D D.A，C，D
A
(2)已知e1，e2是不共线的单位向量，若a＝e1＋2e2，b＝λe1－e2，且a∥b，则λ＝(　　)
C
A
1.知识网络
[课堂小结]
2.特别提醒
不要忽视零向量这一个特殊向量.
1.思考辨析.(正确的打“√”，错误的打“×”)
×
(1)对于任意的向量a，总有0·a＝0.( )
(2)当λ>0时，|λa|＝λa.( )
(3)若a≠0，λ≠0，则a与－λa的方向相反.( )
(4)向量－8a(a≠0)的模是向量4a的模的2倍.( )
×
×
√
2.3(2a－b)－2(a＋3b)的化简结果为(　　)
A.4a＋3b B.4a－9b
C.8a－9b D.4a－3b
解析　由题意，3(2a－b)－2(a＋3b)＝4a－9b.
B
C
4.已知向量e1，e2是两个不共线的向量，若向量a＝2e1－e2与向量b＝3e1＋λe2共线，则实数λ＝____________.
[基础巩固]
1.化简3(a＋b)＋b－4(a－b)的结果是(　　)
A.2b－a B.－a
C.6a－b D.8b－a
解析　3(a＋b)＋b－4(a－b)＝3a＋3b＋b－4a＋4b＝8b－a.
D
1
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3
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2.已知向量a，b不共线，向量c＝a＋3b，d＝2a＋kb，且c∥d，则k＝(　　)
A.－3 B.3
C.－6 D.6
解析　设d＝λc，则2a＋kb＝λ(a＋3b)＝λa＋3λb，又a，b不共线，故λ＝2，k＝3λ＝6.
D
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C
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8
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D
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BCD
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13
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15
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3
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4
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－1
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3
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1∶2
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3
5
6
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8.(12分)已知a，b不共线.
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[综合应用]
1
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4
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C
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3
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ABC
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[拓展提升]
A
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D
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