资源简介

(共52张PPT)
[学习目标]
[情境导入]
1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.
2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明.
上节课，我们研究了两个向量的数量积，并能用数量积的定义进行一些简单的计算.我们知道，向量的数乘有三个运算律，那么向量的数量积又满足哪些运算律呢？
知识点一　向量数量积的运算律
1.对于向量a，b，c和实数λ，有
(1)a·b＝b·a(交换律).
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
a2＋2a·b＋b2
2.平面向量数量积的运算性质
多项式乘法 向量数量积
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)2＝____________
(a－b)2＝a2－2ab＋b2 (a－b)2＝___________
(a＋b)(a－b)＝a2－b2 (a＋b)·(a－b)＝______
(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca (a＋b＋c)2＝___________________________
a2－2a·b＋b2
a2－b2
a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a
[微点拨]　(1)a·b＝b·c推不出a＝c.
(2)(a·b)c和a(b·c)不一定相等.
2
－12
[反思归纳]　关于向量数量积的运算律
1.利用向量数量积的运算律把要求的式子展开，将条件代入运算.
2.注意完全平方、平方差等公式在运算中的应用，可以起到简化运算过程的作用.
1.已知单位向量e1，e2的夹角为60°，则(2e1－e2)·e2＝(　　)
A.－2 B.0
C.1 D.2
B
A.2 B.－2
C.1 D.－1
D
知识点二　向量模的计算
A
[例2]　已知|a|＝2，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则|a－λb|的最小值为(　　)
[反思归纳]
1.利用向量的数量积求模是数量积的重要应用，a2＝|a|2是计算的依据.
2.根据平面图形求向量的模时，注意利用图形的性质对向量的数量积或者夹角等进行转化.
A
知识点三　向量的夹角与垂直
角度1　求向量的夹角
[例3]　已知向量a，b满足(a－2b)·(a＋b)＝3，且|a|＝2，|b|＝1，则a与b的夹角为(　　)
A.30° B.60°
C.120° D.150°
C
[反思归纳]
1.求向量夹角的基本步骤
2.求向量的夹角，还可以结合向量线性运算、模的几何意义，利用数形结合的方法求解.
4.设a，b均为非零向量，且a⊥(a＋b)，|b|＝2|a|，则a与b的夹角为(　　)
D
角度2　垂直问题
[例4]　已知a为单位向量，向量b在向量a上的投影向量是2a，且(4a＋λb)⊥a，则λ的值为(　　)
A.2 B.0
C.－2 D.－1
C
[反思归纳]　解决有关垂直问题时利用a⊥b a·b＝0(a，b为非零向量).
C
1.知识网络
[课堂小结]
2.特别提醒
切记向量数量积不满足结合律.
C
考教对比
D
考教对比
教考解读
高考题和教材习题考查的都是数量积的基本运算，并且在形式上完全相同，不同之处是高考试题没有给出各向量的夹角，需要通过平方进行转化.而事实上，教材习题中的条件也是满足a＋b＋c＝0，也就是说教材习题的解法可以按照高考题的解法进行，所以在学习教材时，对习题进行深刻的挖掘还是很有必要的.
[随堂巩固]
1.思考辨析.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于向量a，b，若a·b＝0，则a＝0或b＝0.( )
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.( )
(3)a·(b·c)＝(a·b)·c.( )
×
√
×
√
2.已知向量a，b满足|a＋b|＝|a|，且|b|＝2，则a·b的值为(　　)
A.2 B.－2
C.1 D.－1
B
3.已知a，b为相互垂直的单位向量，则|a－3b|＝(　　)
C
4.若|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，且(3a＋5b)⊥(ma－b)，则m的值为________.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
[基础巩固]
1.已知向量a，b均为单位向量，且a⊥b，则(2a－b)·(a＋4b)＝(　　)
A.2 B.－2
C.4 D.－4
B
解析　因为向量a，b均为单位向量，且a⊥b，所以|a|＝|b|＝1，a·b＝0，所以(2a－b)·(a＋4b)＝2a2－4b2＋7a·b＝2|a|2－4|b|2＝－2.故选B.
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
15
14
2.已知向量a，b是单位向量，且(2a－b)⊥b，则向量a与b的夹角是(　　)
C
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
15
14
D
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
15
14
A
16
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
15
14
A.16 B.8
C.4 D.－8
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
ABC
13
15
14
6.(多选)已知两个非零单位向量e1，e2的夹角为θ，则以下结论正确的是(　　)
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
15
14
16
7.已知单位向量a，b的夹角为60°.a－kb与b垂直，则k＝__________.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
15
14
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
18
13
15
14
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
15
14
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
15
14
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
15
14
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
15
14
16
[综合应用]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
13
15
14
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
16
12.(多选)已知非零向量a≠e，|e|＝1，对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，则(　　)
A.a在e上的投影向量为e
B.|a＋e|≥|a－2e|
C.a⊥(a－e)
D.e⊥(a－e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
15
14
ABD
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
15
14
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
15
A
14
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
15
14
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
[拓展提升]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
A.4 B.6
C.8 D.10
C
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
B

展开更多......

收起↑