资源简介

(共51张PPT)
1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系.
2.掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判断三角形解的个数.
[学习目标]
[情境导入]
在现代生活中，得益于科技的发展，
距离的测量能借助红外测距仪、激光测
距仪等工具直接完成.不过，在这些工具
没有出现之前，你知道人们是怎样间接获得两点间距离的吗？如图所示，若想知道河对岸的一点A与岸边一点B之间的距离，而且已经测量出了BC的长，也想办法得到了∠ABC与∠ACB的大小，你能借助这三个量，求出AB的长吗？
知识点一　已知两角及任意一边解三角形
1.正弦定理的表示
(1)文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的____的比相等(该比值为该三角形外接圆的直径).
正弦
2R sin C
2.正弦定理的变形形式
设三角形的三边长分别为a，b，c，外接圆半径为R，正弦定理有如下变形：
(1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝__________；
[微点拨]　(1)在正弦定理中，各边与其对角的正弦严格对应，体现了数学中的对称美.
(2)正弦定理是直角三角形对角关系的一个推广，正弦定理对任意三角形都成立，它的主要功能是实现三角形中边角关系的互化.
[反思归纳]　已知三角形的两角和任意一边解三角形时，可以先由三角形的内角和定理，计算出三角形的第三个角，然后由正弦定理求出另外两边.
B
C
知识点二　已知两边及其中一边的对角解三角形
[例2]　(湘教版必修二例题)在△ABC中，分别求下列条件下的∠C和c.
[反思归纳]　已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理解三角形的步骤
第一步，用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角.
第二步，用三角形内角和定理求出第三个角.
第三步，根据正弦定理求出第三条边.
其中进行第一步时要注意讨论该角是否可能有两个值.
A.45° B.15°
C.45°或135° D.15°或105°
C
A
知识点三　正弦定理、余弦定理的综合应用
角度1　判断三角形的形状
[例3]　已知a，b，c分别是△ABC三内角A，B，C的对边，且满足a sin C＋a cos C＝b＋c，则△ABC的形状是(　　)
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形
B
[反思归纳]　利用正弦定理判断三角形形状的方法
1.化边为角：根据正弦定理把已知条件中边和角的混合关系转化为角的关系，再进行三角恒等变换，得到角的三角函数值或角的三角函数值之间的关系，进而得到三角形的角或角的关系，从而确定三角形的形状.
2.化角为边：根据正弦定理把已知条件中边和角的混合关系转化为边的关系，然后通过整理得到边与边之间的数量关系，从而确定三角形的形状.
5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a cos B＋b cos A＝a，则△ABC一定是(　　)
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.等腰或直角三角形
B
[反思归纳]　利用正弦、余弦定理解三角形的注意点
正、余弦定理都是用来解三角形的，但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，应抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键.
6.设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2b sin A.
(1)求角B的大小；
1.知识网络
[课堂小结]
2.特别提醒
已知两边及一边所对的角解三角形时不要忽略分类讨论.
1.思考辨析.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正弦定理对任意的三角形都成立.( )
(2)在△ABC中，等式b sin C＝c sin B总能成立.( )
(3)在△ABC中，若a>b，则必有sin A>sin B.( )
(4)任意给出三角形的三个元素，都能求出其余元素.( )
√
√
√
×
A
A.等腰三角形 B.钝角三角形
C.等边三角形 D.直角三角形
A
[基础巩固]
C
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A.30°或150° B.60°
C.30° D.60°或120°
C
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3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a cos C＋c cos A＝a，则△ABC的形状一定是(　　)
A.等腰三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.钝角三角形
A
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解析　在△ABC中，由a cos C＋c cos A＝a及正弦定理，得sin A cos C＋sin C cos A＝sin A，于是sin A＝sin (A＋C)＝sin B，而01
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A
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AD
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6.(多选)下列说法正确的有(　　)
A.在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
B.在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则a＝b
C.在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B，若A>B，则sin A>sin B都成立
D.在△ABC中，若a2＋b2>c2，则△ABC一定为锐角三角形
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AC
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[综合应用]
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B
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B
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13.(多选)在下列情况的三角形中，有两个解的是(　　)
AD
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[拓展提升]
C
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