资源简介

(共50张PPT)
1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.
2.掌握向量数量积的定义及投影向量.
3.会计算平面向量的数量积.
[学习目标]
[情境导入]
在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W＝|F||s|cos θ，其中θ是F与s的夹角.
功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定.这给我们一种启示，能否把“功”看作两个向量“相乘”的结果呢？受此启发，我们引入向量“数量积”的概念.
知识点一　向量的夹角
∠AOB＝θ(0≤θ≤π)
同向
反向
垂直
[例1]　如图，已知△ABC是等边三角形.
[反思归纳]
1.求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.
2.特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ.
A.30° B.60°
C.120° D.150°
C
知识点二　向量的数量积
|a||b|cos θ
1.向量数量积的定义
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝_________.
规定：零向量与任一向量的数量积为__.
a，b的夹角可记作〈a，b〉.
0
|a|cos θ
0
|a||b|
－|a||b|
|a|2
≤
[微点拨]　(1)数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写.
(2)向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0.
(3)a·b＝0不能推出a和b中至少有一个零向量.
[例2]　(1)如图，网格纸上的每个小正方形的边长均为1，下列关于向量a，b，c，d的判断正确的是(　　)
A.a·b<0 B.a·d>0
C.b·c>0 D.b·d＝0
解析　由图可知，a，b夹角为锐角，则a·b>0，故A错误；a，d夹角为钝角，则a·d<0，故B错误；b，c夹角为锐角，则b·c>0，故C正确；b，d夹角为锐角，则b·d>0，故D错误.
C
[反思归纳]　定义法求平面向量的数量积
若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件.
2.向量a，b的夹角为60°，且|a|＝1，|b|＝2，则a·b＝(　　)
A.4 B.2
C.－2 D.1
D
－20
知识点三　投影向量
投影
投影向量
[微点拨]　(1)向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量.
(2)如果向量a与向量b平行或垂直，向量a在向量b上的投影向量具有特殊性.
(3)由定义可知，投影是一个过程，而投影向量是一个结果.
D
(2)若|a|＝4，|b|＝2，a和b的夹角为60°，则a在b上的投影向量的模为(　　)
C
[反思归纳]　任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于|a|cos θ e(θ为向量a，b的夹角，e为与b同向的单位向量).
C
1.知识网络
[课堂小结]
2.特别提醒
1.思考辨析.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量的数量积是一个向量.( )
(2)向量a在向量b上的投影向量一定与b共线.( )
(3)若a·b<0，则a与b的夹角为钝角.( )
(4)若a≠0，则对任一非零向量b都有a·b≠0.( )
×
√
×
×
B
3.已知锐角△ABC，则下列说法正确的是(　　)
C
4.已知e为一单位向量，a与e之间的夹角是120°，而a在e方向上的投影向量为－2e，则|a|＝________.
4
[基础巩固]
B
1
2
3
5
6
7
8
9
10
4
11
12
13
14
15
16
2.如果a，b是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是(　　)
A.a＝b B.a＝－b
C.a2＝b2 D.a·b＝1
解析　两个单位向量的方向不一定相同或相反，所以选项A，B不正确；由于两个单位向量的夹角不确定，则a·b＝1不一定成立，所以选项D不正确；因为a，b是两个单位向量，故a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，则选项C正确.
C
1
2
3
5
6
7
8
9
10
4
11
12
13
14
15
16
3.已知向量a，b为单位向量，且a与b的夹角为30°，则向量a在向量b上的投影向量为(　　)
D
1
2
3
5
6
7
8
9
10
4
11
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14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等腰三角形
A
11
12
13
14
15
16
1
2
3
5
6
7
8
9
10
A.2 B.4
C.6 D.8
4
D
11
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13
14
15
16
1
2
3
5
6
7
8
9
10
6.(多选)已知向量a，b和实数λ，则下列选项中正确的是(　　)
A.若a与b是两个单位向量，则a2＝b2
B.|a·b|＝|a||b|
C.λ(a＋b)＝λa＋λb
D.|a·b|≤|a||b|
解析　选项B中，|a·b|＝||a||b|cos θ|，其中θ为a与b的夹角，故B错误.
4
11
12
13
14
15
ACD
16
1
2
3
5
6
7
8
9
10
7.已知平面向量a，b满足：|b|＝2，a在b上的投影向量为－2b，则a·b＝________.
4
11
12
13
14
15
16
-8
1
2
3
5
6
7
8
9
10
4
11
12
13
14
15
16
8.已知|a|＝3，|b|＝5，a·b＝12，则向量a在向量b上的投影向量为________.
9.(8分)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，与b同向的单位向量为e.
(1)求a·b；
(2)求a在b上的投影向量.
1
2
3
5
6
7
8
9
10
4
11
12
13
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15
16
10.(10分)已知正△ABC的边长为1，求：
1
2
3
5
6
7
8
9
10
4
11
12
13
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15
16
[综合应用]
11.(多选)下列说法正确的是(　　)
1
2
3
5
6
7
8
9
10
ABD
4
11
12
13
14
15
16
1
2
3
5
6
7
8
9
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4
11
12
13
14
15
16
A.－7 B.7
C.25 D.－25
1
2
3
5
6
7
8
9
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4
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12
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D
16
1
2
3
5
6
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4
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3
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2
3
5
6
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4
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1
2
3
5
6
7
8
9
10
4
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13
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16
[拓展提升]
A
1
2
3
5
6
7
8
9
10
4
11
12
13
14
15
16
1
2
3
5
6
7
8
9
10
4
11
12
13
14
15
16
1
2
3
5
6
7
8
9
10
4
11
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14
15
16

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