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(共51张PPT)
1.理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义.
2.掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量.
3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.
[学习目标]
[情境导入]
音乐是人们休闲时候的一种选择，不管是流行歌曲的通俗，摇滚歌曲的动感，还是古典音乐的高雅，它们都给了不同的人不同的享受、不一样的音乐、不一样的感觉.事实上，音乐有7个基本音符：do，re，mi，fa，sol，la，si，所有的乐谱都只是这几个音符的巧妙组合，音乐的奇妙就在于此.在多样的向量中，我们能否找到它的“基本音符”呢？
知识点一　平面向量基本定理
不共线向量
λ1e1＋λ2e2
不共线
[微点拨]　(1)同一平面内的基底有无数个，只要两向量不共线即可.
(2)当基底确定后，任一向量的表示法是唯一的，即λ1，λ2是唯一确定的.
[例1]　(1)(多选)若e1，e2是平面α内两个不共线的向量，λ，μ是实数，下列说法正确的是(　　)
A.若λ，μ满足λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0
B.对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2成立的实数λ，μ有无数对
C.λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量
D.当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2可能表示同一向量
AC
(2)(多选)设e1，e2是平面内两个不共线的向量，则以下a，b可构成该平面内一个基底的是(　　)
A.a＝e1＋e2，b＝e1
B.a＝2e1＋e2，b＝e1＋e2
C.a＝－e1＋e2，b＝e1－e2
D.a＝e1－2e2，b＝－e1＋4e2
ABD
[反思归纳]
1.判断两个向量能否构成基底，主要是看二者是否共线.
2.对于平面向量基本定理，应注意：(1)e1，e2是同一平面内的两个不共线向量；(2)该平面内任意一个向量a都可以用e1，e2线性表示，且这种表示是唯一的；(3)基底是不唯一的.
1.(多选)已知{e1，e2}是平面内的一个基底，则下列说法中正确的是(　　)
A.若实数m，n使me1＋ne2＝0，则m＝n＝0
B.平面内任意一个向量a都可以表示成a＝me1＋ne2，其中m，n为实数
C.对于m，n∈R，me1＋ne2不一定在该平面内
D.对平面内的某一个向量a，存在两对以上实数m，n，使a＝me1＋ne2
解析　根据基底的定义知A，B正确；对于C，对于m，n∈R，me1＋ne2在该平面内，故C错误；对于D，m，n是唯一的，故D错误.
AB
2.(多选)已知{e1，e2}是平面内的一个基底，则下列向量中能构成一个基底的是(　　)
A.e1＋e2和e1－e2
B.3e1－2e2和－6e1＋4e2
C.e1＋2e2和e2＋2e1
D.e1和e2＋e1
ACD
解析　对于A，令e1＋e2＝λ(e1－e2)，由e1，e2不共线，得λ＝1且λ＝－1，矛盾，e1＋e2与e1－e2不共线，A能；对于B，－6e1＋4e2＝－2(3e1－2e2)，3e1－2e2和－6e1＋4e2共线，B不能；对于C，令e1＋2e2＝μ(e2＋2e1)，由e1，e2不共线，得2μ＝1且μ＝2，矛盾，e1＋2e2和e2＋2e1不共线，C能；对于D，e1＝t(e2＋e1)，由e1，e2不共线，得t＝1且t＝0，矛盾，e1和e2＋e1不共线，D能.
知识点二　用基底表示向量
[反思归纳]　用基底表示向量的关注点
1.根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一个基底都可以表示该平面内的任意向量.用基底表示向量，实质上是利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则进行向量的线性运算.
2.基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量.
C
A.－a＋b B.a＋b
C.2a－2b D.－2a＋2b
D
知识点三　平面向量基本定理的应用
[例3]　如图，在△ABC中，M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值.
[反思归纳]　基底建模法是利用向量解决几何图形有关证明和求解问题的重要方法，关键在于选取合适的基底，要注意与已知条件的联系.
4
1.知识网络
[课堂小结]
2.特别提醒
基底中的向量必须是不共线的两个向量.
1.思考辨析.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一个基底.( )
(2)若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则0＝0e1＋0e2.( )
(3)平面向量基本定理中基底的选取是唯一的.( )
(4)若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量.( )
×
√
×
√
2.已知e1，e2是不共线的非零向量，则以下向量可以构成基底的是(　　)
A.a＝0，b＝e1－e2
B.a＝3e1－3e2，b＝e1－e2
C.a＝e1－2e2，b＝e1＋2e2
D.a＝e1－2e2，b＝2e1－4e2
C
B
[基础巩固]
1.(多选)已知{e1，e2}是平面向量的一个基底，则下列四组向量中，可以构成一个基底的是(　　)
A.e1和e1＋e2 B.e1－2e2和e2－2e1
C.e1＋e2和e1－e2 D.e1－2e2和4e2－2e1
解析　因为{e1，e2}是平面向量的一个基底，故e1和e2不共线，所以e1和e1＋e2不共线，e1－2e2和e2－2e1不共线，e1＋e2和e1－e2不共线，因为4e2－2e1＝－2(e1－2e2)，所以e1－2e2和4e2－2e1共线.故选ABC.
ABC
1
2
3
5
6
7
8
9
10
4
11
12
13
14
15
B
1
2
3
5
6
7
8
9
10
4
11
12
13
14
15
3.设{e1，e2}是某一平面内所有向量的一个基底，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数y的值为(　　)
B
1
2
3
5
6
7
8
9
10
4
11
12
13
14
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
11
12
13
14
15
1
2
3
5
6
7
8
9
10
4
C
11
12
13
14
15
1
2
3
5
6
7
8
9
10
A.5 B.7
C.9 D.11
4
11
12
13
14
15
D
1
2
3
5
6
7
8
9
10
4
11
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13
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15
4
1
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3
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6
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4
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1
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3
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6
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4
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2
3
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1
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4
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1
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3
5
6
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4
11
12
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14
15
[综合应用]
11.已知△ABC为等边三角形，分别以CA，CB为边作正六边形，如图所示，则(　　)
1
2
3
5
6
7
8
9
10
A
4
11
12
13
14
15
1
2
3
5
6
7
8
9
10
4
11
12
13
14
15
1
2
3
5
6
7
8
9
10
4
11
12
13
14
15
BC
1
2
3
5
6
7
8
9
10
4
11
12
13
14
15
1
2
3
5
6
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9
10
4
11
12
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C
1
2
3
5
6
7
8
9
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4
11
12
13
14
15
1
2
3
5
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8
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4
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15
1
2
3
5
6
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4
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15
[拓展提升]
15.如图，在△ABC中，中线AD，BE，CF相交于点G，点G称为△ABC的重心，那么AG∶GD是(　　)
B
A.3∶2 B.2∶1
C.3∶1 D.4∶3
1
2
3
5
6
7
8
9
10
4
11
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15

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