资源简介

(共46张PPT)
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法.
2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.
3.能够利用余弦定理判断三角形的形状.
[学习目标]
[情境导入]
千岛湖位于我国浙江省淳安县境内，因湖内有星罗棋布的一千多个岛屿而得名，现有三个岛屿A，B，C，岛屿A与B之间的距离因A，B之间有另一小岛而无法直接测量，但可测得AC，BC的距离分别为6 km和4 km，且AC，BC的夹角为120°，那么岛屿A，B之间的距离如何计算呢？
知识点一　已知两边及一角解三角形
1.
平方的和
余弦的积的两倍
b2＋c2－2bc cos A
c2＋a2－2ca cos B
a2＋b2－2ab cos C
2.一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
[微点拨]　(1)余弦定理对任意三角形都成立.
(2)余弦定理及推论把用“边角边”和“边边边”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画.
B
[反思归纳]
1.已知两边及其中一边的对角解三角形的方法：用余弦定理列出关于第三边的等量关系，建立方程，运用解方程的方法求出此边长，再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角.
2.已知两边及其夹角解三角形的方法：
首先用余弦定理求出第三边，再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角.
A.5 B.3或5
C.4 D.2或4
B
解析　由余弦定理，得AB2＋BC2－2AB·BC cos B＝AC2，即64＋BC2－8BC＝49，即BC2－8BC＋15＝0，解得BC＝3或5，经检验，均满足题意.
C
知识点二　已知三边解三角形
[例3]　(湘教版必修二例题)已知△ABC的三边分别为a＝6，b＝10和c＝14，试求△ABC最大内角的度数.
[反思归纳]　已知三边关系解三角形
3.在△ABC中，内角A，B，C所对各边分别为a，b，c，且a2＝b2＋c2－bc，则角A＝(　　)
A.60° B.120°
C.30° D.150°
A
知识点三　利用余弦定理进行边角互化
角度1　利用边角关系求值
[例4]　在△ABC中，角A，B，C所对边a，b，c满足a＝c－2a cos B，c＝5，3a＝2b，则a＝(　　)
A
[反思归纳]　余弦定理揭示第三边与其余两边及这两边夹角余弦间的关系，灵活进行边角转化，结合三角恒等变换可求三角函数式的值.
C
角度2　三角形形状的判断
B
[反思归纳]
1.利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线：
(1)先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系.
(2)先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系.
2.判断三角形的形状时，经常用到以下结论：
(1)△ABC为直角三角形 a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2；
(2)△ABC为锐角三角形 a2＋b2>c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2；
(3)△ABC为钝角三角形 a2＋b25.已知△ABC的三边长分别为4，6，8，则这个三角形为(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
C
1.知识网络
[课堂小结]
2.特别提醒
应用余弦定理解三角形时，不要忽略三角形中的隐含条件.
1.思考辨析.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定量的推广.( )
(2)余弦定理只适用于锐角三角形.( )
(3)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形.( )
√
×
√
A
C
[基础巩固]
1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a＝3，b＝5，C＝120°，则c＝(　　)
D
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3.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a∶b∶c＝5∶8∶10，则△ABC的形状是(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
C
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4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2a cos B＝c－2a，b＝2a，则(　　)
A.2a＝3c B.3a＝2c
C.b＝2c D.2b＝c
B
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5.(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若2bc sin 2A＝b2＋c2－a2，则A的大小可能为(　　)
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ACD
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6.(多选)若某锐角三角形的三边长分别为1，2，a，则a的值可能为(　　)
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ABC
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8.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3(a－c)2＝3b2－2ac，则cos B的值为______________.
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[综合应用]
11.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为(　　)
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D
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12.(多选)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，对于△ABC，有如下命题，其中正确的有(　　)
A.sin (B＋C)＝sin A
B.cos (B＋C)＝cos A
C.若a2＋b2＝c2，则△ABC为直角三角形
D.若a2＋b21
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AC
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[拓展提升]
B
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